0017：図やグラフの平行移動を理解しよう

●グラフの平行移動
グラフの平行移動
y=f(x) のグラフを、
のグラフを、x 方向に
方向に p、y 方向に
方向に q、平行移動した
平行移動した後
した後のグラフの式
のグラフの式は、
『y を y-q』に、『x を x-p』に置き換えた『
q=f(x-p) 』となります。
となります。
えた『 y-q=f(xこれを説明
これを説明します
説明します。
します。
y
Y
Y=f(X
=f(X) -->
--> y-q=f(xq=f(x-p)
y1
q
y=f(x)
o
Y1
(X1,Y1) = (x1-p,y1-q)
X1
O
p
X
x
x1
上図で
平行移動した
した後
上図で、座標系
座標系[x[x-o-y]で
y]で表現された
表現された図
された図(グラフ)
グラフ)を、x 方向に
方向に p、y 方向に
方向に q 平行移動
した後の図(グラフ)
グラフ)を
青太線で
青太線で示します。
します。図(グラフ)
グラフ)の形は変わりません。
移動後の
移動後の図で、新しい座標系
しい座標系[X
座標系[X[X-O-Y]を
Y]を考えます。
えます。すると、
すると、新しい座標系
しい座標系[X
座標系[X[X-O-Y]での
Y]での図
での図(グラフ)
グラフ)の式は、移
動前の
動前の式の (x,y) を (X,Y) に置き換えたものと同
えたものと同じ、つまり、
つまり、y=f(x) が Y=f(X) となります。
となります。
次に、Y=f(X) 上の点(X1,Y1)が、元の座標系[x
座標系[x[x-o-y]の
y]の点(x1,y1)とどのような
どのような関係か
関係かを調べると、
べると、
y1 = q + Y1 、x1 = p + X1 -->
--> Y1 = y1 - q 、X1 = x1 - p
となっていることがわかります。
となっていることがわかります。つまり、
つまり、座標系[X
座標系[X[X-O-Y]上
Y]上の図(グラフ)
グラフ) Y=f(X) は、元の座標系[x
座標系[x[x-o-y]上
y]上
では『
では『 y-q=f(x
q=f(x(x-p) 』となることがわかります。
特に、二次関数
『 y = ax2 + bx + c 』を『 y-q = a(x-p)2 』に変換す
二次関数で
関数では、
変換することで、
・『y = ax2』を元図として、これを x 方向に
方向に『p』、y 方向に
方向に『q』だけ平行移動
だけ平行移動した
平行移動したも
したものとなり、
・頂点座標
頂点座標(
座標(x,y)＝(p,q)、
となります。
【問題１
問題１】y=3x2 の放物線を
放物線を、x 方向に
方向に +2、
+2、y 方向に
方向に -5 だけ平行移動
だけ平行移動した
平行移動した後
した後の放物線の
放物線の式は？
【問題２
、y 方向に
問題２】y=2x2+3x+1
+3x+1 の放物線は
放物線は、元の放物線『
放物線『 ① 』を、x 方向に
方向に『 ② 』
方向に『 ③ 』だけ平行
だけ平行
移動した
移動したも
したもので、従って、
って、y=2x2+3x+1
+3x+1 の放物線の
放物線の頂点の
頂点の座標は
座標は『 ④ 』です。
『』の中に入る式、数、座標値を
座標値を答えなさい。
さい。
【問題３
問題３】x2 + y2 = 22 の円(半径=2)
半径=2)を
=2)を、x 方向に
方向に -3、y 方向に
方向に +1 だけ平行移動
だけ平行移動した
平行移動した後
した後の円の式は？
*** 各答えは次ページ ***
1
【問題１
問題１の答え】
x を『 x-(+2)=x(+2)=x-2 』に、y を『 y-(-5)=y+5 』に置き換えれば良
えれば良いので、
ので、
『 y+5=3(xy+5=3(x-2)2、つまり、
つまり、y=3x2-12x+7 』となります。
となります。
【問題２
問題２の答え】
y = 2x2 + 3x + 1
= 2(x2+3x/2) + 1
= 2(x+3/4)2 - 9/8 + 1
= 2(x+3/4)2 - 1/8
よって、
って、
y+1/8 = 2(x+3/4)2
となります。
結局、
結局、y=2x2+3x+1
+3x+1 の放物線は
放物線は、
元の放物線『
方向に『②：-3/4 』、y 方向に
方向に『③：-1/8 』だけ平行移動
だけ平行移動した
平行移動したも
したもので、
放物線『①：y=2x2 』を、x 方向に
y=2x2+3x+1
+3x+1 の放物線の
放物線の頂点座標
頂点座標は
座標は『④：(②,③)=(-3/4,-1/8)』となります。
【問題３
問題３の答え】
x を『 x-(-3) = x+3 』に、y を『 y-(+1) = y-1 』に置き換えれば良
えれば良いので、
ので、
『 (x+3)2 + (y(y-1)2 = 22 』となり、
となり、円の中心点
中心点の座標=
座標=(-3,1) となります。
ます。
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