2 方向に大傾斜が可能な零自由度 3-UU パラレル

䢵䣒䢴䢯䣍䢲䢴
2 方向に大傾斜が可能な零自由度 3-UU パラレルメカニズム
Zero-DOF 3-UU parallel mechanism that inclines largely in two directions
鹿田憲吾 (阪大)
○杉原知道 (阪大)
舛屋賢（阪大）
Kengo Shikata, Osaka University, [email protected]
Ken Masuya, Osaka University
Tomomichi Sugihara, Osaka University
A novel 3-UU parallel mechanism is proposed. It is completely constrained and does not move in theory, while it can incline in
two directions due to slight deformation of links in practice. This unique property provides the mechanism with high stiffness
in spite of its large workspace. A technique to analyze such a mechanism that behaves differently from theory is also proposed.
Key Words: 2-DOF parallel mechanism, kinematics analysis, stiffness analysis
1. はじめに
人の上半身のように，腕部だけでなく腰部にも関節を持ち，広
い作業範囲とそれによる高い作業能力を備えたロボットの開発を
目指す．このようなロボットの腰部には，大傾斜可能であること
および重い上半身のための十分な支持剛性が必要となる．一般的
に剛性を確保するためには，可動部をなるべく減らし，構造部材
や軸受を頑丈にする必要がある．一方，可動範囲を広く取るため
には，干渉を回避するために，しばしば軸周辺を華奢に設計する
ことが必要である．機構全体のサイズや重量が制限される中で上
記 2 点を両立することは難しい．
これまでに，腰関節を持つロボットは幾つか開発されている．
Ott ら [1] は，前屈・背屈のみ可能な受動腰関節を採用している．
Ogura ら [2]，Buschmann ら [3] は，シリアルメカニズムを採用
Fig.1 An oblique view of 3-UU parallel mechanism
しており，必要な支持剛性・駆動トルクを得るために重く大型
のモータ・減速機を使っている．Espiau ら [4] が採用した腰機構
は，カルダン関節と直動モータを組み合わせたもので，傾斜角を
大きく取れないと推察できる．また Liang ら [5] は，パラレルメ
カニズムを 2 段に重ねる事で傾斜角を拡大する方法を提案してい
るが，機構の大型化は免れない．
本稿では，支持剛性を十分に確保しながら，2 方向に大傾斜可
能な 3-UU パラレルリンク機構，およびその運動・剛性解析手法
を提案する．これは零自由度機構でありながらも，機械要素の微
小な変形やバックラッシュで実質的に 2 自由度機構として振る舞
ṛẝẞ ẋẢẓẝ
ṜẘẎ ẋẢẓẝ
う．このような機構の解析方法は自明ではない．そこで複数の仮
想関節を導入し，これらの変位を最小化するような逆運動学解を
Fig.2 A top view of 3-UU parallel mechanism
求めることで，微小変形を表現する．解析の結果，機構パラメー
タを適切に選ぶことで，同サイズのシリアルメカニズムと比較し
垂直方向の剛性を高くできることが分かった．試作機を製作し，
