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6 相関係数
6.
6.1.
15
相関係数
散布図
6.1.1. データ
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10 月
11 月
12 月
最高気温
9.9
11.1
14.4
19.5
23.7
26.9
30.9
32.1
28.3
23.4
17.8
12.6
平均気温
6.6
7.4
10.4
15.1
19.4
23
27.2
28.1
24.4
19.2
13.8
8.9
最低気温
3.5
4.1
6.7
11.2
15.6
19.9
24.3
25
21.3
15.4
10.2
5.6
アイスクリーム売上げ
780
950
1280
1255
1290
1650
2000
2430
1200
1150
1210
1045
6.1.2. 気温を横軸に売り上げを縦軸にしてプロットしよう．
♠ エクセルの散布図を使う
6.2.
相関係数
6.2.1. X1 , . . . , Xn の分散 SX
1∑
(Xi − X n )2 .
n i=1
n
SX =
ただし，X n =
X1 + · · · + Xn
．
n
6.2.2. X1 , . . . , Xn と Y1 , . . . , Yn の共分散 SXY
1∑
(Xi − X n )(Yi − Y n ).
n i=1
n
SXY =
6.2.3. X1 , . . . , Xn と Y1 , . . . , Yn の相関係数 rXY
SXY
√
rXY = √
SX SY
6.2.4. SXX = SX
6.2.5. (a) X1 = Y1 , . . . , Xn = Yn ならば，rXY = 1.
(b) Y1 = −X1 , . . . , Yn = −Xn ならば，rXY = −1
6 相関係数
16
(c) Yi = aXi + b ならば，rXY
{
1
=
−1
(a > 0)
.
(a < 0)
6.2.6. X と Y に強い相関があっても rXY = 1 とはならない．
例 X1 , . . . , X10 , Y1 , . . . , Y10 , Yi = Xi4 のとき
X
Y
X
Y
9
6561
11
14641
8
4096
9
6561
7
2401
8
4096
10
10000
12
20736
13
28561
9
6561
rXY = 0.972
♠ エクセルで確かめてみよう!
6.2.7. 気温とアイスクリーム売上げの相関係数
最高気温 0.980，平均気温 0.974，最低気温 0.958
♠ エクセルで確かめてみよう
6.3.
相関係数と散布図
相関係数と散布図の関係を次のデータで見てみよう
21
68
54
10
47
78
53
46
14
34
12
72
78
29
59
17
89
57
63
27
系列 1
47.1
106.6
89
26.4
143.8
177.5
155.5
81.7
30.8
116.4
34.7
167.3
138.3
48.2
102.7
44.3
211.5
87
95.6
73.1
系列 2
86.8
62.4
36.3
103.9
57.2
37.9
76.5
35.4
108.5
67.7
137
8.5
26.3
115.7
40.1
121.5
7.7
15.5
72.5
85
系列 3
111.3
38.7
29
28.9
72.5
34
78.2
43.9
3.4
7.2
48.2
109
30.9
81
58.5
114.3
60.5
74.7
67
82.5

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