2014/12/01 技術者のための構造力学 資料⑤ 純ねじりとそりねじり 三好崇夫 加藤久人 １．はじめに 曲線桁橋や斜橋等，ねじりの影響を無視できない橋梁は多い．一般的に大きなねじりを受ける橋梁に は箱形断面桁が用いられているため，箱形断面桁が鈑桁などの I 形断面桁に比べてねじり剛性と強度の 高いことは容易に推察できる．本資料では，最初に実構造物として 3 径間連続桁橋を例にねじりに伴う 変形について考察する．次に，一般的に用いられる箱形断面や H 形断面を有する部材がねじりを受けた 場合の挙動を考察する際の基礎として，はりの曲げ，せん断変形の理論を簡単に述べる．そして，まず 代表的なねじり現象として，純ねじりとそりねじりについて各々の特徴を説明し，曲げを受けるはりの 力学挙動との対応について整理する．さらに，様々な断面形状を有する部材のねじり現象について説明 し，ねじり挙動の判別に用いられている，ねじり定数比を紹介する．なお，本資料では詳細な式の誘導 は極力避け，図表を使用して純ねじりとそりねじりの相違に関する理解が深まるように配慮している． ２．連続桁のねじり変形に関する考察 それぞれ図－1，2 に示すようにねじり変形には純ねじりとそりねじりの 2 種類がある．図－1 に示す ように，純ねじり変形は一般的に箱形断面部材等の閉じた断面がねじりを受けた場合に発生し，同図(b) に示すように，断面を構成する板要素のせん断変形として捉えられる．一方，図－2 に示すように，そ りねじり変形は一般的に H 形断面部材等の開いた断面がねじりを受けた場合に発生し， 同図(b)に示すよ うに，断面を構成する板要素の曲げ変形として捉えられる． 図－3 に示すように，中央径間にねじり荷重のみが作用する 3 径間連続の直線単箱桁を考える．同図 (b)に示すように，単箱桁には純ねじり変形，即ち断面の剛体回転が生じる．しかし，中間支点でねじり A A z z x x y y T A A T (a) 鳥瞰図 (a) 鳥瞰図 せん断変形 (b) 図－1 曲げ変形 A-A 断面 (b) 純ねじり変形 図－2 1 A-A 断面 そりねじり変形 2014/12/01 技術者のための構造力学 ダイアフラム（十分密に配置） ねじり荷重 断面変形 剛体回転 →通常無視 (b) 断面図 せん断変形に相似 (c) (a) 鳥瞰図 図－3 側面図 3 径間連続単箱桁のねじり変形 たわみ 剛な対傾構（十分密に配置） 回転 ＝ ＋ ねじり荷重 (b) 断面図 曲げ変形に相似 (c) (a) 鳥瞰図 図－4 側面図 3 径間連続 2 主鈑桁のねじり変形 回転 たわみ ダイアフラム，横桁 （十分密に配置） ＋ ねじり荷重 ＝ (b) 断面図 曲げ変形に相似 (a) 鳥瞰図 (c) 図－5 側面図 3 径間連続 2 主箱桁のねじり変形 変形が拘束される場合には，このねじり変形は中央径間のみで生じ，側径間へは波及しない． 次に，図－4 に示す 3 径間連続の直線 2 主鈑桁を考える．同図(b)に示すように，鈑桁には主に個々の 桁の単独回転変形と左右の桁のたわみの差によるそりねじり変形が生じる．このそりねじり変形は中間 支点を越えて側径間へ波及する．なお，回転変形によって個々の桁に純ねじり変形とそり変形が生じる． また，図－5 に示す 3 径間連続の直線 2 主箱桁を考える．2 主箱桁の全体断面を 1 断面と捉えたとき， には左右の箱桁のたわみによるそりねじり変形が生じ，同時に各箱桁には回転に伴う純ねじり変形が生 じる． 最後に，図－6 に示す 3 径間連続の直線開断面箱桁を考える．架設中の開断面箱桁で，中央径間にね 2 2014/12/01 技術者のための構造力学 ダイアフラム（十分密に配置） ねじり荷重 せん断中心 (b) 断面図 曲げ変形に相似 (a) 鳥瞰図 (c) 側面図 3 径間連続開断面箱桁のねじり変形 図－6 ダイアフラム（十分密に配置） ねじり荷重 断面変形 剛体回転 →通常無視 (b) 断面図 せん断変形に相似 (c) (a) 鳥瞰図 図－3 側面図 3 径間連続単箱桁のねじり変形（再掲） じり荷重が作用する場合には，2 主鈑桁と同様にそり変形が発生する．ただし，開断面箱桁のせん断中 心は断面の外側下方にあり，ねじりによる回転はせん断中心まわりに発生するため，桁が水平方向へ大 きく移動する変形が現れる． ２．１ 3 径間連続単箱桁 図－3 に示す 3 径間連続の直線単箱桁について考える．その中央径間にねじり荷重のみが作用する場 合，箱桁には同図(b)に示すように純ねじり変形が生じる．