1972
APRIL
日 本
学
数
昭 和 47年
会
年 会
講 演 ア プ ス トラ ク ト
函
時 “…0 4 月
数
論
。 2 日
1 日
・
・ 慶 応 義 塾 大 学 ・日 吉 校 舎
・
所 ¨。
1 日
2 日
10。 00∼
12.00
普
通講演
13.00∼
14.30
普
通講 演
14.45 ∼
16.15
特
別講演
9.30 ∼
12.00
普
通講演
13.30∼
14.45
15。00 ∼ 16.30
1∼
7
8∼
11
12 ∼
19
普
通 講 演 20∼
特
別講演
24
4 月
1・栗林嘩和 (中央大理工)被 覆 Riemann面 と theta
関数 について
%を 素数,gを 整数 >1,ρ を 〆 が単位行列 となる
g次 の複素行列 とす る。 (R,σ)を COmpactな Riemann
“=1,Rの 第
面 Rと Rの 自己同型変換 σ との対 で σ
1種 微分 の作 るベ ク トル空間での表現が ρで あるもの と
す る。つ ぎの条件を満足す る (R,σ)の 類 の 集合を ρ
l,¨。
,π,〔ν
,νγ
(g・
])と する ￨(1)σ は ″個 の不 動点
を もち そ の 位 数 は π。(2)〃 =Rだ σ}は 種数 g′の
Riemann面 で ある。れ を σ の不動点におけ る局所座標
→ζr,′
を
とす ると σ は ′
`+αゴ`2+… で 表わ され る。 ここ
2π
=θ
7".ッ
に ζ
リは 1≦ッ
ι
<π で あ る整数.′=1,… ,グ.
つ ぎの定理が成 り立つ。定理 1.R′ お ょび 01,¨。
,07
≧1)を 固定 して,Q,… ・
,Orの みで分岐す る ρ (g′
(″
,
2g′
。
π,〔ν
l,¨ ,ツグ
〕)の 相異な る 要素 は π 個存在す る。
2g′
_ 1)ノ(%-1)個 存在す る。定理
系 。″=0の 場合は (π
1 日
3.吹 田信之 (東工大理)リ ー マン面上の正則函数 の
一性質
ρ を開 リーマン面 と し (4,3)を 境界 の正則な分割
ρ′
とす る。■,B方 向の exhaustionを 〔
)と し,4に
よって きまる相対境界を ん ,残 りを Bッ とす る。Bνを
ρνに関 して正の 向きに 向きをつけ,4ν は B′に hOmolo―
gOuSに とる。
=伸券∫
L←4分
∠
ッ
沼甥 ント
0“
6)=伸井L′
漏窃 ≦4
= 属ズ
οズB の = O πC )
と
t∩
が共 に空で な け れ ば,鳥 ズ4)∩ Oη(3)=φ で あって,
π> π に と り, ∩ L u ν
島κ4)と Oπ(3)を 分かつ 曲線族を 「ππ,ス と Bを 分
かつ 曲線族を 「(4,3)と おけば,〃 (Fππ)≧(解一π)″
(「(4,3))が 成 り立つ。 ここに ″ は 曲線旅 の module
を表わす 。
2.R,Pの
代数関数体を 氏 Fと すれば K=K/(y),
Z=ノ ∈Kl,σ (ノ
)=ζ夕 となる元 ノ カ｀
存在す るが,そ れ
theta関
は具体的に
数で表示す る こ とが で きる。ただ
・
し,01,・・
,Orは 特異点集合 に含 まれない とする。
2.斎 藤二郎 (芝浦工大)The Rudin kernel and the
extremal functions in ardy
Ⅱ classes.
