地表での地震動特性を支配する３要素１）震源特性２）伝播経路特性３）地盤増幅特性（サイト特性）振動工学地震動の増幅地表表層地盤深部堆積層工学的基盤第12回地盤の振動軟硬地震基盤地殻・マントル震源 1 2 表層地盤の地震動増幅地盤の動特性地震動解析に必要な地盤の動特性には， • • • 質量弾性係数減衰定数がある。ただし，地盤を線形弾性体と仮定。地表での地震動と建物応答は表層地盤構造の影響を大きく受ける。 3 4 質量弾性係数弾性体を表現する係数には各種ある。線形弾性体ではそのうちの2つが独立である。単位体積当たりの質量すなわち質量密度 （単位：kg/m3）を用いる。既往の実測データから平均的な値は以下のとおりである。粒径区分 (mm) 2 0.075 0.005 • • • • 礫砂シルト粘土 2.10 1.85 1.70 1.50 • • 関東ローム水 1.35 1.00 (単位：×103kg/m3) 5 • ヤング率（縦弾性係数） E (N/m2) • せん断弾性係数（剛性率） G (N/m2)  無次元 • ポアソン比砂： =0.3 程度粘土： =0.5 程度 • P波速度（縦波速度） VP (m/s) • S波速度（せん断波速度） VS (m/s) 沖積地盤： VS = 50～200 m/s 程度洪積地盤： VS = 200～400 m/s 程度せん断弾性係数，せん断波速度弾性波動場の基本方程式各軸方向に関する応力のつり合い方程式は以下のように成り立つ。地盤のせん断弾性係数とせん断波速度（S波速度）の間には，以下の関係がある。 G  VS2 , VS  y G  x  yx  zx    ux  0 x x y z dx  xy  y  zy y Y軸：    uy  0 yx  x y z xy x yz  xz  yz  z xz    uz  0 Z軸： zy x y z zx 単位体積に z z 作用する慣性力 X軸：  ちなみに，P波速度は VP  6   2G E ,    (1   )(1  2 ) 7 8 問題の単純化応力のつり合い方程式の単純化水平動 • 地盤は水平成層地盤 X方向（水平方向）にのみ変位することから u x  0, u y  u z  0 • 入射波はS波 • 鉛直下方から入射スネルの法則（屈折の法則） sin  n 1 VSn 1  sin  n VSn 一般に地表に近づくほど VSは小さくなる n-1 n n-1 n 地盤の応力－ひずみ関係 10 u→ueit とおいて整理すると d 2u  2 1  2ih u  0  dz 2 G d 2u  2  * u  0, G *  G 1  2ih  ：複素剛性 2 dz G t となる。ここで：減衰定数（無次元） u z  zx   ux   u z z 調和振動解減衰のある場合の応力－ひずみ関係は，    2h  G   dz よって，応力のつり合い方程式から 9 h  z u x u x u x   0,  0 x y z  x   y   z   xy   yz  0,  zx  0 S波（横波・せん断波） t x Z方向（深さ方向）にのみ変位の空間的変化があることから  d 2u 2   p u  0 , p  dz 2 G* ：せん断ひずみ（無次元）これを z で偏微分し，前頁の式を代入すると上式の2階同次微分方程式の解は  2 u G  3u  3u  2 h 2   tz 2 t t 3   u  Ee ipz  Fe ipz  u  Ee ipz  Fe ipz e it 11 12 上昇波，下降波成層地盤の波動伝播（１） x 今，減衰を無視（h=0）すると p  u  Ee  G   z VS  z i  t  V S      Fe  z i  t  V S  E 右図のように水平な境界をもって，層をなした成層地盤を考える。各層において   ui  Ei e ip z  Fi e ip z e it F i i i i    i  i Gi* pi Ei e ip z  Fi e ip z e it    上式から，第１項はz軸の負の方向に進む波（上昇波），第２項はz軸の正の方向に進む波（下降波）を表す。 i i i i 境界条件として，地表面でせん断応力が 0，層境界における変位とせん断応力の連続より  1 Z 0  0  E1  F1 1 13 成層地盤の波動伝播（２）  1 1  Ri Ei eip H  1  Ri Fi e ip H 2 1 Fi 1  1  Ri Ei e ip H  1  Ri Fi e ip H 2 i  i i i i Ri    iVSi  i 1VSi 1    * i Gi * i 1Gi 1 i   ui 1 Z i Zi  H i   i 1 Z i 1 i 1 0 Hi zi+1 i+1, Gi+1, hi+1 Hi+1 0 14 i i 下式より地表のE1, F1が決まれば、地表から順に任意のEi, Fiが次々と求まる。   Ei 1  1 1  Ri e ip H    ip H F  i 1  2 1  Ri e  Ei   Rii 1    Fi   i i i 1  Ri e ip H  Ei  1  Ri e ip H   Fi  i i i i       E1  Rii1 R12  Rii 1 　   F1   i Gi 1  2ihi   i 1Gi 1 1  2ihi 1   iVSi 1  2ihi  1  2ihi 1  i 1VSi 1 i   ここで，Riはインピーダンス比である。 