N - C-faculty

[4] 確率分布
[4-1] 二項分布
[4-2] 二項分布の平均と分散
[4-3] 正規分布
[4-4] 二項分布の正規分布による近似
[4-5] その他の確率分布
※「正規分布表」
、
「 t 分布表」
、
「  分布表」
、
2
「 F 分布表」
（1%と 5%）を配布
[4-1]B 二項分布
[復習] 異なる n 個のものから異なる r 個を取り出し
て作る組合せの総数を n Cr とすると、
Pr n(n  1) (n  r  1)
が成立。

n Cr 
r!
r (r  1) 1
n
●ある試行で事象 A が起こる確率を p とし、この試行
を n 回繰り返す反復試行において、事象 A が起こる
回数を X とすると、 X  r となる確率は
P( X  r )n Cr p r (1  p)n  r (r  0,1,..., n)
● B(n, p) : 確率 p に対する次数 n の二項分布
[4-1a]B 二項分布
●二項分布の各確率の和は１に等しい。
n
r
nr
0
n
n 1
C
p
(
1

p
)

C
p
(
1

p
)

C
p
(
1

p
)
n r
n 0
n 1
r 0
  n Cn p n (1  p)0  { p  (1  p)}n  1
●たとえば、１個のさいころを４回繰り返し投げると
き、１の目が出る回数を X とすると、確率変数 X は
 1
二項分布 B 4,  に従い、 X の確率分布は以下。
 6
1の目が
出る回数
確率
0
1
2
3
4
合計
0.482
0.386
0.116
0.015
0.001
1
[4-1b]B 二項分布
●二項分布の例
[4-2]B 二項分布の平均と分散
●確率変数 X が二項分布 B(n, p) に従うとき、以下が
成り立つ（証明は次項）
。
E( X )  np, V ( X )  np(1  p)
[例題 1] 赤玉２個と白玉１個が入っている袋から１個
の玉を取り出し、色を調べて袋に戻す。これを 10 回繰
り返すとき、赤玉を取り出す回数 X の分散を求めよ。
 2
[解答 1] X は B10,  に従うから、
 3
2 1 20
V ( X )  10    .
3 3 9
[4-2a]B 二項分布の平均と分散
●確率変数 X が二項分布 B(n, p) に従うとき、以下が
成り立つ。 X  X1   X n とする。
E ( X1 )  p, ..., E ( X )  p,....
2
1
V ( X1 )  E( X )  {E( X1 )}  p(1  p)
E ( X )  E ( X1    X n )  E ( X1 )    E ( X n )
 p    p  np
2
1
2
V ( X )  V ( X1    X n )  V ( X1 )    V ( X n )
 p(1  p)    p(1  p)  np(1  p)
[4-3]B 正規分布
●「正規分布は代表的な連続型の確率分布であって、
自然界や人間社会の中の数多くの現象に対して当て
はまり、統計学の理論上も応用上も非常に重要であ
る。正規分布なしに近代の統計理論はありえない」
（
「統計学入門（東大出版会）p.120」
[4-3a]B 正規分布
●平均  で分散  2 の正規分布の確率密度関数は
1
f ( x) 
exp{( x   ) 2 / 2 2 }
2 
(  x  ).
ただし、 exp x  e x .
●正規分布Ａ（平均０分散１）とＢ（平均２分散４）
[4-3b]B 正規分布
●平均  で分散  2 の正規分布を N (  , 2 ) で表す
●確率変数 X が正規分布 N (  , 2 ) に従っていると
き、その線形変換で得られた別な確率変数
Y ( aX  b) は N (a  b, a 2 2 ) に従う
●標準化変数 Z ( ( X   ) /  ) は
標準正規分布 N (0,1) に従う。
●標準正規分布の確率密度関数は
1
f ( x) 
e
2
x2