Sを 任意の開 Riemann面 とし,点 ″,′
(∈S)を とり,
イXS)を ′に関する 島 一normが 1で おさえられ る
(analytiCな)Hardy Classと し, ん*(τ;″,′)(夕≧ 1)
を函数族 イКS)∩ {ズ″)>0}で ズ″)を ma対mumに
する extremal functiOnと
する。こ の とき S上 の点 χ,
′に関する Rudin kemel R?(τ,″)と 函数 ん*(τ;″,′
)
のい くつかの性質について述べ る :函 数族 五ら(S)が 2
点 ″,′を分離 しない必要十分条件は /p*03″ ,t)=1で
あること,お よびこの ことと面 Sが Jfp―functionsに
関 して degenerateするための条件 との関連 ;Eを Sを
D
分けないcompact subsetとするとき,R?(″ ,→=剰 S‐
4.加 藤崇雄 (東工大理)Riemann面
の 自己解析写像
について
吹 田先生 の特別講演 に関連 して次 の ことを示す 。7を
球,全 平面 また は 円板 に等角同値 で は な い任意 な Rie―
mann面 ,9を
7の 自己解析写像 とす る。 この とき γ
と 9(γ)が hom01ogousに な る よ うな hOm01ogOus to
autOmor―
ZeЮ でない Cycle rが存在すれ ば,(i)9は
phiSmに なる,ま たは (ii)ψ"(9の π一th iteration)は
近
広義一 様に ある iS01ated ideal boundary componentに
づ く。一― ここで (i)と (ii)は排反事象ではないが,
(ii)が成 り立つ場合にはその ideal boundary component
の Capacityはzeroになる。 したが って,そ れ が planar
l ikeになる。
boundaryの ときには point―
5。酒井 良
(東工大理)有 界調和関数 族上の線形汎
関数 とその極値問題 について
X=(χ ‖￨￨)を Banach空 間 とし,T(≠ 0)を X上 の
1 17(ノ
∈S―E)で ぁる必要十分条件は (10gari_ 有界線形汎関数 とする。T(″)=￨lr‖ =su劇レ￨￨≦
)￨,
,″)(≠1;″,′
(″
thmic)Cap E=0で あること,お よびこの精密化 ;さ ら
‖″￨￨=1と なる ″∈Xを Tの 極値点 (Xが 関数空間 の
に kemel R?(τ
;χ,′
,χ)と ん*(τ
)と の関係について
幾分詳 しく論 じ,最 後に Ruan kemelの 0点 の個数 と
位置 について言及す る。 一― なお,定 義か ら Rげ)(τ
,χ)
=/2*(″;″,′
; ″,′
)/2*(τ
)で ある ことは 明 らかである。
ときは極値
ときは極値関数)と 呼ぶ。Xが reflexiveの
St五
Ctly∞nvexの
は
点が存
とき
極値′
点が存在 し,Xが
一
X
ここでは
在すれば 意的である ことが知 られ ている。
として Riemann tt R上 の有界調和関数族 五Bを と り,
一
RI%(Z)￨とおいて極値関数 の存在 と 恵性 に
￨￨%￨￨=Supz∈
ついて考察 した。結果 は次の とお りで あ る。1.有 界線
上 の tOtal
形汎関数 Tは Wiener harlnonic boundary∠
variation有
μ 一視で き,
限な regular Borel measureと同
Tの 極値関数 の存在 と一 意性 の必十条件を μの Support
の解析写像 /へ 拡張 した ものの うちで代表的な ものに倉
Comeaの 結果 がある。 ここ
持 の結果 と COnstantinescu―
では両方を含む よ り精密な結果を述 べ る。すなわ ち,定
ππが R上 広義
の関係式 で表わ せる。2.Tが さらに 「
一様に ″に収束すれば,T(%)=lim π→∞T(ππ
)」をみた
す な らば,極 値関数 は 存在 し μ は ∠ 上の harmonic
コンパ ク ト化 R2*
理 .ノ が Dirichlet写
像 で あ り,&の
が距離づけ可能でかつ 二 D。 分離的な らば,Rlの 倉持
measure ωに関 して絶対連続で ある。 3.応 用 として,
harttonic lengthの
極値関数が一意的でない例を二つ構
成す る。
境界上 (倉持容量 の意味で)ほ とん どいたるところ ine
limitを R2*内 に もつ。一一 この定理 の証 明の中で本質
的な部分は R2の Royden境 界上 の コンパ ク ト集合 Kの
容量が 0な らば,/ 1(K)の 容量 も 0で ある こ とで あ
る。 さらに,こ の定理 に関連す る ことを述 べ る。
6。長坂行雄 (北大理)リ ー マン面の部分領域の倉持
境 界について
Dを リーマ ン面 Rの 部分領域 とする。倉持氏に よれ
ば, Ro=R― KO(Koは 閉円板)の 倉持 コンパ ク ト化を
作 るときの Xoを R― Dで お きかえる こ とに よって,
D―fullsuperharmonた
fllnctionゃつ の 倉持型 の コンパ
9.池 上輝男 (阪市大理)調 和写像 の境界挙動につい
て (Riesz型 の定理)
Bre10tの 意味での調和空間 Xか ら他の調和空間へ の
調和写像 に対す る Riesz`型の定理 に つ い て は,す で に
Constantinescu―
Comeaの 結果 が ある (Nagoya Matho J.
