波の分類 進行波における水粒子の軌跡（水深波長比） 浅水長波流れ 樫山和男（中央大学） 内容 ・流れ問題の特徴と支配方程式 ・浅水長波方程式に対する安定化有限要素法 ・準３次元モデル 浅水長波（shallow water long waves） 深水波(deep water waves） 断面平均流速が仮定できる Navier-Stokes方程式と浅水長波方程式 Navier-Stokes方程式と浅水長波方程式 Navier-Stokes方程式 精度 解析スケール: 地球規模の解析 解析スケール：数kmオーダー 3D Navier-Stokes 方程式 Boussinesq 方程式 非線形 浅水長波方程式 線形 浅水長波方程式 目的: ・流れの3次元構造の把握 ・構造物に作用する流体力 目的: ・波源域から陸域までの広範囲に わたる津波伝搬解析 コスト ui 0 xi ui u 1 p 2u uj i 2i f i t x j xi x j Ui 水位上昇量 ・静水圧近似 ・断面平均流速 の導入 浅水長波方程式 (h )U i 0 t xi U i U i 2U i b s U j g H 0 2 t x j xi x j (h ) (h ) 1 h h ui dx3 断面平均 流速 波の非線形性と分散性 浅水長波方程式とBoussinesq方程式 浅水長波方程式 波速は水深と波長によって変化する 波速（水深が深いほど速い） (h )U i 0 t xi 波の前傾化 b s 2U i U i U i 0 g H U j 2 (h ) (h ) x j x j xi t 水位上昇量 断面平均 流速 非線形性 Boussinesq方程式 分散性 (h )U i 0 t xi 波速（波長が長い波ほど速い） b s 2U i U i U i h 2 3U i g H U j (h ) (h ) 3 xi x j t x 2j x j xi t 浅水長波方程式: 非線形性 Boussinesq方程式: 非線形性 + 分散性 分散項 支配方程式の比較 支配方程式の比較 1.5 0.1[m] water depth[m] water depth[m] Streetの孤立波の実験 1 0.5[m] 0.5 1.0[m] Slope 1:20 0 0 10 20 30 x[m] 比較: ・線形浅水長波方程式(L-SWE) ・非線形浅水長波方程式(N-SWE) ・線形Boussinesq方程式(L-BE) ・非線形Boussinesq方程式(N-BE) 0.5[m] 40 50 t=0.0[s] t=7.5[s] t=15[s] 1 0.5 0 0 10 60 20 30 x[m] 40 50 線形浅水長波方程式 U h i 0 t xi U i g 0 t xi U1 60 支配方程式の比較 支配方程式の比較 1.5 t=0.0[s] t=7.5[s] t=15[s] water depth[m] water depth[m] 1.5 1 0.5 0 0 10 20 30 x[m] 40 50 t=0.0[s] t=7.5[s] 1 0.5 0 0 60 線形Boussinesq方程式 10 20 40 50 60 (h )U i 0 t xi U i h 2 3U i g t xi 3 xi x j t U i U i uj g 0 t x j xi U1 支配方程式の比較 t=15[s] 1 0.5 10 20 30 x[m] 40 50 非線形Boussinesq方程式 (h )U i 0 t xi U i U i h U i uj g xi 3 xi x j t t x j 2 3 U1 :L-SWE water elevation [m] t=7.5[s] 60 water depth[m] t=0.0[s] U1 支配方程式の比較 1.5 water depth[m] 30 x[m] 非線形浅水長波方程式 U h i 0 t xi 0 0 t=15[s] :N-SWE :L-BE :N-BE 0.1[m] 1 0.5[m] 0.5 1.0[m] Slope 1:20 0 0 10 20 30 x[m] 0.5[m] 40 50 60 浅水長波方程式 移動境界処理法 Eularian アプローチ ・頑健性 ・精度にやや難 （細かいメッシュ） Lagrangian アプローチ ・高精度 ・頑健性に難 安定化パラメータ 安定化有限要素法（弱形式） 弱形式 (SUPG) Present SUPG Term S. Takase, K. Kashiyama, S. Tanaka and T.Tezduyar: Space-time SUPG Formulation of the shallow-water equation, IJNMF, Vol.64, 2010 Shock-Capturing Term 三角形１次要素 Simple ： 流量 ： 全水深 K.Kashiyama et al. (1999) Space-Time有限要素法 安定化Space-Time有限要素法（弱形式） 弱形式 t Galerkin term Qn 1 tn1 t n 1 t t tn Qn n 1 t n SUPG Term tn Shock-Capturing Term Y X 数値解析例（Dam-Break Problem） Space-Time有限要素法と 時間の離散化にCrank-Nicolson法を用いた手法との比較 