例えば，中間支点が 2 支承構成で，支点でね じり変形が拘束される場合，このねじり変形すなわち箱形断面の剛体回転によって生じる変形は，中央 径間のみで生じ，側径間へは波及しない．同図(c)の側面図に示されるように，この変形ははりのせん断 変形に相似である． 以上の考察においては，箱桁内には多数のダイアフラムが配置され，箱形断面には断面変形が生じな いことを前提としている．箱形断面のような閉断面では純ねじり剛性がそりねじり剛性に卓越するため， あるいはダイアフラムによって断面変形が阻止されるならば，箱形断面のそり変形は無視できるほど小 さいため，純ねじり変形のみを考慮すればよい．ここに，純ねじり剛性は薄肉閉断面に関するねじり定 数 J あるいは Kt とせん断弾性係数 G との積 GJ あるいは GKt で表される． ２．２ 3 径間連続 2 主鈑桁 図－4 に示す 3 径間連続の直線 2 主鈑桁について考える．主桁間には多数の対傾構が配置され，変形 後においても 2 主鈑桁全体の断面形状は支間のいかなる位置でも維持されるものとして，2 本の主桁を 1 本の骨組に置き換えて考える．中央径間にねじり荷重のみが作用する場合，鈑桁にはそりねじり変形 3 2014/12/01 技術者のための構造力学 たわみ 剛な対傾構（十分密に配置） 回転 ＝ ＋ ねじり荷重 (b) 断面図 曲げ変形に相似 (c) (a) 鳥瞰図 図－4 側面図 3 径間連続 2 主鈑桁のねじり変形（再掲） 回転 たわみ ダイアフラム，横桁 （十分密に配置） ＋ ねじり荷重 ＝ (b) 断面図 曲げ変形に相似 (a) 鳥瞰図 (c) 図－5 側面図 3 径間連続 2 主箱桁のねじり変形（再掲） が生じる． 2 主鈑桁のそりねじり変形は，図－4(c)に示すように，側面図では各々の桁が鉛直に下または上にたわ む変形として捉えることができる．例えば，同図(b)に示すように，左右の桁のうち左側が上にたわむの であれば右側は下にたわむ．このそりねじり変形は中間支点を越えて側径間へ波及する．このことは連 続桁では中間支点でたわみを拘束してもたわみ角を拘束しない限り，中央径間のたわみが支点を越えて 側径間にも生じることから容易に理解される．同図(c)に示すように，これらの変形ははりの曲げ変形に 相似である．以上より，2 主鈑桁では 2 支承構成の中間支点でねじり変形が拘束されても，側径間にお いてもねじり変形が生じる． 鈑桁のような開断面では，そりねじり剛性が純ねじり剛性に卓越するため，そりねじりの変形のみを 考慮すればよい．厳密には，図－4(b)に示すように，全体断面の回転に伴って各々の鈑桁にも回転変形 が生じることから，個々の桁には純ねじり変形とそりねじり変形も存在する．このときのそりねじり剛 性 Iω は，左右の鈑桁が同じ断面の場合，概略的には 1 つの桁の鉛直方向曲げ剛性 Iz に主桁間隔 b の半分 の 2 乗を乗じ，それを 2 倍した Iω=Iz(b/2)2×2 として求められる．ただし，個々の桁のねじり剛性は無視 している． ２．３ 3 径間連続 2 主箱桁 図－5 に示す 3 径間連続の直線 2 主箱桁について考える．その主桁間には多数の横桁が配置され，変 形後においても 2 主箱桁の断面形状は支間のいかなる位置でも維持されるものとして，2 本の主桁を 1 4 2014/12/01 技術者のための構造力学 本の骨組に置き換えて考える．中央径間にねじり荷重のみが作用する場合，同図(b)に示すように，2 主 箱桁断面には左右の箱桁のたわみの差に伴うそりねじり変形が生じ，同時に各箱桁には純ねじり変形が 生じる．2 主鈑桁と同様に，2 主箱桁のそり変形も，同図(c)に示すように，側面図では各々の箱桁が鉛 直下または上向きにたわむ変形として捉えることができる．また，このそりねじり変形は中間支点を越 えて側径間へ波及する．一方，2 主箱桁断面の回転に伴って左右の箱桁が回転し，その結果として箱桁 ごとの純ねじり変形が生じる．さらに，そりねじり変形が側径間へも波及することから，それに追従し て側径間でも箱桁ごとに純ねじり変形が生じる． これらの変形を考慮するためには，2 主箱桁断面のそりねじり剛性と箱ごとの純ねじり剛性を同時に 考慮する必要がある．このような状態を曲げねじりと称する．左右の箱桁が同じ断面の場合，そりねじ り剛性 Iω は 1 つの箱桁の鉛直方向曲げ剛性 Iz に箱桁間隔 b の半分を 2 乗して乗じ，それを 2 倍した Iω=Iz(b/2)2×2 として表される．