ク ト化が定義 で き, 境界点の分類や canOniCal measure Vol.25)。 しか し,そ れ は Xの resolutive compactiflca―
tiOnに関す る調和測度で集合 の小 さい ことをのべた もの
の 存在 などが い えて,さ らに DU∠ lDか ら DU/1(D)
の上へ の 1対 1,連 続写像 ノで ノlρ が恒等写像な る も
で あるため,調 和境界上 の集合 に対 してのみ有効な情報
1の
のが ある。われわれは プ
ついて
を与 えるに と どま り,た とえば ine cluster setに
次 の結果を
連続性 に
関す
1は
:[1]う
∠⊂∠1な らば,ノ
∩動
るなん らか の結論を彼等 の結果 と結びつける こ とは困難
得る
(D一 の )
∩Zlの 各点で連続 で あ る。 [2]π が D―fullsuperha■ で ある。一― この講演 で は,彼 等 とは別 の方法で polar
monic functionで函数論的測度が有限な とき。 %(Z)=
Setに 関連す る結果 と,そ の応用 として上にのべた ■ne
υ(2)一υ
D)を
Ro―
fullsuperharmonic
cluster
setに関す る定理を含む 2,3の 結果 を導 く。
みたす
fb(Z)(7Z∈
一
function υ
が存在 す るが (適当な条件 の も とで は 意
lψ
的),わ が ノ1の 連続点で 作し 0)<∞ な らば,%(ノ
10。岸 正 倫 (名大教養)完 全最大値原理をみたす非
))
=υ(b)一
つ。
成立
対称核の一例
年ゝ (b)が
μ,ν を (0,∞ )上 の正測度 として
7.倉 持善治郎 (北大理)リ ー マン 面上 の minimal
pOint に つい て
Rを 正境界 の リー マ ン面 と し Gを そ の 部分領域 と し,
Rお よび Gに
ル Martin位 相 Ll,L2が
定義 され てい
1およびL2に
るものと
する。す2と二
対する一および
二 種 の特異点は G∋ Pの もとで 1:1に 対応す る。 また
・
G`(′=1,2,・・
G`の 境界上 の容量が零
),G`∩Gノ=0,Σ ∂
な らば G`上 の 二`に 対す る特異点 と Rの 特異点 とは
対応す ることお よび これ に類似 の結果を述 べ る。Gを 零
Gは コンパ ク ト
境界 の リーマ ン面 Rの 部分領域 とし ∂
〉
<H彬
:聯='
を局所可積分 とす る。 この とき K(″)か ら導 かれ る合成
核 Kは 完全最大値原理をみたす 。 この系 として,Hea―
″ の f r a c t i O n a l p o w eとr ル
ViSide核
a d i o i n tβ
″( た
だ し 0<α,β<1)の 和 ル +″ βは完全最大値原理をみ
たす ことがわか る。
Fを わずかの量 とす る。 G― Fが
11.松 田 稔
ついて
の ことについて もふれ る。
核 K(″,y)は複素数値 を とる連続関数で あって,″ =ノ
では ∞ を とる ことが許 され る もの とす る。複素数値測
度 α に対 して,積 分
7平 面上 の高 々 πo
葉 の被覆面 として現われ るな らば一つの境界要素上には
高 々 πo個 の Martinの minimal pointがある。その他
8。 田中 博 (北大理)Beurlingの 定理について
Beurlingの定理を Riemann tt Rlか ら R2(COσ )へ
(静岡大理)複 素数 値核 ポテンシ ャルに
Kα(″
)=∫K(χ,y)ね (ノ)
によって定義 され る複 素数値関数を αの 作 ポテンシ ャ
ル とい う。二 宮先生 は最近,核 K(χ,ノ)が 対称 で あ る
FЮstman
時,実 数値核 ポテンシ ャルに ついての Gauss―
おょび Kametaniの 結果 の拡張 と考え られ る 2っ の形 の
K(″ ,ノ)の 実数部分で ある 飢K(″,y)の ad,oint kemel
存在定理を示 された。 ここでは,必 ず しも対称 でない核
K(″ ,y)に 関す る複素数値 K―ポテンシ ャルについて こ
ポテンシ ャル に関 す る岩 中井両先生 の存在定理 の拡張
とも考え られ る。
について連続性 の原理を仮定す る。 これは また実数値核
の 2つ の存在定理を拡張 した い。ただ し,こ の ときは核
特
男ll
吹 田信之 (東工大理)Riemann面 の 自己解析写像
よ く知 られ ているよ うに,閉 リーマ ン面 の 自己解析写
像 は,面 の基本群 が 非可換な らば,等 角 自己同形 とな
る。 開 リーマ ン面 pに ついては,pの 自己解析写像 か
ら誘導 され るホモ トピー群 の部分群間 の ある種の準同形
を利用 して /の 性質を しらべ る研究が,Cattan,Huber,
陥 rden,Richards and ROdinに
よ ってな され て い る。
また Lndau and Ossermanに よるホモ ロジーを使 った
講
演
ε
め,free homotopyに
おけ る類 〔