安定化パラメータの比較 数値解析例（Dam-Break Problem） -20 0 X[m] 20 0 40 -40 -20 ⊿ｔ=0.001[s] 0 X[m] 20 ⊿ｔ=0.01[s] 数値解析例（Dam-Break Problem） 40 exact S-T C-N 1 Water depth[m] Water depth[m] -40 0.5 0.5 0 -40 -20 0 X[m] 20 exact S-T C-N 1 0.5 0 40 -40 -20 0 X[m] 20 40 ⊿ｔ=0.5[s] ⊿ｔ=0.1[s] 数値解析例(Wave Run-up Problem) 10-1 S-T C-N Z Error Water depth[m] 0.5 0 exact S-T C-N 1 Water depth[m] exact S-T C-N 1 数値解析例（Dam-Break Problem） 0.5m 1:10 X 10-2 Error h exact h 100m node -4 10 -3 10 -2 ⊿t 10 -1 10 CPU Time S-T : Δt=0.1 => 7.9[s] C-N：Δt=0.035=> 8.3[s] S. Takase, K. Kashiyama, S. Tanaka and T.Tezduyar: Space-time SUPG finite element computation of shallow-water flows with moving shoreline, Comp. Mech., 48, 293-306, 2011 支配方程式 数値解析例(Wave Run-up Problem) Boussinesq 方程式 Z coordinate [m] 0.1 theoretical solution Present (course mesh) Eulerian approach(course mesh) Eulerian approach(fine mesh) 0 -0.1 0 5 10 X coordinate [m] 15 安定化有限要素法（弱形式） 空間の離散化 三角形１次要素 Galerkin Term ： 流量 Instability due to advection term SUPG Term Instability of free surface 係数行列 有限要素方程式 M：時間項（質量行列） K：分散項 A: 移流項 Shock-Capturing Term ： 全水深 N：粘性項 L：水深勾配項 G：摩擦項 C：衝撃捕捉項 東日本大震災 時間の離散化 ・3月11日14:46：マグニチュード9.0の地震が牡鹿半島130kmの沖合で発生 ・日本の歴史上最大の地震 Crank-Nicolson法 時間微分項 その他の項 Seismic intensity 連立１次方程式の解法: [m] Element-by-Element Bi-CGSTAB method Data from Japan Meteorological Agency 初期条件の例 Tohoku University Model (Ver.1.0) Comparison of shallow water eq. and Boussinesq eq. LayerモデルとLevelモデル VR技術の応用（可視化） Layer モデル 密度流解析（河口部）に有効 Level モデル 3次元流動解析に有効 ・M. Kasahara, H. Hara and M. Kawahara, Two step explicit finite element method for two layer flow analysis, IJNMF, 4, 931-947, 1984. ・T. Kodama and M. Kawahara, Multiple level finite element analysis for tidal current flow with non-refrective open boundary condition, Proc. JSCE, 446, 89-99, 1992 σ –座標系モデル 流体－構造連成解析の必要性 σ -coordinate Model View direction① 女川 宮城 物理空間 写像空間 ・高木，川原：モードスプリット有限要素法を用いた準３次元海浜流シミュレーション 海岸工学論文集，43，土木学会，pp.361-365 (1996) ・K.Kashiyama, Y.Ohba, T. Takagi, M. Behr and T. Tezduyar, Parallel finite element method Utilizing the mode splitting and sigma coordinate for shallow water flows, Comp. Mech., 23, pp.144-150, 1999. View direction① 多くのコンクリート構造物が破壊された ↓ 流体構造連成解析の必要性 （２D-３D連成解析の必要性） 2D-3D連成解析の必要性 Shallow Water/ Boussinesq Equation (2D) Navier-Stokes Equation (3D)
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