Gi* pi Gi*1 pi 1 Zi  H i zi x i, Gi, hi 成層地盤の波動伝播（３）結果を整理すると，以下のような i層とi+1層との漸化式が求まる。 Ei 1  ui x 15 ここで、地表は自由端であるから波動は全反射し、上昇波と下降波の振幅は一致する。すなわち E1 = F1 16 成層地盤の波動伝播（４） 2種類の地盤の伝達関数 2 E1 En  Fn 逆に，第 n 層上端の入射波Enに対する任意の境界での応答の比が計算できる。      En   E1   r11 2  E1  n    Rn 1  R1    r      F1  r21  F1   Fn  En  r11 E1  r12 F1  r11  r12 E1 H    E1  F1 2 E1 1   2 En 2 En r11  r12 r12   E1    r22   F1  E1 = F1 表層地盤 E1 F1 基盤これを地盤の伝達関数という。伝達関数：入力に対する出力のスペクトル比 > En Fn 内部基盤面解放基盤面 En ≠ Fn En = Fn 下降波 Fnが表層地盤の影響を受けている。 →地中地震計など 17 ２層地盤の伝達関数下方からの入力のみ →設計用入力地震動基盤露頭波 18 2層地盤の1次固有振動数（4分の1波長則） 1次固有振動数 E1 E2 F1 1 =1.7 VS1=100m/s h1 =0.02 t/m3 4分の1波長則 H1= 25m V V 4H1    f S1  f1st  4HS1 1 1st ：波長 (m) f1st ：1次固有振動数 (Hz)  2 =1.85 t/m3 F2 V =400 m/s S2 h2 =0.02 解放基盤面 2 E1 2 En 2 E1 2 E2 地表面=自由端（位相ずれなし） 2 E1 H1 内部基盤面 E  F 2 2 基盤面≒固定端（位相ずれ180°） 19 20 ２層地盤の伝達関数（表層地盤の層厚） f1st  E1 E2 F1 1 =1.7 t/m3 VS1=100m/s h1 =0.02 VS 4H Ri  ２層地盤の伝達関数（表層地盤のS波速度）  iVSi f1st   i 1VSi 1 E1 H1  =1.85 t/m3 F2 V2 =400 m/s S2 h2 =0.02 E2 H1 (m) 8 12.5 25 F1 1 =1.7 t/m3 VS1 h1 =0.02 VS 4H Ri   iVSi  i 1VSi 1 H1= 25m  =1.85 t/m3 F2 V2 =400 m/s S2 h2 =0.02 VS1 (m/s) 100 200 300 21 22 ２層地盤の伝達関数（表層地盤の減衰定数）２層地盤の伝達関数（基盤のS波速度） f1st  E1 E2 F1 1 =1.7 t/m3 VS1=100m/s h1 =0.02 VS 4H Ri   iVSi f1st   i 1VSi 1 E1 H1= 25m  =1.85 t/m3 F2 V2 S2 h2 =0.02 E2 VS2 (m/s) 300 400 600 F1 1 =1.7 t/m3 VS1=100m/s h1 VS 4H Ri   iVSi  i 1VSi 1 H1= 25m  =1.85 t/m3 F2 V2 =400 m/s S2 h2 =0.02 h1 0.01 0.02 0.05 23 24 小千谷市内の強震記録（2004年新潟県中越地震） JMA 小千谷 PGA= 898cm/s2 計測震度 6強(6.3) 水仙の家(SSI) PGA= 808cm/s2 計測震度 6強(6.1) K-NET 小千谷 PGA=1314cm/s2 計測震度 7(6.7) 26 表層地盤の地震応答解析例 2004年新潟県中越地震新潟県小千谷市 25 JMA小千谷地表から 3m 程度までの表層地盤のS波速度（VS）が大きく異なる。 K-NET小千谷 VS 小 JMA小千谷 VS 大 0.6 震源：新潟県中越地方マグニチュードMJ5.3 震度4 K-NET小千谷 0 0.4 PGA 0.34 m/s2 加速度 (m/s2) K-NET小千谷各強震観測点の余震記録水仙の家 -0.6 0.6 PGA 0.46 m/s2 水仙の家震度3 PGA 0.20 m/s2 5 10 15 0.2 0.1 0 -0.6 0 K-NET JMA 水仙の家 0.3 震度3 JMA小千谷 0 -0.6 0.6 フーリエスペクトル (m/s2・s) 強震観測点の地盤構造 20 0 0 5 10 振動数 (Hz) 時間 (s) 解放基盤面 27 振幅が比較的小さいので地盤の非線形性の影響が小さい→地盤を線形弾性体と仮定 28 地盤の周波数応答解析表層地盤の地震応答解析入力地震動水仙の家 XB 砂礫層岩盤層（基盤）地盤の理論伝達関数基盤露頭波XBを砂礫層の下部に入力し、周波数応答解析を行い地表での地震動XSを求める。 29 地震応答解析結果 0.6 K-NET小千谷加速度 (m/s2) 0 -0.6 0.6 観測 0.34 解析 0.33 JMA小千谷 0 -0.6 0.6 PGA (m/s2) 観測 0.46 解析 0.48 水仙の家 0 PGA (m/s2) -0.6 0 観測 0.20 5 10 15 フーリエ逆変換周波数領域フーリエ変換表層地盤 XB 応答加速度波形時間領域 K-NET小千谷 JMA小千谷 XS 20 時間 (s) 31 入力地震動のフーリエスペクトル（振幅・位相）地盤の伝達関数（複素数）地表応答のフーリエスペクトル（振幅・位相） 30