〕についてその module
″ (ε
レ計量 で測 った
のポアンカ
)を {θ
〕に属す る閉曲線
長 さの下限 と定義す る。非可換な基本群を もつ面 ρ が
rigidであるための一つの条件 は,任 意 の K>0に 対 し
0<″ (C)<Kを みたす ホモ トピー類が有限個 とな る こ
sp∝
とで ある [2]。この性質を ρ が diScrete modular t―
rumを も つ と い う。 この条件をよ り具体的な条件に直
すため,非 孤立な単葉型 の境界成分 γに対 して tightと
研究 もある。
い う概念を導入す る。すなわ ち γの定義列を {Zπ
〕 とす
harmonic
Cartanが
Cycleの
iterationの
い
い
で
るとき,/η に含 まれ る 自明 な
本講演 では,ま ず
用 た
方法
を利用 して,Huberぉ ょび Mttden,Richards and Rodin lengthを λれ とお く.{λπ
〕は増加列 で あって,場 ↑∞
のつ ぎの結果をみ ちび く :″ を有限位数 Ⅳ ≧1の ρ
の とき γを tightであるとよぶ。 この ときつ ぎの ことが
のホモ トピー群 の部分群 と し,任 意 の α∈〃 に 対 して
成 り立つ :2が 有限種数で あって,す べ ての非孤立境界
と仮定す る。″ が
/(α
)ヤま 〃 の元 と freely homotopた
cycleか ら生成 された巡回群 で なければ,/が 等
point―
角 同形 で ある ことと,ノ に よ り誘導 された ホモ トピー群
ゴ, ρ は diScrete modular spectrum
成分が tightならヤ
をもつ。
平面領域 については ユー ク リッ ド計量を用 いた tight―
の準同形 φノ の ″ へ の制限 の kemelが 自明に なる こ
ととは同値で ある。/が 等角同形でなければ,φノⅣ(″)は
単位元 となるか また は 無 限 巡回群 となる。 後者 の場合
Cycleか ら生成 され る無限巡
φ′φⅨπ≧Ⅳ-1)が point―
neSSの 判定条件 をつ くる ことがで きる。 さ らに Cantor
回群 とな って,{ノ “
〕は この生成元を きめる境界成分 ξ
へ広義一 様に収東 す る。
ホモロジー群 についての対応す る結果 は一般 には成立
tightでな くな る。
しないが ,面を単葉型 に限 るときは同様な ことがいえる。
2の 自己解析写像 ノが ホモ トピーにおけ る非 自明性を
3進 集合 Eに ついて,つ ぎつ ぎに抜 きとる区間 の比 γ
を一定 とす る ときは, ″<1ノ3な らば ECの 各境界成分
は tightとな り,″ =1/3の ときは す べ ての境界成分は
参 考
文
献
[1] Cartan,H。 ,Sur les fonctions de plusieur varia―
bles.Ⅳhth.Z.35(1932),760-773.
[2]Huber,H.,Uber analyt∝
he Abbildtmgen Rie―
保 つ とき,つ ねに ノが等角 自己同形 になるな らば,pは
homotopically rigidで
あ る とよぶ. ホモ トピーを ホモ
ー
ロジ に代 えた ものを hOm01ogically五
g idと ぃ う。 こ
mannscher F12に hen in sicho Comment.Math.Helv.27
の とき二つの 五gidityの
関係 についてつ ぎの ことがいえ
らば homologically五
る :ρ が hOmOtOpically Hgidな
gid
mappings Of Riemann surfaces. J. Analyse Math。
( 1 9 5 3 ) , 1 二7 3 .
[3] Landau,H.J.,and R.Osserman,On analytic
60),249-279.
(1959ノ
[4] Ⅳ Lrden,A.,I.Richards and Bo Rodin,Analy―
で ある;hOmologlcallyにrigidであるが hOmOtoplcally
18(1967),
tic
self―
mapplngs of Riemann surfaces.Ibid。
に Hgidで ない面が存在す る。
homotoplcally●
g idで あるための条件を しらべ る た
197--225.
7
4 月
12.真 次康夫 (九大理)あ る積多様体における Levi
の問題 について
Sを Stein多様体,Tを 1次 元 の複素 トー ラス とし,
E=Sx Tと ぉ く。π を Eか ら Sの 中へ の 射影 とす
る。Dを
Eの 開部分集合 とす る。 この とき次 の ことを
Stein多様体で あるための必要十分条
証 明する :Dが
件 は,Dが Cartan擬 凸で あるとともに任意の ″∈ぢ に
1(″
対 して π )∝Dを みたす ことで ある。一― 証明の道
筋は,ま ず Sが σπの上 の不分岐な正則領域 と して,
髄 rmanderの 流儀 に従 い Friedrichsの
軟化子や 強烈 に