純ねじり剛性は 1 つの箱桁の薄肉閉断面の純ねじり定数 J あるいは Kt を 2 倍したものにせん断弾性係数 G を乗じて，2GJ あるいは 2GKt として表される．蛇足ながら，純ね じりは St. Venant（サンブナンねじり），そりねじりは Vlasov（ウラゾフ）ねじりとも称される． ２．４ 3 径間連続開断面箱桁 図－6 に示す 3 径間連続の直線開断面箱桁について考える．床版コンクリート硬化前の架設中におい ては，開断面箱桁では上フランジに相当する床版が無いため完全な開断面構造である．したがって，純 ねじり剛性に比べてそりねじり剛性が卓越するため，中央径間にねじり荷重が作用する場合には，２． ２節にて説明した 2 主鈑桁と同様にそり変形が発生する．同図(b)に示すように，開断面箱桁のせん断中 心は断面の外側下方にあり，断面の回転はせん断中心まわりに発生するため，桁が水平方向へ大きく移 動する変形が現れる．開断面箱桁の 1 軸対称断面で下フランジとウェブが直交する場合のせん断中心に ついては，例えば文献 1)の 72 頁の表 4.3 を参照されたい．また，同文献には，同断面のそりねじり定数 Iω の計算公式も掲示されている．さらに，文献 2)には，これらが斜めに交差する場合の公式も掲示され ていて，電卓を用いてそりねじり定数 Iω が算出できる． 開断面箱桁に上横構を設けると，上フランジ面でのトラス構造が面内せん断剛性を発揮するようにな るため，閉断面に類似の構造に変化させることができる． ３．はりの変形 はりのたわみには曲げ変形とせん断変形の 2 種類が含まれる．図－7(a)に示すように，はりの側面を 多数の微小長方形に分割し，曲げ変形，せん断変形それぞれについてこの長方形の変化の状況を調べる． ダイアフラム（十分密に配置） ねじり荷重 せん断中心 (b) 断面図 曲げ変形に相似 (a) 鳥瞰図 図－6 (c) 側面図 3 径間連続開断面箱桁のねじり変形（再掲） 5 2014/12/01 技術者のための構造力学 (a) P P L 変形前 曲げ変形 δb kb 長方形 3 EI L3 せん断変形 P kb 等脚台形 曲げ応力分布 (b) 曲げ変形 δs GA L P 長方形 (d) 直列バネ P せん断分布の理想化 平行四辺形 (c) せん断変形 図－7 片持ちばり 同図(b)に示すように，曲げ変形では長方形が等脚台形に変化する．一方，同図(c)に示すように，せん断 応力が高さ方向に一様に分布すると仮定したとき，せん断変形では長方形が平行四辺形に変化する． 曲げ変形では中立軸位置を除いて断面に軸方向の伸縮が生じ，引張り域では伸び，圧縮域では縮みが 発生する．せん断変形では上記の仮定の下では断面に軸方向の伸縮変形は発生しない．（厳密にはせん 断応力の分布に応じて，断面には軸方向の伸縮変形が生じる．） 片持ばりの先端に集中荷重 P が作用すると，はりには両者の変形が生じてたわむため，片持ち梁先端 のたわみ δ は，曲げによるたわみ δb とせん断によるたわみ δs の和として b s (1) δb，δs を求めるための基礎式は後で示すが，式(1)は次のように表される． L PL3 PL L3 b s P 3EI GA 3EI GA (2) ここに，L：片持ちばりの支間長，E：弾性係数，I：断面二次モーメント，κ：せん断修正係数，G： せん断弾性係数，および A：断面積である． 式(2)の関係は，概念的にバネに置き換えて考えれば，図－7(d)に示すように，曲げ変形を表現するバ ネ定数 kb のバネとせん断変形を表現するバネ定数 ks のバネをつないだ直列バネに相似である．ただし， 一般に高さに比べて長さが十分大きい片持ちばりでは δb>>δs となるため，せん断変形は無視される場合 が多い． 式(2)の関係を一般化すると，荷重の作用によって生ずる変位 v は，曲げによる変位 vb とせん断による 変位 vs の和として以下で表される． v vb vs (3) 片持ちばりの場合と同様に，一般に高さに比べて長さが充分に長いはり等の構造では，曲げ変形はせ ん断変形に卓越，即ち vb>>vs であるため，せん断変形は無視できる． はり部材などの直線部材において，基準とする原点から x だけ離れた断面に生ずる曲げモーメントを 6 2014/12/01 技術者のための構造力学 M，せん断力を S とするとき，vb，vs との関係はそれぞれ以下のように表される． M EI S S d 2 vb dx 2 (4) d 3 vb dM EI dx dx 3 (5) GA dv s dx (6) GA 式(6)において，γ はせん断ひずみ，κ は上述のせん断修正係数であり，せん断応力が高さ方向に一様 に分布する長方形断面では κ=1 となる． ４．