応用解析・ 7 月 11 日定理（Jordan-Dirichlet criterion） f が [0,l

応用解析・ 7 月 11 日
定理（Jordan-Dirichlet criterion）
f が [0, l] において可積で有界変動の l-周期関数であるとする。そのとき、
(x−)
(i) f に対するフーリエ級数は各点 x ∈ [0, l] で f (x+)+f
に収束する。
2
(ii) x が f が連続になる点であれば、f の点 x でのフーリエ級数は f (x) に収束する。
(iii) f が閉区間 [a, b] ⊂ [0, l] で連続であれば（境界点をこめて）、f のフーリエ級数は [a, b] において関数
f に一様収束する。
• 可積：関数 f が (0, l) で可積であるとは ∫l
0
|f (x)| dx の積分が存在し、有界である。
• 有界変動：関数 f が [0, l] において有界変動であるとは、接点 0 = x0 < x1 < x2 < . . . xn = l をどのよ
n−1
∑
うに選んでも
|f (xk+1 ) − f (xk )| の値が有界である（すなわち、全ての接点への分け方に対するこの量
k=1
の上限が有界である）。
定理（極限と積分の交換）
∫l
関数列 sN : [0, l] → R に対し、すべての N ∈ N に対し 0 sN (x) dx がリーマン積分の意味で存在するとす
∫l
る。sN が [0, l] において s に一様に収束するならば、 0 s(x) dx が存在し、次が成り立つ：
∫
∫
l
s(x) dx = lim
N →∞
0
l
sN (x) dx
0
定理（極限と微分の交換）
関数 sN : [0, l] → R がすべての N ∈ N に対し各点 x ∈ (0, l) において有限な微分 s0N (x) をもつとする。
sN (x) が各点 x において s(x) に収束するとする。さらに、s0N が (0, l) において（局所的）一様収束すると
する。そのとき、次が成り立つ：
s0 (x) = lim s0N (x)
N →∞
定理（Weierstrass）
∞
∑
sup |fn (x)| が収束するなら、
n=1 x∈I
∞
∑
fn (x)
が I において一様収束する
n=1
∑∞
注：ここで、|fn (x)| ≤ an を満たし、 n=1 an が収束するような {an } を見つければ十分である。
定理（Abel-Dirichlet）
gn : I → [0, ∞) が gn (x) ≥ gn+1 (x) ∀x ∈ I をみたすとする。以下の条件のうち、一つ以上みたされるとき、
∑∞
n=1 gn (x)fn (x) は I において一様収束する。
∑
(A) fn (x) は I において一様収束する
∑N
(D) | n=1 fn (x)| ≤ K ∀N ∈ N ∀x ∈ I をみたす K > 0 が存在し、gn は I において 0 に一様収束する。
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