凸な関数を用 い て D上 の多重劣調和関数,強 多重調和
関数を作成 し,Narasimhanの 結果 に帰着 させる。一般
に Sが Stein多様体 の と き は D∝ quie卜
Grauertに従
い Sを σれ の上の不分岐な正則領域内に regular解析
Grauertのretractionを
的集合 に埋 め込み,Docquier―
用
いて上述 の結果 に帰着 させる。
13。安達謙 三 (茨城大理)・
鈴木正昭 (富山大文理)・
吉田 守
(福岡大理)正 則写像 の接続について
(X,9)を Stein多様体 S上 の 被拡領域,二 を複素
L絶 群,(ア ,φ)を (工 9)の 正則被,φ :X― ア を標
準写像 とす る。 この とき次の事柄を証明す る。Xか ら L
の中へ の正則写像 ノ に対 して,Xか ら ん の中へ の正
則写像 ノ で X上 で ノ=ノ 。φをみたす ものが ある。証
2 日
は ,完 備 で ある。
15。佐藤昭― (熊大理)正 則函数族 の同等連続性につ
いて
Dを σ"の 領域,′ を つ で正則な函数か らな る族
θ,の 部分族 とす る。1.′ が Dで 同等連続で あるた
=farl∂
∂
Z′
z′
めの必要十分条件は ∂
タノ
cr,ノ =1,2,… ,
}ノ
π が Dの 任意 の コ ム パ ク トな部分集合上で一 様有界
で ある ことで ある12.′
は,同 等連続な らば正規であ
つい
て,正 規性領域 と類似の もの
る。 3。同等連続性 に
を考える。 この とき類似の結果を うる。
16.佐 藤昭― (熊大理)σ "に 似 た空間について
X,yを 複素解析多様体,4(乙 y)を Xか ら yへ
の正則写像 の集合 とす る。4(X,y)の
部分族 夕 は次の
性質を満す とき性 質 (P)を 満足する と い う こ とに す
る :Xの ことなる 2点 夕,fと yの こ となる 2点 ■,
3を 任意に とる と き ある ノ∈夕 で ノ(p)=五 ,ノ(g)=B
となるものが ある。 この とき,1.も し夕が性質 (P)を
満すな らば,多 は正規で も,同 等連続で もあ りえない。
2.条 件 (P)を ゆ るめることによ りえ られ る二 ,三 の結
果を述 べ る。3.特 に 7″ に よる結果 :σ "か ら tight
な空間へ の正則写像 は定数 に限 る,の 拡張について述 べ
る。
明には 二 の Lie環 ノ か ら ん の中へ の指数写像を用
いて √ の最大接続領域 (X,φ )が s上 の Docquier―
17.藤 本坦孝 (名大教養)複 素射影空間へ の正則写像
Grauertの意味での P7 凸領域 で ある ことを示 し,Doc―
族について
Grauertの結果を利用す る。
quier―
Dufruoyの 結果 (Anno E.NoS.,6.1(1944))を ,
14.風 間英明 (九大理)g完 備な複素 リイ群について
連結複素 リイ群 Gに 対 して,GO=レ ∈G:/(″)=/(ι)
for allノ
∈″ OC,θ )}(た だ し θは Gの 単位元 とす
る)を 考え る。 この GOに 関 して A.Mo五 moto(PrOC.
Conf.COm.An,Minneapolis,1965)は 様 々な結果を得
た。た とえば,α は連結な閉複素 リイ部分群 で あって,
G/GOは スタ イ ン群 とな り,GO上 の正則函数は定数に限
るが,必 ず しも G°は コンパ ク トにな らない。等 々‥≒
そ こで この結果を用 いて,複 素 リイ群が g完 備 になるた
めの十分条件を調 べ てみたい。 ここでの主な結果は次で
ある。定理.ス タイン多様体 Xを 底,複 素 リイ群 Gを
構造群 とす る解析的主 フ ァイバ ーバ ン ドル P(乙 G,π )
において,Gの
部分群 G°の次元が 9な らば,全 空間 P
N次 元複素射影空間 鳥くσ)へ の 正則写像族 の 研究 と
い う観点か らみなお し,そ の多変数へ の拡張 として次の
結果を得 る。定理。鳥くσ)か ら Ⅳ+′+1個 の一 般 の位
置に あ る超平面を除 いた空間 為 に対 し,次 の性質を も
つ ≦Ⅳ一′次元解析的集合 Cιが 存在 す る :任 意 の複
)〕に
素解析的多様体 ″ か ら X3へ の正則写像列 〔
/くν
対 し,あ る コンパ ク ト集合 K(⊂ 〃 ),L(⊂ 為 ―C)に
)(K)∩ L≠ φ(ν
)]は 〃 上
ついて,ノ (ツ
≧ 1)な ら,(/〈ツ
一
広義 様収東す る部分列を もつ。 これを使 えば 為 上の
Kobayashi pseudo―
distance″
I ιについて,″x′(p,4)>0
,9∈ Xι,p≠ α)な ることがわか る。さ らに,
(夕∈為 ―Cι
Xl内 の任意 の領域 の解析的 自己同型群が ニル 群 になる
こ と,特 に Xl自 身 の解析的 自己同型群は,2Kσ )か
ら除かれた Ⅳ+2個 の超平面 の間 の置換全体 のつ くる対
称群で ある ことも示 され る。その他,古 典的な Landau
の定理 の拡張について もふれたい.
