知能ロボット設計論 担当：平田 健太郎 第14回 （8/4） ２．システム制御と最適化 ・ 凸解析と線形行列不等式 Design of Intelligent Robots 1 Schedule 6/16 6/23 6/30 7/7 7/14 7/28 8/4 8/6 ・ 組合せ最適化 （１） ・ 組合せ最適化 （2） ２．システム制御と最適化 ・ 非線形最適化 （１） （休講） ・ 非線形最適化 （2） ・ 非線形最適化 （続） ・ 凸解析と線形行列不等式 ・ LMIによる制御系解析・設計 （補講日） 期末試験 Design of Intelligent Robots 2 インターンシップ, 集中講義で8/6の期末試験を受けられない 学生については, 以下のレポート課題を課す. 講義で扱ったニュートン法, 準ニュートンの例題を適当な数 値計算ソフトウェアを用いて実行し, プログラムリストと結果 をレポートにまとめて提出. ソフトウェアの例: Matlab, Scilab, Octave, MaTX 期限：8/15 (金) 17:00まで 提出先: 電子的に[email protected]まで送付 ※ 同一あるいは酷似しているプログラムは全て却下する. Design of Intelligent Robots 3 凸解析と線形行列不等式 Design of Intelligent Robots 4 集合の凸性 定義 (Definition) 超平面 半空間 これらはいずれも凸である. Design of Intelligent Robots 5 定理 (Theorem) Design of Intelligent Robots 6 関数の凸性 定義 (Definition) Design of Intelligent Robots 7 凸計画問題 (Convex Programming) : A fundamental property Design of Intelligent Robots 8 線形計画問題 (Linear Programming)： ⇒ LPは最も簡単な 凸計画問題 Design of Intelligent Robots 9 2次計画問題 (Quadratic Programming) 例: 制約集合は楕円 (凸集合) 目的関数は二次関数 (凸関数) ⇒ 凸計画問題 ex. モデル予測制御 (MPC) 例えばLagrangeの未定乗数法で解ける Design of Intelligent Robots 10 線形計画問題(LP) 2次計画問題(QP) 半正定値計画問題(Semi Definite Programming) LMIによる制御系の解析・設計 凸計画問題(CP) Design of Intelligent Robots 11 半正定値計画問題(Semi Definite Programming) 半正定な行列変数に関する（半正定性の意味で の）不等式制約のもとでの最適化問題 【確認】 行列の正定（値)性，半正定(値）性 Design of Intelligent Robots 12 【基本となる正定性の特徴づけ】 正定行列の集合は凸であることを示せ. Design of Intelligent Robots 13 リアプノフの安定定理の前に 簡単化 一般論 特性方程式の係数列から判 定する ⇒ Routh-Hurwitz の安定判別法 固有値を計算せずに判定したい Design of Intelligent Robots 14 正定性による制御系の特徴づけの例： リアプノフの安定定理 Key point 1: 行列 Pの正定性がシステムの安定性を 特徴づけている. Key point 2: 負定性を表す不等式が条件式となる. Design of Intelligent Robots 15 リアプノフの安定定理の証明： Design of Intelligent Robots 16 LMI条件 Design of Intelligent Robots 17 LMI(線形行列不等式)とは Design of Intelligent Robots 18 LMI(線形行列不等式)とは Design of Intelligent Robots 19 LMIで規定される集合は凸である Design of Intelligent Robots 20 LMIでできること（1） 安定性判別 線形システム は安定か？ Lyapunovの安定定理より に解が存在すれば安定，しなければ不安定 最小化すべき目的関数を特に定めず, 実行可能解 を探す問題 ⇒ feasibility problem Design of Intelligent Robots 21 LMIでできること（2） 状態フィードバックによる安定化 制御対象： 制御則（状態フィードバック）: 閉ループ系： Lyapunov不等式条件を適用 変数同士の積がある⇒LMIでない Design of Intelligent Robots 22 変数変換法 Design of Intelligent Robots 23 LMIでできること（3） ゲインスケジューリング制御 制御対象： 線形パラメータ変動システム （Linear Parameter Varying System) ゲインスケジューリング制御 ポリトープ型の変動表現 Design of Intelligent Robots 24 状態フィードバック安定化のLMI条件 として上式に代入すると (★) であればLMI条件の凸結合(★)も満たされる Design of Intelligent Robots 25 が解を持つならば はLPVシステム に対して安定化する Design of Intelligent Robots を任意の 連立LMI条件 （要求仕様の追加は簡単） 26
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