2
(  x  ) であり、
次項の通り、分布表がある。
[4-3c]B 正規分布
●たとえば、確率変数 u が 0.25 以上の値をとる確率は
0.40129 であり、これを Z0.40129  0.25 と表記する。
[4-3d]B 正規分布
[例題 2]
確率変数 X が正規分布 N (50,100) に従うとき、
P(70  X  80) を求めよ。
[解答 2]
X  50
とすると、 Z は N (0, 1) に従う。ゆえに、
Z
10
P(70  X  80)  P(2  Z  3) ＝0.02276-0.00135
＝ 0.0214
[4-4]B 二項分布の正規分布による近似
●たとえば、 B(n, 0.2) と N (0.2n, 0.16n) は似ている
（出典）俣野ほか編「数学 B」
（数研出版）140 頁
● B(n, p) に従う確率変数を X とすると、 n が十分大
( X  np)
きいとき、 Z 
は N (0,1) に従う、とみな
np(1  p)
してよい。このことは第５回で説明する。
[4-4a]B 二項分布の正規分布による近似
[例題 3] 1 個のさいころを 180 回投げるとき、１の目が
40 回以上出る確率を求めよ。
1

[解答 3] １の目が出る回数 X は B180,  に従うから、
6

X の平均 m と標準偏差  は以下のようになる。
1
1 5
m  180   30,   180    5
6
6 6
X  30
Z
は N (0, 1) に従うから、 Z  2 である確率
5
は、正規分布表によれば 0.02275 である。
[4-5]C その他の確率分布
●一様分布
（例）サイコロを振ったときに出る目の分布
●定式化
f ( x)  1/ N , x  1,2,..., N （離散一様分布）
f ( x)  1/(b  a), a  x  b （連続一様分布）
[4-5a]C その他の確率分布
●  2 分布: 自由度 k の  2 分布は、標準正規分布から
独立に発生した k 個の確率変数 X1 ,..., X k を用いて
 2 (k )  X12    X k2 と表される確率変数の分布
である（北川源四郎「時系列プログラミング」P.357）。
●自由度とは一般に、
「自由に動ける変数の数」とい
う意味である（「統計学入門」p.184）。
[4-5b]C その他の確率分布
v は自由度。たとえば自由度２の  2 分布に従う確率変
数が 1.38629 以上をとる確率は 0.5 である。これを
02.5 (2)  1.38629 と表記する。
[4-5c]C その他の確率分布
●ｔ分布の定式化は難しいが、次のようにして生成
される（
「統計学入門」p.202）
。
N(0,1)に従う確率変数 Z と  2 (k ) に従う確率変
数 Y が独立であるとき、
次の変数 t は自由度 k の
Z
t 分布に従う。 t (k ) 
Y /k
●ｔ分布は自由度によって変わるが、自由度が無限
大のとき標準正規分布に一致する。
[4-5d]C その他の確率分布
●自由度によるｔ分布の相違
[4-5e]C その他の確率分布
v は自由度。たとえば自由度２の t 分布に従う確率変
数が 1.061 以上をとる確率は 0.2 である。これを
t0.2 (2)  1.061 と表記する。
[4-5f]C その他の確率分布
●Ｆ分布
Ｆ分布の定式化は非常に難しいが、次のようにし
て生成される（
「統計学入門」p.207）
。
 2 (a) に従う確率変数 A と  2 (b) に従う確率変
数 B が独立であるとき、次の変数Ｆは自由度
(a, b) の F 分布に従う。
bA
F ( a, b) 
aB
[4-5g]C その他の確率分布
●自由度によるＦ分布の相違
[4-5h]C その他の確率分布
v1 , v2 は自由度。たとえば自由度(2,3)の F 分布に従う確
率変数が 9.552 以上をとる確率は 0.05 である。これを
F0.05 (2,3)  9.552 と表記する。
[4-5i]C その他の確率分布
●ポアソン分布
（例）交通事故件数、大量生産の不良品数など
●ある事象が x 回発生する確率は
Po( ) : f ( x)  e x / x!で期待値も分散も  である
[4-5j]C その他の確率分布
[例題 1]
分布表から次の値を求めよ。
Z 0.05,
t0.01(3),
02.1 (5),
F0.05 (5,4),
F0.01(3,6)
ただし、該当する数値がない場合は、最も近い値にせ
よ。
[解答 1]
Z0.05  1.64,
t0.01(3)  4.541,
F0.05 (5,4)  6.256,
02.1 (5)  9.23636,
F0.01(3,6)  14.735

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