統計科学同演習 第 6 回 （修正版）
清 智也 + TA’s
2014 年 5 月 16 日（金）
線形モデル
最小二乗法
正規線形モデル
独立性
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線形モデル
I
変量 Y を変量 X で「説明」したい．
Example (cars データ)
60
40
20
0
cars$dist
80
100
120
> plot(cars$speed, cars$dist)
> lm.cars = lm(dist ~ speed, data=cars)
> abline(lm.cars)
5
10
15
20
25
cars$speed
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lm クラス
lm = linear model = 線形モデル（後述）
> lm.cars = lm(dist ~ speed, data=cars)
> attributes(lm.cars)
$names
[1] "coefficients" "residuals"
"effects"
[4] "rank"
"fitted.values" "assign"
[7] "qr"
"df.residual"
"xlevels"
[10] "call"
"terms"
"model"
$class
[1] "lm"
> lm.cars$coef # 切片と傾き
(Intercept)
speed
-17.579095
3.932409
切片は -17.579095，傾きは 3.932409
→ 求め方の理論は後で．
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線形モデル
I
モデル = 模型．
I
一般に，2 組の確率変数 (X , Y ) に対して，X = x が与えられ
た下での Y の条件付き分布のモデルを回帰モデルという．
I
X を説明変量という．説明変量は複数個（多次元）であって
もよいが，今日は簡単のため 1 個の場合を考える．
I
加法的な誤差のあるモデル：
Y = f (x) + ε
I
線形モデル （線形回帰モデル）
Y = a + bx + ε
誤差 ε の平均は E [ε] = 0，分散は Var [ε] = σ 2 ．
I
直線の式 y = a + bx を回帰直線という．
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最小二乗法
I
a, b, σ 2 は未知なので，データ {(xi , yi )}ni=1 から推定する必要
がある．
I
基本は最小二乗法
Minimize
a,b
n
∑
{yi − (a + bxi )}2
i=1
演習
データが中心化されているとき，すなわち
n
∑
i=1
xi = 0,
n
∑
yi = 0
i=1
のとき，上の最小化問題の解を求めよ．
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最小二乗法
中心化されているとは限らない場合の最小二乗法の解
∑n
(x − x¯)(yi − y¯ )
∑n i
a = y¯ − b¯
x , b = i=1
¯)2
i=1 (xi − x
ただし
1∑
xi ,
x¯ =
n
n
i=1
I
1∑
y¯ =
yi .
n
n
i=1
性質：y¯ = a + b¯
x ．標本平均のペア (¯
x , y¯ ) は回帰直線上に
ある．
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最小二乗法
より抽象的には，
I Rn において，ベクトル y = (y1 , . . . , yn )T を 2 つのベクトル
1 = (1, . . . , 1)T , x = (x1 , . . . , xn )T の張る線形空間に直交射
影している．
I 直交射影
Minimize ky − Xβk2
β
ただし
X = (1, x) ∈ R
I
I
n×2
,
( )
a
∈ R2 .
β=
b
行列の計算から，解は
β = (XT X)−1 XT y.
(1)
Xβ = X(XT X)−1 XT y.
(2)
説明変量が複数個の場合（後日説明）も同じ式になる．
演習
式 (1), (2) を確かめよう！
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最小二乗法の背景：正規線形モデルのあてはめ
I
（正規）線形モデル
Yi = a + bxi + εi ,
i = 1, . . . , n.
ε1 , . . . , εn ∼ N(0, σ 2 ) 独立
I
Yi の確率密度関数
(
)
(yi − (a + bxi ))2
f (yi |xi ) = √
exp −
2σ 2
2πσ 2
1
I
同時確率密度
n
∏
i=1
f (yi |xi ) =
( ∑n
2)
1
i=1 (yi − (a + bxi ))
.
exp
−
2σ 2
(2πσ 2 )n/2
これを最大化する (a, b, σ 2 ) を最尤推定量といい，a, b は最小
二乗法の解となる．
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なぜ正規分布を使うのか？
(
)
(x − µ)2
f (x) = √
exp −
,
2σ 2
2πσ 2
1
I
正規分布：誤差の分布
I
根拠：中心極限定理
x ∈ R.
Theorem (中心極限定理)
Z1 , . . . , Zn が独立同一分布に従い，E [Zi ] = 0, σ 2 = Var [Zi ] < ∞
ならば，
Z1 + · · · + Zn
√
n
は正規分布 N(0, σ 2 ) に収束する．
収束（位相）の定義や証明についてはここでは触れない．
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あてはめ結果
I
ˆ と書く．
以下，最小二乗法で求めた (a, b) を (ˆ
a, b)
I
残差 (residuals)
ˆ i ).
εˆi = yi − (ˆa + bx
I
Rn で考えると，
εˆ ⊥ 1, x
I
正規線形モデルの仮定の下では，εˆi も正規分布に従う．ただ
し独立にはならない．
I
残差の標準化については来週補足説明する予定．
I
残差の正規性をチェックすることにより，モデルの妥当性を
検討することができる．
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独立性 （追記）
確率変数 X , Y が独立
⇐⇒ 任意の集合 A, B ⊂ R に対して
P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B).
⇐⇒ 任意の集合 A, B ⊂ R に対して
P(Y ∈ B | X ∈ A) = P(Y ∈ B).
視覚的に独立性を検証するための一つの方法：
I
集合 A として，X の四分位点で区切った 4 つの区間を用いる．
I
X ∈ A のもとでの条件付き分布を boxplot で描く．
I
boxplot がほぼ同じだったら独立，違ったら独立でない，と
判断（次のスライド）
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独立性 （追記）
dist
0
20
40
60
80
100
120
> attach(cars)
> plot(dist ~ cut(speed, quantile(speed)))
(4,12]
(12,15]
(15,19]
(19,25]
cut(speed, quantile(speed))
位置（や形状）が異なるので独立とは言えない．
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大レポート
1. 東日本大震災以外の地震データを取得し，演習で行ったのと
同様な解析を行い結果を比較しなさい．データの出典は明記
すること．
2. トヨタ自動車以外の株価データを取得し，演習で行ったのと
同様な解析を行い結果を比較しなさい．データの出典は明記
すること.
1, 2 のいずれかを行えばよい．
締切：6 月 6 日（金）の演習開始時
注：地震データについては，東大地震研のページ
http://eoc.eri.u-tokyo.ac.jp/harvest/
などから入手してください．
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