Mechanik III / Prof

Mechanik III / Prof. Popov / Vorlesung 21.
Das Verfahren von Castigliano
I. Zweiter Satz von Castigliano
F ist hier die äußere Kraft
1
F2
F = cx , U = cx 2 , U =
,
2c
2
Der 2. Satz von Castigliano:
Seite 1
Beispiel 1: Ein Dehnstab der Länge l mit der
Dehnsteifigkeit EA
l
x=
1
hat die potentielle Energie U = ∫ AEu '2 dx .
20
Mit N ( x ) = EAu′( x ) erhält man die potentielle
∂U
∂F
l
1 N2
dx . N ( x ) ist der Normal2 ∫0 EA
II. Eine allgemeine Ableitung des 2. Satzes von
Castigliano.
kraftverlauf im Stab. Greift am Ende des Stabes
U ( q1 , q2 ,..qs ) sei die potentielle Energie eines
F 2l
eine Kraft F an, so ist N ( x ) = F . ⇒ U =
.
Systems mit s Freiheitsgraden. Das volle Diffe2 EA
rential der potentiellen Energie ist
Die Verschiebung des Angriffspunktes von F in
∂U
∂U Fl
dU ( q1 , q2 ,..qs ) = ∑
dqi .
Richtung F: x =
=
.
∂qi
∂F EA
III. Komplementäre Energien für verschiede∂U
= Qi sind generalisierte Kräfte, also
ne Systeme
∂q
Energie U =
i
dU = ∑ Qi dqi . Die Summe
∑ Q dq
i
i
kann trans-
formiert werden:
dU = ∑ Qi dqi = d ( ∑ Qi qi ) − ∑ qi dQi .
Daraus folgt: d ( ∑ Qi qi − U ) = ∑ qi dQi .
Der Ausdruck U = ∑ Qi qi − U heißt komplemen-
täre Energie. Mit dieser Größe dU = ∑ qi dQi .
l
U=
1 N2
dx
2 ∫0 EA
l
1 M t2
U= ∫
dx
2 0 GI p
l
1 M2
U= ∫
dx
2 0 EI
Daraus folgt:
∂U
qi =
: generalisierte Verschiebungen beBeispiel 2:
∂Qi
kommt man als partielle Ableitungen der kom- Man berechne die Absenkung des skizzierten
plementären Energie nach generalisierten Kräf- Kragbalkens unter der Kraft F.
ten.
Wichtige Bemerkung: Im Fall von linear elastischen Systemen sind die komplementäre Energie Freischneiden des Balkens bei x
und die potentielle Energie gleich.
Beispiel: Für eine Feder ist
cx 2 cx 2 F 2
U = xF − U = cx 2 −
=
=
=U .
2
2
2c
Der 2. Satz von Castigliano für linear elasti- liefert den Momentenverlauf M ( x ) = − F (l − x ) .
sche Systeme: Die generalisierten Verschiebunl
2
gen sind gleich den partiellen Ableitungen der Die potentielle Energie ist U = 1 M dx =
2 ∫0 EI
potentiellen Energie, ausgedrückt als Funktion
von generalisierten Kräften, nach generalisierten 1 l F 2 (l − x )2
∂U Fl 3
1 F 2l 3
⇒ w( l ) =
=
.
dx =
Kräften.
∂F 3EI
EI
2 ∫0
2 3EI
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Das Verfahren von Castigliano
Anmerkung: Der große Vorteil des Satzes von Beispiel: Gegeben sei ein links eingespannter
Castigliano ist die Berechnung der Verformung, Balken mit einer konstanten Streckenlast q0 .
ohne die Biegedifferentialgleichung lösen zu müs- Gesucht ist die Lagerkraft bei B.
sen!
Interessiert man sich für Verformungen an Stellen des elastischen Systems, an denen keine
Kräfte oder Momente angreifen, so bringt man
eine Kraft oder ein Moment an dieser Stelle an,
berechnet die gewünschte Verformung und
bringt in dieser dann den Einfluß der zusätzlichen Kraftgröße wieder zum Verschwinden, indem die Kraft oder das Moment gleich Null gesetzt wird.
Lösung: Freischneiden des Systems am Lager B
macht die gesuchte Lagerkraft sichtbar.
Die resultierende Verschiebung unter der Kraft
∂U
B ist gleich Null:
= 0.
∂B
Beispiel: Man berechne den Endwinkel des skiz1
2
zierten Kragbalkens unter der Kraft F.
M ( x ) = B (l − x ) − q0 ( l − x ) .
2
l
M ∂M
dx =
0=∫
EI ∂B
0
Einem Winkel ist ein Kraftmoment zugeordnet.
l
1 
1
3
Also bringen wir am Ende ein Moment M * ein.
B(l − x )2 − q0 ( l − x )  dx =
∫

2
EI 0 

Freischneiden bei x liefert den Momentverlauf
1 3 1 4 
 3 Bl − 8 q0l 
3
Daraus B = q0l .
8
IV. Einflußzahlen
1
EI
FB
M ( x ) = − F (l − x ) − M * .
Die Ableitung der Formänderungsenergie nach
M * liefert
l
l
∂U
∂ 1 M2 
M ∂M
=
=
dx
dx =
ϕ (l ) =
 ∫
 ∫
∂M * ∂M *  2 0 EI
∂
EI
M
*
 0
l
l
( − F (l − x ) − M *) −1 dx =
M ∂M
( )
∫0 EI ∂M * dx = ∫0
EI
− F (l − x )2 − M * x
2 EI
x =l
=
x =0
Fl 2 − M * l
2 EI
Fl 2
Bei M * = 0 ⇒ ϕ (l ) =
.
2 EI
Wenn die Verformung vorgegeben ist, kann man
mit dem Satz von Castigliano die dazugehörigen
Kräfte berechnen.
A
FA
B
δ A sei die Verschiebung des Punktes A in der
Richtung der Kraft FA und δ B - die Verschiebung des Punktes B in der Richtung der Kraft
FB.
(1) Wirkt nur die Kraft FA, so ist
δ A = c AA FA ,
δ B = cBA FA .
(2) Wirkt nur die Kraft FB, so ist
δ A = c AB FB ,
δ B = cBB FB .
Aus dem Superpositionsprinzip folgt:
(3) Wirken beide Kräfte gleichzeitig, so ist
δ A = c AA FA + c AB FB , δ B = cBA FA + cBB FB .
Die elastischen Koeffizienten cij werden Maxwellsche Einflußzahlen genannt.
V. Satz von Maxwell: c AB = cBA .

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