バックラッシュの低減が剛性向上の鍵であることを確認した．
2. 零自由度 3-UU 機構
ように真上から見たときには，点 E の投影点を点 B に一致させ，
点 bi に対し点 ei が円周中心をはさんで互いに反対側になるよう
にする．さらに，bi の第 2 軸と，ei の第 2 軸を，長さ L のリンク
図 1 に提案する機構の模式図を示す．ベース上の点 B を中
i で結合する．以下，この姿勢を「基準姿勢」と呼ぶ．
心とする半径 r の円周上，およびエフェクタ上の点 E を中心と
このように本機構は，両端にユニバーサルジョイントを 2 個ず
する半径 r の円周上に，120◦ 間隔で点 bi (i = 1, 2, 3)，および点
つ持つリンク 3 本によってエフェクタを支持するため，以下では
ei (i = 1, 2, 3) をそれぞれとる．各点 bi , ei にはユニバーサルジョ
イントを配置し，第 1 軸が円周の接線と一致するように，第 2 軸
が第 1 軸に直交し円周の中心を通るように配置する．このとき，
エフェクタとベースが並行になるようにする．すなわち，図 2 の
3-UU 機構と呼ぶ．この機構が零自由度であることを，以下の手
順で確認する．リンク i の両端にある軸の回転角を，点 bi にある
ユニバーサルジョイントの 2 軸，1 軸，点 ei にあるユニバーサル
ジョイントの 1 軸，2 軸の順に qi1 ∼ qi4 とし，qi = [qi1 qi2 qi3 qi4 ]T
䣐䣱䢰䢢䢳䢶䢯䢴䢢䣒䣴䣱䣥䣧䣧䣦䣫䣰䣩䣵䢢䣱䣨䢢䣶䣪䣧䢢䢴䢲䢳䢶䢢䣌䣕䣏䣇䢢䣅䣱䣰䣨䣧䣴䣧䣰䣥䣧䢢䣱䣰䢢䣔䣱䣤䣱䣶䣫䣥䣵䢢䣣䣰䣦䢢䣏䣧䣥䣪䣣䣶䣴䣱䣰䣫䣥䣵䢮䢢䣖䣱䣻䣣䣯䣣䢮䢢䣌䣣䣲䣣䣰䢮䢢䣏䣣䣻䢢䢴䢷䢯䢴䢻䢮䢢䢴䢲䢳䢶
䢵䣒䢴䢯䣍䢲䢴䢪䢳䢫
とおく．また基準姿勢において qi j = 0( j = 1, 2, 3, 4) であるとす
る．ベース座標系 (x − y − z) に対するエフェクタの位置・姿勢を
r，リンク i の関節角度を q ≡ [q1 T q2 T q3 T ]T とそれぞれおくと，
次が成り立つ．
δr = J 1 δq1 = J 2 δq2 = J 3 δq3
(1)
ただし，δqi を δr に変換する基礎ヤコビ行列を J i ∈ R6×4 (i =
1, 2, 3) とした．これより，次式を得る．
"
# δq 
J 1 −J 2
O  1 
δq  = 0
J1
O −J 3  2 
δq3
(2)
ただし，O は零行列，0 は零ベクトルである．もし，左辺の係
数行列が正則ならば，上記の方程式 (2) は自明解以外の解を持た
Fig.3 Virtual joints added to the model of 3-UU mechanism for analysis
ここで，リンク 1 ∼ 3 全ての仮想関節の回転角をまとめて qv
とおくと，式 (2) を得たのと同様の方法によって次式を得る．
ない．したがって，様々な姿勢でこの行列の正則性を調べれば良
Ad δqd + A0f δq0f + Av δqv = 0
い．しかし，これが自明解しか持たないならば，逆運動学を解く
ことができず，機構が様々な姿勢をとることもできない．
そこで，点 e2 , e3 のユニバーサルジョイントに，エフェクタ面
に垂直な方向の関節を仮想的に追加する．これらを 5 番目の関節
とし，回転角を q25 , q35 とする．いま駆動関節として q21 と q31
を選んで qd ≡ [q21 q31 ]T とし，q25 と q35 を含めた受動関節の関
節角を q f とする．このとき，式 (2) を得たのと同様の方法で
Ad δqd + A f δq f = 0
ただし， q0f は q f から q25 と q35 を除いたもの， Ad は式 (3) と同