棒のねじり 図－8 に示すように，箱形断面を有する棒部材の先端にねじりモーメント T が作用する場合の変形に ついて考察する．板厚に比べて板幅が大きい板で構成される構造は薄肉構造と称される．棒の断面に直 角な軸の回りに生じる変形をねじり変形と称することにする．ねじり変形には純ねじりとそりねじりの 2 種類がある．一般的に，一端が固定された棒部材の先端にねじり荷重が作用する時，このような閉じ た箱形断面（閉断面）では純ねじりが卓越し，そりねじりは無視できる．（厳密には固定点近傍で若干 のそりねじり応力が生ずる．） ４．１ 純ねじり 図－8 に示す状況では，薄板内に一定循環せん断流が発生し，棒材側面の微小長方形要素は平行四辺 形に変形する．また，図－9 に示すようにせん断応力分布が一様のため，断面の伸縮変形はない．した がって，純ねじり変形を生じている薄肉箱形断面を有する棒部材の側面の変形状態は，図－7(c)に示し た片持ちばりのせん断変形に類似である． 純ねじりのみが発生する場合，断面に生ずるねじり力 Ts とねじり回転角 φs の関係は次式で表される． A z x y T A (a) 変形前 (b) 変形後 図－8 薄肉箱形断面の純ねじり 平行四辺形 先端断面の伸 縮変形なし せん断応力分布 図－9 図－8 における A-A 面上の変形 7 2014/12/01 技術者のための構造力学 B z x y B T (a) 変形前 図－10 (b) 変形後 薄肉 H 形断面を有する棒部材のそりねじり z O x Q y M M Tω 曲げ応力分布 図－11 Q 図－10 における B-B 面上の変形 h/2 図－12 Ts GJ h/2 そりねじりによる断面力 d s dx (7) ここに，J：棒部材のねじり定数であり，GJ はねじり剛性と呼ばれる． 式(7)は，はりのせん断力とせん断変形の関係を表す式(6)に相似である． ４．２ そりねじり 図－10 に示すように，薄肉 H 形断面を有する棒部材のねじりを考察する．H 形断面部材の一端を固 定し，先端にねじり荷重を作用させた場合を考える．このような断面は閉断面に対して開断面と呼ばれ ている．一般的に，薄肉開断面部材ではそりねじりが卓越し，純ねじりは無視できるほど小さい． H 形断面のそりねじりは，図－11 に示すように，左右のフランジがそれぞれ上または下にたわむ，は りの変形としてとらえることができる．既に３章にて述べたように，はりの長さが高さに比べて充分長 ければせん断変形は無視でき，一般的にそりねじりではそれぞれの板の曲げ変形のみを考える．ただし， 厳密にはそれぞれの板にせん断変形も生じている．そりねじりでは断面力として，そりねじりモーメン ト Mω およびそりねじり力 Tω が発生する．例えば，これらの断面力は，図－12 に示すような 2 軸対称 H 形断面に関しては，それぞれ次式で表される． M h h M M hM 2 2 T h h Q Q hQ 2 2 8 (8) (9) 2014/12/01 技術者のための構造力学 ここに，h：左右フランジの中心間隔，および M，Q：そりねじりによって左右のフランジに面内に発 生する曲げモーメント，せん断力である． 仮にそりねじりのみが発生する場合，断面に生ずるそりねじりモーメント Mω およびそりねじり力 Tω とそりねじり回転角 φω の関係は次式で表される． d 2 M EI dx 2 (10) dM d 3 T EI dx dx 3 (11) ここに，Iω：そりねじり定数であり，EIω はそりねじり剛性と呼ばれる． 式(10)は，はりの曲げモーメントと曲げ変形の関係を表す式(4)に相似である．したがって，純ねじり の関係式はたわみのせん断変形の関係式に，そりねじりの関係式は曲げ変形の式に相似である．一例と して未知変位の区別，荷重，断面力，断面諸量と応力の計算式の相似性について，曲げ理論とそりねじ り理論とを比較して表－13)に示す．ねじりと曲げによって発生する断面力と変位の対応関係については 次章においても比較する．なお，同表において，A は断面積，t は薄肉断面の板厚，s は肉厚中心線に沿 った座標，および C は積分定数である．