20。吉日英信 (千葉大工)Tangential boundary be―
haviors of meromorphic functions in the unit disc。
S.Dragosh[Nagoya Mtth.J。
18.山 口博史 (京大理)2変 数整函数 の定数面 の一様
性 について
,y)で
まず次 の補題を のべ る :2複 素変数 の空間 (″
｀
E力
て,各
。
に
る
あっ
,￨ノ
擬凹状集合
考え
lχ
l<ρ
￨<∞
直線 ″ での Eの 切 日の ノ 平面へ の射影 E″ は,″ に
関 して一様有界 とす る。E″ の π 次 の距離を
ね 軸X 3
,力 ∈E″ と書 く。 この とき,あ (″
)は レ￨<ρ で
ノ1,…°
の対数的劣調和函数で ある。 した が って,E″ の対数容
量 もまた,そ うで ある。 この補題 か ら次 の結果を得 る :
,ット空間での整函数 とす る。い ま,す べ
/(″,ノ)を (″
ての複素数 Zに 対 して,ノ(χ
,ノ)=Zな る既約面 Szは ,
ー
マ
1変 数 の開 リ
ン面 として,planarと す る。 この と
き,も し対数容量正 の Zに 対 して,Szが null boundary
であると仮定すれば,す べ ての 2に 対 して,Szは null
boundaryで ある。
35(1969)]は ,単 位
hOrocyclic boundary
meromorphic
functionsの
での
円内
behaviorsに 関す る,い ろ い ろ な興味あ る結果を証明 し
た。その中の一 つに,hOr∝ yclic angleに関 しては PleS―
Sner型 の定理が成立 しない ことを示 し (定理 5),そ れ
にかわ る もの として定理 11で , “measure Oの 集合を
除い て 単位円周上 の点 は,ノ (2)の hOr∝yclic angular
tangential pre―
Plessner pointかまたは /(2)の primary―
Meier pointで ある"こ とを証明 した。 この彼 の証明は
本質的にその hOr∝yclicityに dependし て い る。 ここ
では,彼 の そ れ とは 異 った方法 で,も っと一般 の tan―
gential(non―tangentialも含む)な 場合 に,こ の定理を
精密化 しつつ拡張す る。そ して,そ れ の若干 の応用を述
べ る。
21.吉 田英信 (千葉大工)能 代の定理の一般化 とその
応用
Ko Meier[Commenti Math.Helv。
30(1955)]は
,
meromorphic functionsの bOundary behaviors_に
関す る
19.寺 田俊明 (京大理)超 幾何級数 に関係 する PiCard
の仕事 の ■ 変数へ の拡張
‥,″π,れ +1),″
P"の 斉次座標 を (■ ″,,・
o=0,D=
一
=″
=(Dの
Pれ ∪￨,′
=0,¨
"π+1レを ′
普遍被覆空間)
},う
。
=0,・・
れ と
れ (′
,π+1)を 複素定数,ス∞=π +1-Σ f』
Pを
I.う
の
。
で
で正
る
次
条件をみたす函数
考え
則
す
一
π
:(イ
Dの
の
で
+1個
る
次独立な分枝
各点
)PIま
を もち, π+2個 の分枝 は必ず一 次従属 で あ る。 (口)
″π+1=1と お き (Plア で考 えて,各 〔
角=″′
}の 近傍で
1×
`+λ
′
`一″′
Pは π個 の正則函数 と (″
(正則函数)の
》
一 次結合 で ある (1/均=0の 近傍では Pを (1/幼)λ
` 1ニ
1で
1を
一
∞
`+λ
`+λ
′
置 きかえる)。 この と
(1/a)λ
(幼 ″′
)λ
;
,―ル ,γ
超幾何級数 Fo(α,β
き結論 :Pは Lauricellaの
・
・
=ス
=λ
α
+スπ
+1)に
∞
″1,・
`=1-れ
",β
限
,γ
,物)(た だ し
られ る。Ⅱ.Pの 一 次独立な π+1個 の分枝 を接続 した
lが
ものは う か ら P"へ の局所同型写像 で ある。各 λ
ー
マ
ン
″
リ
の
`=″
る
を分岐面
とす
領
ときは,各
′
有理数
―
prOcessによ り得 られ る代数多様体 ア の普遍
域か ら σ
あ
被覆空間 ″ か ら P"へ の写像 にな り,さ らに れ 力｀
る特殊 な 値 の と き は,像 領域 に適当な一 次度換をす る
興味ある定理を証明 したが, しか し,彼 の証明は非常 に
nger―
Ver―
複雑 で ある。そ こで,能 代 [Cluster sets,Sp五
lag(1960),p.7273]は
Gross lversenの 定理を用 い
る簡単な方法 に よって,こ の Meierの それ に類似な (し
か し,若 干弱い)結 果を証明 した。 ここでは,集 合論的
な方法 (能代 は等角写像を使 う関数論的方法)を その基
礎 に して,こ の能代 の結果 を精密 に しつつ tangentialな
場合に拡張 し,そ れ の応用を述 べ る。 その中で,特 に,
F. Bagemihl[Publ. Matho Debrecen 14(1967)]の
Remarkに 言及す る。
setに ついて
22.黒 川都史子 (三重大教育)Normal Ⅳ ―
複素平面上の集合でその補集合 が領域 とな る集合 を E
ty
とす る。E上 に少な くとも一 つ の essential singula五
nOrmal meromorphicな 函数が存在 しな
をもち,ECで
nOrmal
Ⅳヽetとい う。 ここでは Su∝essive
い とき,Eを
ratios{ξ
“
〕 を もった CantOr set Eが nomal Ⅳヽetと
π
〕が
な るた め の 十分条件を与 え る。定理.も し {ξ
nOmal
“
Eは
な
らば,
12/10g(1/ξ
を満た
す
)<∞
Σ準
Ⅳヽetで ある。
と,そ の逆写像 は超 球内で定義 された保型函数 となる.