じもの， A0f は同式の A f から q25 と q35 に対応する列を除いたも
のであり， Av ∈ R12×15 である．
駆動関節 qd に変位を与えたときの，受動関節や仮想関節の変
位を求めたい．上述のとおり，仮想関節の変位は微小な部材の変
形やバックラッシュに相当するため，本来は部材の剛性や加工精
(3)
を得る．ただし， Ad ∈ R12×2 , A f ∈ R12×12 である．仮に A f が正
則であれば，式 (3) より
δq f = −A f −1 Ad δqd
(5)
度から決まる．しかし本節の目的は，3-UU 機構が大傾斜する理
由を考察することであり，仮想関節の変位を厳密に求める必要は
ない．そこで，式 (5) において qv を最小化するような q0f を求め
ることにおきかえる．
(4)
と変形でき， qd を変化させたときの q f を反復解法によって求め
ることができる．さらに，求まった q f に含まれる q21 と q31 が
非零ならば，本来取り得ない姿勢であることが分かる．
上記の考え方にもとづき，逆運動学を解きエフェクタの傾斜角
Av の疑似逆行列を A#v とすれば，式 (5) より
δqv = −A#v Ad δqd + A0f δq0f
と表すことができる．この下で，本問題は次式の最適化問題に帰
着する．
が全方位について 0 ∼ 90◦ となる範囲で緯度・経度ともに 3◦ 刻
みで A f のランクを調べ，これがフルランクであれば q25 , q35 を
求めた．ただし L = 205, r = 98mm とした．なお，逆運動学求解
⇔E≡
には Sugihara[6] の方法を用いた．その結果，基準姿勢において
のみ rankA f = 10 かつ q25 = 0, q35 = 0 で，それ以外の姿勢では
rankA f = 12 かつ q25 , 0 または q35 , 0 であった．なお，打ち切
り誤差は 1.0 × 108 とした．以上は厳密な方法ではないが，3-UU
1
2
1 T
δq δqv → min.
2 v
δqd T Ad T +δq0f T A0f
T
subject to Eq.（5）
T
A#v A#v Ad δqd + A0f δq0f → min.
(7)
評価関数 E の停留条件より，
∂E
T
= A0f T A#v A#v Ad δqd + A0f δq0f = 0
0
∂ δq f
機構が零自由度であり，基準姿勢が特異点であることをほぼ事実
⇔ δq0f ≡ Bδqd
として示唆する．
3. 理論上零自由度である機構の運動解析
(6)
(8)
である．ただし， A0f は常に列フルランクであると仮定し，
前節の結果より，3-UU 機構は理論上は動かない．しかし 3-UU
−1
T
T
B = − A0f T A#v A#v A0f
A0f T A#v A#v Ad
機構の模型を製作したところ，2 方向に大きく傾斜した．その原
(9)
因は，部材の微小変形や可動部のバックラッシュによると考え
た．そこで，これらを近似的に表現するため，図 3 に示すように
とした．特に Av が行フルランクならば，
各リンク i に次の (I)∼(III) の 3 種類，5 個の仮想関節を追加した
−1
T
A#v A#v = Av Av T
モデルを考える．
と置き換えられる．以上の方法により，計算コストの大きい有限
(I) 点 ei を通り，エフェクタ面に垂直な回転軸を持つ関節
(II) 点 bi を通り，ベース面に垂直な回転軸を持つ関節
(III) リンク中点にある直交三軸 (球面関節)
要素解析などを用いることなく，運動解析を行うことができる．
エフェクタの運動については，仮想関節による寄与を無視すれ
上記のうち (I)・(II) は軸受のバックラッシュを，(III) はリンクの