荷重，変位，断面力，断面内座標等とその正の向きを図－13， 表－1 項目 曲げ理論 そりねじり 理論 項目 ①未知変位 1 v：たわみ φ：ねじり角 ⑥断面諸量 1 そりねじり理論と曲げ理論の比較 3) ②分布荷重 ③断面力 1 ④断面力 2 ⑤未知変位 2 分布荷重 せん断力 曲げモーメント たわみ角 p EIv S EIv M EI v EI v そりねじり そりモーメント T EI M EI ⑧応力 1 ⑨応力 2 IV 分布ねじり荷重 m x EI IV ⑦断面諸量 2 曲げせん断応力 曲げ直応力 中立軸からの距離 断面 2 次モーメント y I A y 2 dA 曲げ理論 S s 0 ytds C It S s 0 tds C Mt M y I Ev y そりせん断応力 そり直応力 そりねじり そり関数 そり 2 次モーメント ωn I A n dA 理論 2 M I n E n p z N (軸力) M x θ Q y (v) 図－13 T It T M t tds C s 0 n tds C s 0 Q dM dx 曲げ理論で扱う変位，断面力等の正の向き 9 ― M N (軸力) Q 2014/12/01 技術者のための構造力学 ha hb Tw z そりねじり： T Qa ha Qb hb x Qb y そりモーメント： M M a ha M b hb Mb Qa M M a ha M bhb Q a ha Q b hb T Tw Ma φ 図－14 そりねじり理論で扱う変位，断面力等の正の向き 表－2 現象 荷重 荷重の作用方向 集中荷重 曲げ 部材軸直角方向 分布荷重 モーメント荷重 ねじり 作用する荷重と断面力の関係 ねじり荷重 分布ねじり荷重 部材軸方向と直角な軸まわり 部材軸まわり 表－3 現象 曲げ ねじり 断面力 せん断力 Q 曲げモーメント M 純ねじり力 Ts そりねじり力 Tω そりねじりモーメント Mω 発生する断面力と変形の関係 断面力 板要素の変形形状 微小要素の変形形状 せん断力 曲げ変形 等脚台形 曲げモーメント せん断変形 平行四辺形 純ねじり力 せん断変形 平行四辺形 曲げ変形 等脚台形 せん断変形 平行四辺形 そりねじり力 記号 14 に示す． ５．曲げとねじり現象の比較 本章では，ねじり理論について説明する前に，曲げとねじり現象について，取り扱われる荷重，断面 力や変位等の基礎事項について対比しながらまとめる．なお，以降では，たわみを生じる部材を便宜的 にはり，ねじりを生じる部材を棒と区別して称することにするが，これらは同一の部材であってもよい． 表－2 に示すように，はりにはその軸直角方向の集中荷重，分布荷重に加えてモーメント荷重が作用 し，それによる断面力としてせん断力とモーメントが発生する．一方，棒にはその軸まわりにねじり（モ ーメント）荷重や分布ねじり（モーメント）荷重が作用し，それによる断面力として純ねじり力とそり ねじり力が生じる．また，これらの合計をねじり力と呼ぶことにする．また，そりねじりモーメントと 呼ばれる断面力も生じる． 表－3 に示すように，はりへの荷重作用に伴う断面力として曲げモーメント，せん断力が生ずれば， 10 2014/12/01 技術者のための構造力学 表－4 部材断面 断面の構成 主なねじりの種類 薄板から構成される箱形断面，あるいはパイプ等 純ねじり 閉断面 の鋼管など 一般断面 開断面 部材断面形状と主なねじりの種類 薄板から構成される開断面と閉断面が組み合わさ 曲げねじり った断面，もしくは厚板から構成される断面 （=そりねじり+純ねじり） 薄板構成される I 形断面，あるいは溝形鋼など そりねじり 表－5 部材断面形状と考慮すべきねじりの種類 部材断面 純ねじり そりねじり ずり（断面変形） 閉断面 ○ ― △*1 一般断面 ○ ○ △*2 開断面 △ ○ ― 注*1：ダイアフラムが不十分でずりが生じる場合には考慮が必要． 注*2：断面内に閉断面部分がある場合には考慮 1*と同様． はり部材を構成する板要素にはそれぞれ曲げ変形，せん断変形をもたらす．図－7(a)～(c)に示したよう に，はりの断面を構成する板要素の面を微小な長方形の要素に分割すると，同要素は曲げ変形では等脚 台形，せん断変形では平行四辺形に変化する．一方，棒への荷重作用に伴う断面力として純ねじり力， そりねじり力が生ずれば，前者は板要素にせん断変形，後者は曲げ変形とせん断変形をもたらす．板要 素内の長方形微小要素は，曲げ変形によって等脚台形，せん断変形によって平行四辺形へ姿を変える． 開断面のねじりに関してもはりの曲げ変形と同様に，棒の高さが長さに比べて小さい場合には，せん断 変形は曲げ変形に比べて小さく，無視できる． 表－4 は棒の部材断面形状を 3 つに区分し，各々の断面構成の例と取り扱われるねじりの種類につい て整理したものである．