23.戸 田暢茂 (名大教 養)Nevanlinna除 外 一 次結合
につ い て
新 浄 小沢 の定理 (K5dai Matho Semo Rep.22,p.99,
Th.3)の 別証明 。精密化 お よび その方法 の応用 として
Nevanlinnaの 除外一 次結合 の個数 に つ い て述 べ る。た
はすべ て実 の定積分 による もので あって,ま ず fractio―
nal orderの積分を 定義 し,そ の後 に,そ れ を用 い て
とえば,有 限平面での Transcendentalな π価代数型函
数 ノが少な くとも %+1個 の Pたardの 除外値を もつ と
fractional orderの
導 函数を定義 して い る。筆者は これ
δ(α
,/)>0な
る α は高 々 2π 個.
24.西 本勝之 (日大工)fraCtiOnal orderの
導 函数 と
積分について
fractional orderの
積分 と導函数 についてはすでに若
干 の定義 と,そ れに もとづ くい くつかの研究が報告 され
まで の定義 とは全 く異な る方法,す なわち,Goursatの
定理を拡張す ることによって,ま ず fractiOnal orderの
導函数を定義 し,そ の 後に 同 じ形 の 複素積分を用 い て
fractbnal orderの
積分を定義す る。今回は まず,こ れ ま
での定義 についての traceを行ない,そ の後に筆者 の定
義 について報告 し,つ いで この定義 か ら得 られ る若干 の
定理 について報告 し,か つ若干の具体的函数 についての
てい る。特 に fractional orderの
積分に つ い て は Rie― demonstratiOnの
結果を示す.
mann,Weylお ょび Saxena等の定義が あるが,こ れ ら
特
男ll
水本久夫 (岡山大工)多 面体上の差分論 とその函数論
へ の応用
偏微分方程式を差分方程式で近似 して近似解を求める
とい う方法は,電 子計算機 の発達に ともな って近年 ます
ますその重要性が認識 され,理 工学 の分野で広 く利用 さ
れ ている と同時 に,そ れ とあい まって,応 用数学ではす
でに一 つの重要な分野を しめてい る。 ここでは,函 数論
へ の応用 とい うことに限定 して差 分論を論 じてみたい。
函数論へ の応用 として差分論を論ず る場合 に,ま ず つ
ぎの (i),(五 )が 問題点 として あげ られ る。
講
演
必然的に リーマ ン面に相当す る ものを考えて,そ の上で
論ず る必要がある。その際,平 面上 の被覆面の場合を考
えて もわかるよ うに,定 義 (1)で κ=4の 場合だけで
は不十分で,隣 接点が任意個 の場合を考慮 に入れなけれ
ばな らない。
以上 の観点に立脚 して差分論を展開す るわ け で あ る
が,議 論を進 める上 の便宜上,つ ぎの二つの段階 に区分
す る。
しては 5′
点差分法
(I)多 面体上に離散調和函数 お よび離散解析函数 の
理論を構築す る こと。
(I)リ ーマ ン面上 の調和函数,解 析函数を (I)の
離散函数で近似す る こと。
πO=0
(1)
Σ
′―κ
聯=1“
=4,%′=“
=1,… ,κ)をま 9oの 隣
(ここで,κ
(の),の(ノ
接格子点)が 最 も簡単で使 いやす い もの として知 られ て
ついて,も うす こ し具体的に述 べ よ う。
通,多 面体 とは三 角形分割を付与 された多様
体 (ここでは,方 向付可能な 2次 元多様体 に限 る),ま
い るが,こ の定義 につ りあ うよ うに %の 共役調和函数
%*お よび離散解析函数 /を いかに定義す るかが重要な
たは多様体上 の三 角形分割をさす が,こ こでは,三 角形
分割 の変 りに多角形 による分割を考え,多 角形 としては
(1)い
rete)調和函数 %の 定義 と
わゆる離散 (di∝
(I),(I)に
(I)普
問題 とな る (従来 の定義 に関 して は [6],[8],[10]
2角 形, 3角 形をゆ るす 。 したが って,2-simplex″ は
多角形で あ り,そ の辺 αが 1-Simplex,頂′
点gが 0-sim―
pleXで ある。多角形分割 Kに 対 して,″ に ￨`*￨∈
￨〃￨
ばな らない と同時に,連 続 の場合 (ContinuOus Case)と なる 0-Simplex 9*,α
α
にはそれ と交わ る 1-simplex *,
*￨な
%*あ
%
同様,共 役 な
るいは解析函数 ノを考える ことが
f*が それぞれ 1対
る 2-simplexル
gに は 1引∈￨″
1に 対応す るよ うな dual多 角形分割 K*を 定義 し,そ
それ 自身 の理論をきづ く上に も大 いに役立ち うる ことが
な ど参照)。そ の定義 は,格 子点上で の調和函数,解 析
函数 ので きるだけ豊富な理論を きず き うるものでなけれ
望 ま しい。 さらに,実 際 の応用上 よ り重要な ことは,連
続 の場合 の調和函数 ,解析函数が離散 の場合 の調和函数 ,
解析函数で容易に近似 しうる ことである。 さらに,そ の
近似 によ って,離 散 の場合 の理論か ら連続 の場合 の理論
が導 び きだ しうる ことが望 ましい。
(ii)離 散解析函数を考える限 り,一 価函数 のみを取
扱 った のでは,函 数論へ の応用 としては不十分 で ある。
の対 κ =<氏 K*>を 複合多角形分割 と よぶ。F上
の函数 /(0次 差分)は 各 0-Simplex`で値 /(a)を も
つ函数, 1次 差分 ω は各 1-gmplex αで値 ω(α
)を も
つ函数, 2次 差分 ρ は各 2Simplex″ で値 ρ(〃)を
もつ函数 として定義 され る。函数 /の 差分 イ は イ 0)
=/(92) /C91)(∂
α=夕2 91)な る 1次 差分, 1次 差分 ω
=Σ 卜lη)な る
の差分 ∠ωは ∠ω(″)=Σ ;=10(α
ノ
)(∂″「
2次 差分 として定義 され る。ω=Zf/の とき,ω は eXact,
∠ω=0の とき ωは C10Sedと ょぶ。す べ ての 1-Simplex
*)=ω (α
α に対 して ω*(α
)(α*は α を右か ら左に横切
*を
ω の共役 とい う。ω と ω*が C10Sed
る)を みたす ω
121
Collatz,
L.,
The numerical treatment
Courant, R., K. Friedrichs and H. Lewy,
die partiellen Differenzengleichungen
t 4I
とい う。以上 の よ うな定義 の もとに,要 す るに離散 点集
t 5I
Duffin, R. J., Basic properties of discrete analytic
functions. Duke lVlath. J. 23 (1956), 335-363.
