π = (a - x )x - cx = -x2 + (a - c )x (1) ∂π ∂x = 0 ⇔ x = 1 2 (a

経済学のためのゲーム理論入門
第 2 章完備情報の動学ゲーム
2.13
記号の表記法などは，本書の練習問題 1.7 にならう．均衡を計算する前に，まず独占価格を求め
る．市場に 1 企業しか存在しない場合，企業の利得は，
π = (a − x)x − cx
= −x2 + (a − c)x
(1)
一階条件は，
∂π
1
= 0 ⇔ x = (a − c)
∂x
2
(2)
となるから，これを p = a − x に代入して，
p=
1
(a + c)
2
(3)
と求めることができる．2 つの企業が (3) 式で定められる独占価格をつけた時，各企業が直面する
需要は，
1 1
1
(a − p) = · (a − c)
2
2 2
1
= (a − c)
4
(4)
この時の各企業の利得は，
(p − c)x =
1
(a − c)2
8
(5)
以上から，両企業が切り替え戦略を用いた時の利得の列の現在価値は，
1
1
1
(a − c)2 {1 + δ + δ 2 + · · ·} = (a − c)2 ·
8
8
1−δ
(6)
次に，企業が繰り返し戦略から単独で逸脱する場合に，最大でどの程度の利得が得られるのかに
ついて考える．ゲームのある段階で企業 i だけが単独で切り替え戦略から逸脱してなるべく高い
利得を得ようとする場合，企業 i は独占価格 p =
1
2 (a − c) − ϵ (ただし，ϵ
1
2 (a
− c) よりもごくわずかな値 ϵ だけ低い価格
> 0) をつけることにより，市場を独占することができる．この時の市場の
需要は，
{
a−
}
1
1
(a + c) − ϵ = (a − c) + ϵ
2
2
(7)
だから，逸脱した期における企業 i の利得は，
(
)(
) (
)(
)
1
1
1
1
(a + c) − ϵ − c
(a − c) + ϵ =
(a − c) − ϵ
(a − c) + ϵ
2
2
2
2
1
< (a − c)2
4
1
(8)
経済学のためのゲーム理論入門
第 2 章完備情報の動学ゲーム
である．つまり，企業 i は切り替え戦略から単独で逸脱し，独占価格よりもわずかに低い価格をつ
けることにより， 14 (a − c)2 に限りなく近い利得を得ることができるが，その値は 14 (a − c)2 より
も厳密に小さくなる．また，切り替え戦略においては，逸脱が起きた場合に相手企業は以降の期に
おいて p = c をとり続けることがわかっているが，その時の企業 i の最適反応は相手企業と同じ価
格をつけ続けること，すなわち，以降の各期で p = c とすることであり，その時の継続利得は 0 で
ある．つまり，切り替え戦略から単独で逸脱した時に各期で利得を最大化しても，利得の列の現在
価値は 14 (a − c)2 よりも厳密に少しだけ小さい値にしかならない．
以上のことを踏まえると，切り替え戦略からの逸脱が起こらないための条件，すなわち，切り替
え戦略が Nash 均衡となっているための必要十分条件は，
1
1
1
(a − c)2 ·
≥ (a − c)2
8
1−δ
4
であることがわかる．そして，(9) 式を変形していくことにより，δ ≥
2
(9)
1
2
を得る．

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