薄板で構成される閉断面では純ねじりが主なねじりとして扱われる．一方，薄 板で構成される開断面ではそりねじりとして扱われる．また，薄板で構成される開断面と閉断面が共存 する場合，あるいは厚板で構成される一般断面では純ねじりとそりねじりがいずれも発生するものとし て扱われ，このような場合を曲げねじりとも称する． 以上では棒の変形について，変形後にも断面の形状は変化しないことを前提に整理した．ねじり変形 を厳密に検討すると，閉断面では変形に伴って断面の形状が変化する．この変形はずり，あるいは断面 変形と呼ばれている．この変形を含めて断面の形状ごとに考慮すべきねじりの種類を表－5 に整理する． 同表中○印は要考慮，△印は通常は省略（厳密には要考慮），および「―」印は考慮不要であることを 意味する．閉断面では純ねじりを考慮する必要がある．また，開断面部材においてもダイアフラム（隔 壁）の枚数が不十分で，ずりも生じる場合にはその考慮が必要となる．一方，開断面ではそりねじりの 考慮が必要であり，厳密には純ねじりの考慮も必要であるが通常は省略できる．一般断面では純ねじり ならびにそりねじり，厳密にはずりについても考慮が必要である．なお，ずりについては別の資料にお いて解説する予定である． 11 2014/12/01 技術者のための構造力学 B C c φ m’ d z m B y x a b A C 図－16 A 図－15 図－14 の A-A 断面の変形 図－17 板の純ねじり 図－14 の A-A 断面内 の循環せん断流 n n (a) B-B 断面 (c) c点 d点 a点 b点 a～d 点における長方形微小要素の変形 n 変形後 変形前 a～d 点の 微小要素 (b) 図－18 n C-C 断面 (d) n-n 断面内隅角部の移動と断面の回転 図－14 の B-B，C-C 断面の変形と a～d 点における微小長方形要素の変形 ６．薄板のねじり 図－15 に示すように，部材断面を構成する板要素が純ねじり変形する場合，図－16 に示すように A-A 断面は剛体回転するとともに，断面内には図－17 のように循環せん断流が生じる．これによって図－ 18(a)，(b)に示すように，B-B 断面，C-C 断面において当初は長方形であった微小要素が平行四辺形にせ ん断変形する．図－17 に示す破線の m から m’方向に見ると，図－18(c)に示すように，同微小要素の最 大変形は板の表面である a または d 点に生じ，板厚の中心に向かって a 点に比べて b 点の変形が小さく なる．板厚の中心である c 点には変形は生じず，板厚中心を越えた反対側の d 点では逆向きに変形した 平行四辺形となる．B-B 断面，C-C 断面図における n-n 断面内の表面の隅角部は，同図(c)に示すように， 移動し，その結果として断面の回転が生ずることになる．純ねじり理論から，板厚 t，板幅 b の場合， 純ねじり定数 J は次式で表される． J bt 3 3 (12) ７．H 形断面のねじり H 形断面からなる開断面を有する棒部材の純ねじりについて再び考察する．図－19 に示すように，H 形断面のねじり変形を分解して考える．変形が微小であることを前提とすると，まず，左右のフランジ 12 2014/12/01 技術者のための構造力学 φ H φ φ P T P φ δ B δ (a) 変形前 (b) H H tan 2 2 (d) (c) フランジ，ウ フランジの鉛直 ェブの回転 並進逆移動 図－19 H 形断面のねじり変形 図－21 そりねじり (b) 板要素への分解 曲げねじり 純ねじり (a) 循環せん断流 変形後 純ねじりとそりねじり 図－20 H 形断面内の循環せん断流 が鉛直方向の上下逆向きに δ だけ並進移動する．次に，フランジ，ウェブそれぞれがそれらの図心を中 心として反時計回りに φ だけ回転する．最終的なねじり変形はこの 2 つの変形の合計と考えることがで きる．前者はそりねじりに，後者は純ねじりに対応する．結果的にそりねじりに関与するのは，鉛直方 向の並進移動を生ずるフランジのみであり，並進移動を生じないウェブはそりねじりへの関与はない． 一方，全ての板要素はその図心を中心に φ だけ回転していることから，純ねじりへの関与がある．一般 的に，薄肉開断面では純ねじりは無視できるとされているものの，厳密には後者のように純ねじりも生 じている． 図－20(a)には純ねじりによって生じる循環せん断流の状況を示す．