曲げとねじりを表現するものである．図 3 では簡単のため 1 つの
リンクのみ示しているが，他の 2 リンクも同様である．
(10)
ば，式 (1) より
δr =
1
1
J 1 δq1 + J 2 δq2 + J 3 δq3 =
B f δq0f + Bd δqd
3
3
䣐䣱䢰䢢䢳䢶䢯䢴䢢䣒䣴䣱䣥䣧䣧䣦䣫䣰䣩䣵䢢䣱䣨䢢䣶䣪䣧䢢䢴䢲䢳䢶䢢䣌䣕䣏䣇䢢䣅䣱䣰䣨䣧䣴䣧䣰䣥䣧䢢䣱䣰䢢䣔䣱䣤䣱䣶䣫䣥䣵䢢䣣䣰䣦䢢䣏䣧䣥䣪䣣䣶䣴䣱䣰䣫䣥䣵䢮䢢䣖䣱䣻䣣䣯䣣䢮䢢䣌䣣䣲䣣䣰䢮䢢䣏䣣䣻䢢䢴䢷䢯䢴䢻䢮䢢䢴䢲䢳䢶
䢵䣒䢴䢯䣍䢲䢴䢪䢴䢫
(11)
ṝṗṿṿ ẗẏẍẒẋẘẓẝẗ
ṛṗṿ ẗẏẍẒẋẘẓẝẗ
Fig.7 Snapshots of a 2-DOF rotating movement of the developed
mechanism
Fig.4 A movable scope of 3-UU (L = 205, r = 98mm)
ただし f ∈ R6 はエフェクタに加えられる ΣB 系での 6 軸力であ
る．ここで，比コンプライアンス行列 C を次のように定義する．
C ≡ Jd JdT
(14)
C は，同一のサーボ剛性に対するエフェクタの比コンプライアン
スを意味し，機構パラメータ比 r/L と姿勢のみに依存する．
特にベースが水平であるときの重量に対する支持剛性を調べる
ため，C の z 軸成分である第 3 列 cz ≡ [δ x δy δz δθ x δθy δθz ]T を抽
出し，次の Cvp , Cωp を定義する．
Cvp ≡
Fig.5 A movable scope of 3-UU w/o backlash (L = 205, r = 98mm)
Cωp ≡
となる．ただし B f , Bd は，δq0f , δqd に対応するように J 1 , J 2 , J 3
1
B f B + Bd δqd ≡ J d δqd
3
q
δ x 2 + δy 2 + δz 2
(15)
δθ x 2 + δθy 2 + δθz 2
(16)
これは，z 軸方向の力に対する並進比コンプライアンスおよび回
を組み替えたものである．これと式 (8) より，
δr =
q
転比コンプライアンスを表す．
(12)
比較評価のため，図 7 のように，基準姿勢において 3-UU 機
構と同じ高さを持つ 1-U シリアルメカニズムを考える．ただし
となり，この J d ∈ R6×2 が駆動関節に対するエフェクタの基礎ヤ
ベース側の端点がユニバーサルジョイントによって接続されてい
コビ行列をあらわす．なお，以下全ての計算において，実際に A0f
るものとする．このシリアルメカニズムについても，同様に z 軸
は列フルランク， Av は行フルランクであった．さらに，エフェ
方向力に対する並進比コンプライアンス・回転比コンプライアン
クタの位置・姿勢が式 (12) の形で表されるため 3-UU 機構は過可
スを定義し，それぞれ Cvs , Cωs とする．いくつかのリンク比 r/L
動特異点 [7] に該当せず，駆動関節が動かなければエフェクタの
において，Cvs /Cvp と Cωs /Cωp を調べた結果を図 6 に示す．図
位置・姿勢も動かないことが分かった．
4，図 5 と同様に，傾斜姿勢をエフェクタ面の単位法線ベクトル
上記のモデルにおいて，仮想関節の変位角を ±ε[deg] に制限し
たときの，傾斜範囲を求めた．図 4 には，r = 98，L = 205 とし，
を位置ベクトルとする点としてプロットしている．色のついた領
域は上段が Cvs > Cvp 下段が Cωs > Cωp に対応し，それぞれの数
ε = 0.05, 0.10, 0.25, 0.50, 1.00, 1.50 と変えたときに，逆運動学が
値 Cvs /Cvp ・Cωs /Cωp が大きいほど赤色に近くなっている．この
可解であった，すなわち傾斜可能であったエフェクタ面の単位法
