赤阪 正 純 (htt“
nupri.web.fc2 com)
“
4次 関数 の接線 と面積
4次 関数 の接線 と面積
4次 関数 の接線 と面積 に関す る問題 では何 と言 っ
ても次 の問題 が有名です
例題
②⇔
(α
なので
y=″ 4+2が -3″ 2_2″ +1の グラ
￨ フと 2点 で接す る直線 とで囲 まれた部分の面積
￨ を求め よ
,
+β )2+2α β=-3
=-1を 代入して
① より,α +β
,
αβ=-2
③ ←→ -2α β(α +β )=-2-π
④ ←⇒ (α β)2=1_η
α+β =-1,α β=-2を 代入 して
tr
物 〕
称
爬●に',■ 7-
,
考え方
4次 関数 のグラフと直線 の位置関係 は以
下 の通 りです
π =2,″
=3←
また,α ,β
(α
Jl
絡繰 線
2+′ -2=0の 2つ
<β )は ′
の解だから,(′ +2)(ι
-1)=0よ
た,ト ヒ
ラ ∼
カ
り
'ン
,
α=-2,β =1.← 蒋R、 ス史￨!
したがって,求 める面積 は
,
グ扉
閲教 ば
‐
1本 ■
23
1はこ
4+2″ 3_322_22+1)一
ヒ
∫
2{(″
=∫ヒ2(″ 4+2″ 3_3″ 2_4″ +4)d″
(2″
-3)}α ″
ヽ
ヽ
と
メバアド
十だ:ん ヤね
｀乖す3
:夕
ヽっ
まずは,接 線 と接点を求めねばな りませんが,実
は微分な ど一切不要 で接線 と接点 が求め られ ます
(微 分を用 いた方法 は後述)
①
接線の方程式を υ=η +π ,接 点の ″座標 を
α,β (α <β )と おく,こ“のとき
81
10
,
(″
4+2■ 3_3″2_2″ +1)―
)2(″
(″ ″+π )=(■ ―α
■
_β )2
の注
で あるので,
展 開す る と
ので
,
月喫Q悽趣こ些要 する まず右辺を
2_2α ″+α 2)(″ 2_2β ″十β2)な
(″
,
１
ぃ
ルt
１
ン
ｒ
d‐
ノ
=-3
=-2-π
セ,11年
T∫
のか ?」 と思 った人のために,微 分法 を利用 した方
法も紹介 しておきましょう
まずは,υ
7itザ =9可
=♂
+2″ 3_3″ 2_2″ +1の ″ =α
にお ける接線の方程式 を求め ます
グ =4ノ +6,2_6″ -2よ り
4+2♂ -3α 2_2α +1)
υ― (α
,
=(4α 3+6α 2_6α -2)(″ ―α)
︱
、
°
凛 イントなァ
較するな んてメン ドウやなあ.微 分を使 ってで きん
,
∫
献
籍 式
′。
ヽ
lt凛 てヽ
P:ヒ
ｌ
した が って
、
″3の 係数 =-2α -2β
″2の 係数=α 2+4α βtt β2
,1の 係数 =-2α β2_2α 2β
定数項=α 2β 2
接線 の 求め方 につ いて ,「 展開 して係数比
3^■ t■
…①
…②
…③
…④
ヽこィ
↓
タ
ィ
ぅ
9フ
よって
,
y=(4α 3+6α 2_6α -2)″ -3α 4_4α3+3α 2+1
ここか ら2通 りの方法があります。
赤阪正純 (htt“ グ nupri web fc2 com)
方法 C)
4次 関数 の接線 と面積
この連立方程式を解けば,α とβが分かります
この接線 の方程式 ともとの 4次 関数
の式を連立 して因数分解 をします ″ =α で接す
るので (″ ― α)2で くくりだせ ,(″ 一 α)2× (2次
これ ら 2つ の方法 について どう思いますか
考 えても最初 の ①
となれば,(2次 式)の 部分が
式)の 形 になるはず
さらに重解 をもてばよいので,判 別式
が一番簡単 です よね
どう
aネ ギ
ミ
辱喀
ヤ
:ヾ
微分 を
ク
使 う方がもっとメン ドウな ことになるのです
=0と すれ
この問題 は僕 自身も高校時代 に悩み ました 僕 も
ば,α が求 まります
:、
あかん崎
最初 は微分 を使 って,あ ―で もない,こ ―で もない
といろい ろ試行錯誤 しましたが,結 局 の ところ,微
同様に,″ =β における接線の方程式
3+6β
2_6β -2)″ -3β 4_4β 3+3β 2+1
υ=(4β
分を使わずに展開 して係数比較する方法が結果的 に
を求めて,こ れら2つ の接線が一致することから
一番簡単であることに気づいて 「な∼ んや ,そ れだ
方法 ②
けのことか, しょ― もな―」 と果れ ,嘆 いた思 い 出
係数 を比較 します
があ ります
{節 昨跡復
f礼
胞ff二i2+1
自分 自身 で しっか り考 えて悩 んだ問題 はいつまで
も覚えているものですね
これ まで と同様 に一般的 に計算 してみ よう
珍曰
α二
β″
∫一
l(″
のか
こ
しψ寸
ま
リ
ヤ
リ
ト
イ
比
リ
_
)2ご
)2(だ
)
;111二 1'生
ι
α
)+(β ―
)2}α ″)
=(:一 :一
―α)5=島 (β _α )5
:)(β
￨
+1+C I
η
(″ 十 の
珍 注 上の計算 で次 の公式 を利用 しました
∫ (″
+α )η α″=万
阜可
フ
∼ご
フ∼
塀
ν
月ン
シ
7レ
,レ
と一発 で求 まります
7ミ
lllι
-4^1,そ く
χ
議 す,t/Ь P]り3
(浄
スI
ttλ
け
・
｀
=￨,罰
:iだ
、彙
t′
4雀 1手J3フ
検算用 として覚 えてお くと良いでしょう
●ヴ
この公式は一般的 には置換積分 (数 学 Ⅲ )で 証明 さ
れ ます
この計算結果 か ら,右 図 の ように
の接線 で 囲 まれ る部分の面積
4次 関数 とそ
Sは 4次 関数 の ″4
も
り
働猥よ
花猜1-耽
ギ ζな式f`
ヽ
“
t●tじ み―
の係数を αとすことき
,
鷲費Ptt
bL者 許 ―α
)5
ち日λイ(■
(β
1、
したがって,最 初 の 例 題 の場合
S=発 (1-(-2))5=器
,
、、 よ ・
:￨ヽ
7J、
民じ
l
る
立 ■ 7Jlt ヽt
'tミ
pJん
そう
?
Mて みょぅょ
与
.
© Copyright 2024 ExpyDoc