H 形断面のフランジ幅を B，フラ ンジ間隔を H とすれば，前述の δ と φ には以下の関係がある． H H tan 2 2 (13) 薄板からなる二軸対称 H 形断面の純ねじり定数 J は，フランジ板厚 tf，板幅 bf，ウェブ板厚 tw，板幅 hw とすると，純ねじり理論に従って以下で表される． 1 1 1 J b f t 3f hw t w3 b f t 3f 3 3 3 (14) このことは図－20(b)のせん断流を観察することによって理解できる． ８．純ねじりとそりねじり 純ねじりとそれねじりの関係を図－21 に示す．一般の断面では，これら両者が同時に発生し，その状 13 2014/12/01 技術者のための構造力学 純ねじりバネ そりねじりバネ 曲げ変形 せん断変形 変形：ねじりによる 回転変位 φ 荷重：ねじり荷重 T 図－22 純ねじりバネとそりねじりバネ 況を曲げねじりと称する．一般断面の棒部材にねじり荷重が作用する場合，その荷重は純ねじり力とそ りねじり力の合計として負担される．純ねじり力は純ねじり回転をもたらし，そりねじり力はそりねじ り回転をもたらす．荷重によって 2 つのねじり変形を生じるものの，変形後に断面形状に変化が無い場 合は，当然ながら両者の回転量は等しくなり，分解して取り扱えるものではない．これらの荷重と回転 の関係をバネに置き代えて概念的に捉える．この状況は図－22 に示すように，純ねじり，そりねじりの 各々を表現するバネが並列に結合されている状況と相似になる．ただし，棒部材の軸方向のあらゆる任 意点で 2 つの回転角が等しい必要がある． 従来の大学における構造力学の教育では，学部レベルで純ねじりを，大学院修士課程レベルでそりね じりが講義されるケースもあった．前者が比較的理解され易いのに対して後者が難解となる理由は，前 者では純ねじりを単独に扱うのに対して，後者では純ねじりとそりねじりを同時に考慮し，あらゆる任 意点で 2 つの回転角が等しくなる方程式を一気に教授する点にあると考えられる． 一般断面では，純ねじりとそりねじりが同時に発生するため，大学院修士課程レベルの教育内容は一 般化したよりレベルの高い内容であることに違いないが，その反面で最初から純ねじりとそりねじりを 同時に考慮することに困難を伴う．そりねじりの変形ははりのたわみ変形に相似のものであり，たわみ 変形については学部レベルで容易に理解されるべく教育されるものである．したがって，そりねじりを 純ねじりと分離して単独に解説すれば無理なく理解されると考えられることから，本資料においても 各々を個別に説明することとした． ８．１ 各種棒部材の断面の回転変位 本節では，一端が壁に固定，他端にねじり力 T が作用する薄肉円筒断面，および H 形断面，即ち閉断 面と開断面を有する棒部材，さらには薄肉開閉混合部材について，部材軸方向に沿った断面の回転変位 φ の分布形状を比較し，その特徴について説明する．ただし，棒部材の長さは L とする． 図－23 のように，一端固定の薄肉円筒断面を有する棒部材の自由端にねじり力が作用する場合の断面 の回転変位を求めてみる．本構造は薄肉閉断面構造物であるから，ねじりとしては純ねじりのみを考慮 し，式(7)にしたがって回転変位 φs=φ を求めればよい．断面に発生する純ねじり力 Ts=T であるから，こ れを式(7)に代入すると d T dx GJ (15) 積分定数を C0 として式(15)を 1 階積分すると， 14 T x C0 GJ (16) 2014/12/01 技術者のための構造力学 φ φ x T x (a) ねじり力を受ける閉断面部材 図－23 (b) 断面の回転変位分布 閉断面部材のねじり変形 φ φ x x T (b) 断面の回転変位分布 (a) ねじり力を受ける開断面部材 図－23 開断面部材のねじり変形 境界条件 x=0 にて φ=0 を代入すると，C0=0 となるから， T x GJ (17) 式(15)を概略的に表せば，図－23(b)のようになる． 続いて，図－24 のように，一端固定の薄肉 H 形断面を有する棒部材の自由端にねじり力が作用する 場合の断面の回転変位を求めてみる．本構造は薄肉開断面構造物であるから，ねじりとしてはそりねじ りのみを考慮し，式(11)にしたがって回転変位 φω=φ を求めればよい．