結果は，機構パラメータ比 r/L をある範囲に設計すれば，剛性の
線ベクトルを位置ベクトルとする点を，球面座標にプロットした
観点から 3-UU 機構が有利になることを示している．
ものである．図中の黒線は，緯度 15◦ 毎の目盛りである．この結
5. 実機設計と評価
果より，例えば ±ε = 0.50 とすれば，全方位に 45[deg] 程度傾斜
可能であると分かる．
また，軸受のバックラッシュが理想的に 0 である場合，すなわ
ち部材変形の効果のみで傾斜する場合の可動範囲を同様に求めた
結果を図 5 に示す．この場合でも全方位に傾斜可能である．
4. 剛性解析
3-UU 機構を実際に製作した．機構パラメータを r = 98・
L = 220 とし，減速機にハーモニックドライブ・システムズ社製
CSF-14-100-2UH-LW，モータに Maxon Motor 社製 RE-max29 を
使用した．この概観を図 8 に示す．また，モータ駆動によって傾
斜角を様々に変化させたときのスナップショットを図 9 に示す．
このとき，全方位におよそ 70◦ 程度の傾斜角をとれることを確認
3-UU 機構の剛性，特に重力に対する支持剛性を解析・評価す
る．駆動関節 q21 , q31 のモータサーボ剛性がともに k であるとき，
した．
準静的状態において次式が成り立つ．
これは主に軸受のバックラッシュによるもので，剛性を著しく低
δr = k−1 J d J d T f
一方，本機構が大きなバックラッシュを持つことも分かった．
下させる原因となっている．また部品間の干渉が原因で，機構パ
(13)
ラメータ比 r/L を設計する際の大きな制約となることも分かっ
䣐䣱䢰䢢䢳䢶䢯䢴䢢䣒䣴䣱䣥䣧䣧䣦䣫䣰䣩䣵䢢䣱䣨䢢䣶䣪䣧䢢䢴䢲䢳䢶䢢䣌䣕䣏䣇䢢䣅䣱䣰䣨䣧䣴䣧䣰䣥䣧䢢䣱䣰䢢䣔䣱䣤䣱䣶䣫䣥䣵䢢䣣䣰䣦䢢䣏䣧䣥䣪䣣䣶䣴䣱䣰䣫䣥䣵䢮䢢䣖䣱䣻䣣䣯䣣䢮䢢䣌䣣䣲䣣䣰䢮䢢䣏䣣䣻䢢䢴䢷䢯䢴䢻䢮䢢䢴䢲䢳䢶
䢵䣒䢴䢯䣍䢲䢴䢪䢵䢫
(a)
r
= 0.244
L
(b)
r
= 0.341
L
(c)
r
= 0.390
L
(d)
r
= 0.439
L
(e)
r
= 0.478
L
Fig.6 A comparison of specific stiffness between 1-U mechanisms and 3-UU mechanisms
Fig.9 Tilt attitudes of the prototype
構パラメータ比に依存することを示した．さらに試作機を製作
し，軸受のバックラッシュが製作上の課題となることを明らかに
した．今後設計を改良し，人型ロボットに搭載する予定である．
文献
Fig.8 A prototype of 3-UU mechanism(L = 205, r = 98mm:
r
= 0.478)
L
た．前者については二重軸受を使用する，後者については部品形
状を工夫する等の対策が必要である．
6. おわりに
大きな傾斜角と十分な支持剛性を両立する機構として，理論的
には零自由度だが現実には 2 自由度を持つ 3-UU 機構を提案し
た．また，そのような機構の運動解析・剛性解析を行う方法を提
案した．解析の結果，提案機構はシリアルメカニズムと比較して
可動範囲や剛性の観点から有利であること，ただしその結果は機
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䣐䣱䢰䢢䢳䢶䢯䢴䢢䣒䣴䣱䣥䣧䣧䣦䣫䣰䣩䣵䢢䣱䣨䢢䣶䣪䣧䢢䢴䢲䢳䢶䢢䣌䣕䣏䣇䢢䣅䣱䣰䣨䣧䣴䣧䣰䣥䣧䢢䣱䣰䢢䣔䣱䣤䣱䣶䣫䣥䣵䢢䣣䣰䣦䢢䣏䣧䣥䣪䣣䣶䣴䣱䣰䣫䣥䣵䢮䢢䣖䣱䣻䣣䣯䣣䢮䢢䣌䣣䣲䣣䣰䢮䢢䣏䣣䣻䢢䢴䢷䢯䢴䢻䢮䢢䢴䢲䢳䢶
䢵䣒䢴䢯䣍䢲䢴䢪䢶䢫

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