物理学２ 第９回資料（平成２7 年度後期）
名城大学 教員：山﨑耕造
キーワード（6.4）
慣性モーメント L = Iω，
𝐼𝐼
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
６．４ 慣性モーメント
L = Iω,
𝐼𝐼
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐼𝐼 = ∑𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑖𝑖 2 = ∫ 𝜌𝜌𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑁𝑁,
I = mr2
（ 参考 p=mv ⇔ L=mrv
v ⇔ ω m ⇔ I ）
𝐼𝐼 = ∑𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑖𝑖 2 = ∫ 𝜌𝜌𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑁𝑁,
例１：細い棒の慣性モーメント 長さ 2ℓ
𝐼𝐼 = ∫ 𝜌𝜌𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑=2×Sρ∫ 𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑀𝑀ℓ2
3
例２：円盤の慣性モーメント 半径 a 厚み b
𝐼𝐼 = ∫ 𝜌𝜌𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
1
2
𝑀𝑀𝑎𝑎2
例３：球の慣性モーメント 半径 a
M=2ρSℓ
断面積 S
1
r=0~a M=πr2bρ
dV =2πrbdr
dV =2πrhdr h=2(a2-r2)1/2
𝑎𝑎
M=(4/3)πr3ρ
0
1
1
1
𝑀𝑀𝑎𝑎2
2
𝐼𝐼 = ∫ 𝜌𝜌𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝜋𝜋𝜌𝜌 ∫0 𝑟𝑟 3 ℎ𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝜋𝜋𝜌𝜌 ∫𝑎𝑎 (ℎ2 − 𝑎𝑎2 )ℎ2 𝑑𝑑ℎ = 4𝜋𝜋𝜌𝜌𝑎𝑎5 � − � = 𝑀𝑀𝑎𝑎2
3
I = (係数) ｘ（質量）ｘ（長さ）２
5
5
ｐ.９４の図表（いろいろな物体の重心まわりの慣性モーメント）
練習問題 略解メモ
９．慣性モーメント：
𝐼𝐼 = ∑𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑖𝑖 2 =2 m×(ℓ/2)2+2 m×ℓ2=(5/2)mℓ2
１０．慣性モーメント：
(1) dV=2abdr, r=0~a/2, M=a2bρ,
𝑎𝑎/2
2 𝑀𝑀 𝑎𝑎 3
𝐼𝐼 = ∫ 𝜌𝜌𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑=2abρ∫0 𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
( ) =
√2
𝑎𝑎-r)bdr,
2
(2) dV=2×2(
√2
𝑎𝑎,
2
M=a2bρ,
√2
𝑎𝑎,
2
M= π(
r=0~
√2
𝑎𝑎
𝐼𝐼 = ∫ 𝜌𝜌𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝑏𝑏𝑏𝑏 ∫02 𝑟𝑟 2 (
１１．慣性モーメント：
√2
𝑎𝑎-r)dr,
2
dV=2×2πr(
√2
𝑎𝑎
2
r=0~
√2
𝑎𝑎
3 𝑎𝑎 2
𝐼𝐼 = ∫ 𝜌𝜌𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝜋𝜋𝜋𝜋 ∫02 𝑟𝑟 3 (
√2
𝑎𝑎
2
1
12
− 𝑟𝑟)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4
1
3
𝑀𝑀𝑎𝑎2
𝑀𝑀 1 1
(
𝑎𝑎 2 3 4
𝑎𝑎4 −
11
44
√2 2
√2
𝑎𝑎) √2𝑎𝑎ρ= πa3ρ，
2
6
− 𝑟𝑟)d𝑟𝑟 = 4𝜋𝜋𝜋𝜋(
1 √2
4 8
−
1 √2
5 8
𝑎𝑎4 )=
)𝑎𝑎5 =
12
1 √2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑎𝑎5
20 2
=
3
20
𝑀𝑀𝑎𝑎2
１２．慣性モーメント：
(1) 体積 V=(4/3)π(a3-b3), 密度 ρ=M/V=3M/[4π(a3-b3)]
(2) 質量 MA は MA=(4/3)πa3ρ= Ma3/(a3-b3) 慣性モーメントは IA= (2/5)MAa2= (2/5)Ma5/(a3-b3)
(3) 半径 b の球の慣性モーメント IB= (2/5)Ma5/(a3-b3) なので，
中空の球の慣性モーメントは IA-IB=(2/5)M (a5-b5)/(a3-b3)

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