断面に発生するそりねじり力 Tω=T であるから，これを式(11)に代入すると T EI d 3 dx 3 (18) 積分定数を C0～C2 として式(18)を 3 階積分すると， C C xC x 2 0 1 2 Tx 3 6 EI (19) 境界条件 x=0 にて φ=0 より C0=0，x=0 にて φ’=0 より C1=0，ならびに x=L にて φ”=0（そりモーメント が 0）より C2=TL/(2EIω)を式(19)に代入すると， TL3 6 EI x x 3 L L 2 3 (20) 式(20)を概略的に表せば，図－24(b)のようになる． さらに，図－25 のように，一端固定の薄肉開閉断面を有する棒部材の自由端にねじり力が作用する場 合の断面の回転変位を求めてみる．本構造は，ねじりとしては曲げねじりを考慮することとなり，その 基礎式は，回転変位 φs=φω=φ，Ts=Tω=T として式(7)と(11)を重ね合わせた次式で表される． 15 2014/12/01 技術者のための構造力学 φ φ そりねじり 純ねじり x (a) x T (b) 断面の回転変位分布 ねじり力を受ける開閉混合断面部材 図－25 開閉混合断面部材のねじり変形 GJ d d 3 EI T dx dx 3 (21) 積分定数を C0～C2 とすると，式(21)の一般解は次のように表される 4)． C C cosh x C sinh x 0 1 2 Tx EI 3 (22) 式(22)において λ は， GJ EI (23) 境界条件 x=0 にて φ=0，x=0 にて φ’=0，ならびに x=L にて φ’’=0（そりモーメントが 0）を用いて積分 定数 C0～C2 を決定すると， C 0 C1 T sinh L EI cosh L 3 C2 T EI 3 (24) (25) 式(24)と(25)を式(22)に代入すると，最終的に断面の回転変位は 1 1 sinh L sinh L x x GJ cosh L (26) ただし，式(26)の誘導過程では，次の双曲線関数の加法定理を用いた． sinh L cosh x cosh L sinh x sinh L x (27) 式(26)を概略的に表せば，図－25(b)のようになる． 図－23～25 に示した以上 3 つの断面に関する断面の回転変位分布から分かるように，純ねじりでは部 材軸方向に回転変位が線形変化するのに対して，そりねじりでは非線形に変化することがわかる．また， 純ねじりとそりねじりが同時に生ずる曲げねじりでは，断面の回転変位の軸方向分布は両者の中間的な 変化を呈する． ８．２ ねじり定数比 κ による分類 様々な断面形状を有する部材がねじり荷重を受けた場合に，ねじりに対する純ねじりとそりねじりの 寄与を表すためのパラメータとして，次式で表されるねじり定数比 κ が用いられる． 16 2014/12/01 技術者のための構造力学 L GJ EI (28) ここに，L：ねじりに対する支間長（mm），G：せん断弾性係数（N/mm2），J：断面の純ねじり定数 （mm4），E：弾性係数（N/mm2），および Iω：断面のそりねじり定数（mm6）である． ねじり定数比 κ を用いれば，ねじりを受ける部材の設計において，卓越するねじり現象の把握のみな らず，適用すべきねじり理論についても把握できる．一般的に，κ が 0.4 より小さい場合については， 純ねじりによる応力を省略し，そりねじりによる応力だけを考慮する．κ が 10 より大きい場合について は，そりねじりによる応力を省略し，純ねじりによる応力だけを考慮する．κ が 0.4 と 10 の間の場合に ついては，純ねじりとそりねじりを考慮した曲げねじり理論によって解析する必要がある．文献 5)の 98 頁には，中心角または曲率の大きい曲線橋など構造物の解析においてねじりの寄与を考慮した場合に適 用するため，κ の大きさの変化による純ねじりモーメントとそりねじりモーメントの分担率の変化を表 す図が示されている． 【参考文献】 1) 土木学会：構造力学公式集，1986. 2) 加藤久人，玉田和也，曽我部紀人，西村宣男，奈良 敬：拡張魚骨モデルによるそり変形を考慮し た鋼逆π形断面桁の実用解析，鋼構造年次論文報告集，日本鋼構造協会，Vol.13，pp.431～438，2005. 3) 加藤久人，玉田和也，三原邦啓，酒井和男，西村宣男：そりねじり変形を考慮した鋼逆π形合成箱 桁橋設計の基本事項，鋼構造年次論文報告集，日本鋼構造協会，Vol.12，pp.91～98，2004. 4) T. V. Galambos（福本唀士，西野文雄 5) 日本橋梁建設協会：デザインデータブック，2011. 共訳）：鋼構造部材と骨組 －強度と設計－，丸善，1970. 17
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