まとめ 2. ベクトルとベクトル場ベクトル (3次元実ベクトル)：向きと大きさを

まとめ
2. ベクトルとベクトル場
ベクトル (３次元実ベクトル)：向きと大きさをもつ数学的な量．直感的には３次元空間
内の “矢” によって表される量．
⃗ . . . 等の記号で表す ; |A|, |A|,
⃗ . . . はベクトル A, A,
⃗ . . . の大きさを表す．
A, A,
ベクトルの和と実数倍：和： A + B
A + B = B + A (交換則)
(A + B) + C = A + (B + C) (結合則)
0 + A = A + 0 = A (単位元, ゼロベクトルの存在)
−A + A = A + −A = 0 (逆元, 逆ベクトルの存在)
実数倍：λA (λ ∈ R : 実数全体の集合)
λµA = λ(µA) (結合則)
λ(A + B) = λA + λB (分配則)
(λ + µ)A = λA + λA (分配則)
1A = A
線形結合：和と実数倍で表されるベクトル (λA + µB など) をベクトルの線形結合という．
※線形独立：
∑n
k=1 λk Ak = 0 ならば λk = 0 (k = 1, · · · , n) となるとき，Ak (k = 1, · · · , n) は互い
に線形独立という．
※実ベクトル空間は，上記の和と実数倍の演算が定義され，演算に対して閉じた集
合として定義される．
※ベクトル空間の次元は，互いに線形独立となるベクトルの個数の最大値として定
義される．
内積：二つのベクトルから一つの実数を定義する演算
A · B = |A| |B| cos θ ( θ は A と B のなす角)
A · B = B · A (対称)
A · (B + C) = A · B + A · C (分配則)
外積：二つのベクトルから一つのベクトルを定義する演算
A × B = |A| |B| sin θ n
( n は A と B のなす平面に垂直，A から B の向きに右ねじを回転するとき，ねじ
の進む向きをもつ大きさ 1 のベクトル))
A × B = −B × A (反対称)
(λA) × B = A × (λB) = λ(A × B)
A · (A × B) = B · (A × B) = 0
A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)
(A × B) · C = [A, B, C のなす平面六面体の体積]
基底ベクトル：直交座標系 O の x, y, z 軸それぞれの正の方向を向いた，大きさ 1 のベク
トルを ex , ey , ez とする．
|ex | = 1,
|ey | = 1,
ex · ey = 0,
ex × ey = ez ,
|ez | = 1
ey · ez = 0,
ez · ex = 0
ey × ez = ex ,
ez × ex = ey
※ 任意のベクトル (３次元実ベクトル) は ex , ey , ez の線形結合で表すことができる：
A = Ax ex + Ay ey + Az ez
※ 係数 Ax , Ay , Az をベクトル A の成分と言う．


Ax


A ⇐⇒  Ay  ∈ R3 (一対一対応)
Az
※ 内積 A · B, 外積 A × B の成分表示
A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
A × B = (Ay Bz − Az By )ex + (Az Bx − Ax Bz )ey + (Ax By − Ay Bx )ez
勾配 ( gradient )： ∇F (r) =
∂F
e
∂x x
+
∂F
e
∂y y
+
∂F
e
∂z z
※スカラー場の勾配を表す． (ベクトル量)
F (r + ∆r) − F (r) ≃
∂F
∆x
∂x
+
発散 ( divergence ) ： ∇ · A(r) =
∂F
∆y
∂y
∂Ax
∂x
+
+
∂Ay
∂y
∂F
∆z
∂z
+
∂Az
∂z
= ∇F (r) · ∆r
※ベクトル場の沸き出しを表す．(スカラー量)
[Ax (r + ∆xex ) − Ax (r)] ∆y∆z
+ [Ay (r + ∆yey ) − Ay (r)] ∆z∆x
+ [Az (r + ∆zez ) − Az (r)] ∆x∆y
回転 ( rotation ) ： (
z
∇ × A(r) = ∂A
−
∂y
∂Ay
∂z
)
ex +
( ∂Ax
∂z
−
∂Az
∂x
)
≃
(
ey +
∇ · A(r)∆x∆y∆z
∂Ay
∂x
−
∂Ax
∂y
)
ez
※ベクトル場の渦を表す．(ベクトル量)
[Ax (r) − Ax (r + ∆yey )] ∆x
+ [Ay (r + ∆xex ) − Ay (r)] ∆y
≃
(∇ × A(r))z ∆x∆y
積分公式ガウスの定理：任意の閉曲面 S とその内部の領域 V について
∫
∫
A(r) · n(r)dS =
S
∇ · A(r)dV
(1)
V
ストークスの定理：任意の閉曲線 C とそれを境界とする曲面 S について
∫
∫
A(r) · dr =
C
予習のために：
• (長岡) p. – p.
• (ファインマン) p. – p.
• (横山) p.200 – p.246
• (中村・須藤) p. – p.
(∇ × A(r)) · n(r)dS
S
(2)

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