0140：微分と積分の関係を知りましょう

●微分と
微分と積分
y
y=f(x)
dy
dx
∫x1x2 f(x)dx
x
x1
x2
x
『微分：
微分：dy/dx』
dy/dx』とは "x における接線方向
における接線方向の
接線方向の傾き" を求めることです。
めることです。
つまり次式
つまり次式で
次式で定義されます
定義されます。
されます。
[ある x の接線方向の
接線方向の傾き]＝dy/dx＝
dy/dx＝{f(x+dx){f(x+dx)-f(x)}/dx
ここで、
ここで、dx は限りなく 0 に近い微小間隔
微小間隔とします
間隔とします。
とします。
・y=f(x) のグラフが、
のグラフが、ある時刻
ある時刻(x)
時刻(x)における
(x)における車
における車の速度(y:m/sec)
速度(y:m/sec)を
(y:m/sec)を示すなら、
なら、微分すると
微分すると時刻
すると時刻(x)
時刻(x)における
(x)における"
における"
2
加速度(m/sec
加速度(m/sec )"が求められます。
x2
『積分：
積分：∫ f(x)dx 』とは "x1～
x1～x2 の区間の
区間の面積"
面積" を求めることです
めることです。
x1
つまり次式
つまり次式で
次式で定義されます
定義されます。
されます。
x2
[面積]
面積]＝Σf(x)*
f(x)*dx
注) 英文字の
英文字の x と区別をするため
区別をするため、
をするため、乗算記号を
乗算記号を * とします(
とします(他同)
他同)。
x1
ここで、
ここで、dx は限りなく 0 に近い微小間隔
微小間隔とします
間隔とします。
とします。つまり、
つまり、限りなく細
りなく細い縦長の
縦長の長方形の
長方形の集まりです。
まりです。
・y=f(x) のグラフが、
のグラフが、ある時刻
ある時刻(x)
時刻(x)における
(x)における車
における車の速度(y:m
速度(y:m/sec)
(y:m/sec)を
/sec)を示すなら、
すなら、積分すると
積分すると時刻
すると時刻 x1 から x2 ま
でに移動
でに移動した
移動した"
した"距離(m)"
距離(m)"と
(m)"となります。
なります。
- 1 -
[例] お父さんの車
さんの車に乗り、運転し
運転し始めてから５
めてから５秒毎にスピードメータを
秒毎にスピードメータを読
にスピードメータを読み取りグラフにしたら、
りグラフにしたら、図１の
ようになった。
ようになった。
０～２５秒
２５秒までの
までの区間について
区間について調
について調べよう。
べよう。
２５秒以後
２５秒以後は
秒以後は、y=f(x) の式が決まれば求められますが、そうでない場合
そうでない場合は
場合は、細かく縦長
かく縦長の
縦長の長方形に
長方形に
分割し
分割してその総和を
総和を求めて行
めて行くことになります。
くことになります。ここではめんどうなので触
ここではめんどうなので触れません。
れません。
①図１から、
から、０～２５秒
２５秒までは、
までは、
y = 4x (m/sec)
が得られます。
られます。
②０～２５秒内
２５秒内で
秒内で微分して
微分して得
して得られるグラフを図
られるグラフを図２(微分)
微分)に示します。
します。
2
どの時刻
どの時刻でも
時刻でも、
でも、dy/dx (傾き) は一定の
一定の 4 (m/sec ) です。
です。
y' = dy/dx = 4 (m/sec2)
③０～２５秒内
２５秒内で
秒内で積分して
積分して得
して得られるグラフを図
られるグラフを図３(積分)
積分)に示します。
します。
Y = ∫f(x)dx = 2x2 (m)
(m)
となります。
となります。
ちなみに、
ちなみに、時刻１０
時刻１０から
１０から時刻
から時刻２０
時刻２０までに
２０までに移動
までに移動した
移動した距離
した距離は
距離は６００ (m) です。
です。
また、
また、図３で時刻１０
時刻１０における
１０における移動距離
における移動距離の
移動距離の微小変化量 dy は、図１の時刻１０
時刻１０における
１０における極
における極めて細
めて細い
縦長の
縦長の長方形の
長方形の面積(f(x=10)*dx
面積(f(x=10)*dx、
(f(x=10)*dx、dxdx->0)に相当し
相当します。
注) 英文字の
英文字の x と区別をするため
区別をするため、
をするため、乗算記号を
乗算記号を『*』とします。
とします。
Y(m)
2
y'(m/sec
y'(m/sec )
5
4
3
2
1
x(sec)
0 5 10 15 20 25
図２(微分)
微分)
1000
y(m/sec)
100
80
60
40
20
500
dx
dy
f(x=10)
x(sec)
0 5 10 15 20 25
図１
- 2 -
dx
0
0 5 10 15 20 25
図３(積分)
積分)
x(sec)

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