Forsythe, G. and W. Wasow,
合 の上で の函数論を展開す るわけで あるが,こ のよ うな
methods.
単純な基礎 の上に立 って,ど の程度 まで の理論が展開可
能で あるかが一 つの興味ある問題で あろ う。一例をあげ
London-Sydney (1960).
t 6I
れば, コ ーシーの積分定理,積 分公式,留 数定理 , リー
マ ンの周期関係式など,連 続 の 場合 の analogyが え ら
ものでない ことを付記 したい。
文
献
[1]Ahlfors,L.and Lo Sario,Riemann surfaceso Prin―
ceton Univ.Press.(1960)。
Finite-difference
Sons, Inc.
New York-
Hundhausen, J., A generalization of discrete anaJ. n[ath. Anal. Appl.
Jenkins, J., Univalent
mapping.
functions
Springer-Verlag,
and conformal
Berlin-Gtittingen-Hei-
delberg (1958).
t 8]
Gauthier-Villars,
t 9]
J., Repr6sentation conforme et
Lelong-Ferrand,
transformations
ir int6grale
de Dirichlet
born6e.
Paris (1955).
Mizumoto, H., An application of Green's formula
of a discrete function : Determination of periodicity
<れ ,K2*>}准 0を 得 る。与えられ た境界条件,周 期条
件をみたす 7上 の調和微分 ω に対 して,同 じ境界条
似計算をあげ る。
最後に,こ こに列挙 した文献 の リス トは決 して完全な
&
25 (1969), 628-652.
171
件,周 期条件をみたす κ“上の調和差分 ωπの Smooth
♯の ω へ の収東 につ いて論ず る。
extension ω
π
具体的な応用例 と して, リ ーマ ン面 の modulusの 近
John Wiley
lytic and harmonic function.
ーマ ン面 7上 の 2次 微分を baseに した,
Oo♯を定義す る。調和な ωoに 対 しては,さ らに ωo*の
smooth extension Oω*♯を考える ことが で き る。一般 に
K"の 部分分割 κπ
+1を 定義す る ことによ り,列 椰転=
Uber
der mathema-
tischen Physik. Math. Ann, 100 (1928), 32-74.
と同値である。 これで共役調和函数が同時 に定義 され て
い る。9が closedで pure 9*=一 ′
9の とき,9は 解析
(I)リ
7の 多角形分割 Koお よび複合多角形分割 Foを 定義
し,κ o上 の C10Sedな 1次 差分 ωoに 対 して,そ の 7
へ の Sm∞ th extensionとして, 7上 の C10Sedな 微分
Berlin-
(1966) .
Gtittingen-Heidelberg
t 3I
=∠“ な ら
で あるとき,ω は調和 とい う。ω が exact ω
ば,こ れ は隣接 0-Simplexを κ個 として (1)の 成 立
れ る。
of diffe
rential equations. 3rd ed. Springer-Verlag,
moduli I, I[. KOdai lvlath. Sem. Rep. 22 (1970),
23L-243, 244-249.
t10l
Opfer, G., Die Bestimmung des Moduls zweifach
zusammenhiingender Gebiete mit Hilfe von Differenzenverfahren. Arch. Rat. Mech. Anal.
32 (1969),
28L-297.
[11]Seife■ ,H。 ,and Threlfa11,w"Lehrbuch der
Topologieo Chelsea,New York(1945)。
[12] Springer,G。 ,Introduction to Riemann surfaces.
Addison―Wesley Publ。,MassachusettS(1957).
・
第 15回 函数論 シンポジウムを来 る 7月 4日 , 5日 千葉大学 のお世話で千葉 館山
の両市 で開催 の予定 .御 参加歓迎 .
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