第2回目(H20/06/30)

電力回路
対称座標法
平成20年6月30日
単位値から実値への変換
• 単位値は，実値をベース値で割って得る
• 実値は，単位値にベース値を掛けて求まる
電流( A) = 電流( p.u.) × ベース電流( A)
電圧(V ) = 電圧( p.u.) × ベース電圧(V )
インピーダンス(Ω)
= インピーダンス( p.u.) × ベースインピーダンス(Ω)
2
三相電力回路
• 三相一回線送電線の回路
– 回路図
– 回路方程式
⎧V1a − V2 a = (Ra + jωLaa )I a + jωLab I b + jωLac I c
⎪
⎨V1b − V2b = (Rb + jωLbb )I b + jωLab I a + jωLbc I c
⎪V − V = (R + jωL )I + jωL I + jωL I
2c
c
cc c
ca a
bc b
⎩ 1c
⎡V1a ⎤ ⎡V2 a ⎤ ⎡ Ra + jωLaa
⎢V ⎥ − ⎢V ⎥ = ⎢ jωL
ab
⎢ 1b ⎥ ⎢ 2b ⎥ ⎢
⎢⎣V1c ⎥⎦ ⎢⎣V2 c ⎥⎦ ⎢⎣ jωLca
jωLab
Rb + jωLbb
jωLbc
jωLac
⎤ ⎡I a ⎤
jωLbc ⎥⎥ ⎢⎢ I b ⎥⎥
Rc + jωLcc ⎥⎦ ⎢⎣ I c ⎥⎦
3
三相電力回路
• 三相一回線送電線の回路
– インピーダンス表示
⎡V1a ⎤
V1 = ⎢⎢V1b ⎥⎥
⎢⎣V1c ⎥⎦
⎡ Z aa
Z = ⎢⎢ Z ba
⎢⎣ Z ca
Z ab
Z bb
Z cb
⎡V2 a ⎤
V2 = ⎢⎢V2b ⎥⎥
⎢⎣V2 c ⎥⎦
Z ac ⎤ ⎡ Ra + jωLaa
Z bc ⎥⎥ = ⎢⎢ jωLab
Z cc ⎥⎦ ⎢⎣ jωLca
V1 − V2 = ZI
⎡I a ⎤
I a = ⎢⎢ I b ⎥⎥
⎢⎣ I c ⎥⎦
jωLab
Rb + jωLbb
jωLbc
jωLac
⎤
jωLbc ⎥⎥
Rc + jωLcc ⎥⎦
4
三相電力回路
• 三相電力回路の特徴
– 三相のインピーダンスは
右式で表される。
• 相間の相互インダクタンスを
考慮する必要が有る場合は複雑
• 不平衡となる場合はさらに複雑
• 力技で解けないこともないが・・・
⎡ Z aa
⎢Z
⎢ ba
⎢⎣ Z ca
Z ab
Z bb
Z cb
Z ac ⎤
Z bc ⎥⎥
Z cc ⎥⎦
– 楽したい
– 三相平衡の特徴が利用できないか？
• 変数変換でなんとかしてみよう！
– そんなに都合のよい変数変換法ってあるんかいな
5
対称座標法
• 定義
– 三相交流電圧・電流に対して次式で定義される
[
]
[
• 零相
1 & & &
&
V0 = Va + Vb + Vc
3
&I = 1 I& + I& + I&
0
a
b
c
3
• 正相
1
V&1 = V&a + αV&b + α 2V&c
3
[
]
1
I&1 = I&a + αI&b + α 2 I&c
3
[
]
&I = 1 I& + αI& + α 2 I&
a
b
c
2
3
1
2
• 逆相 V&2 = V&a + α V&b + αV&c
3
但し α = e
2
j π
3
]
回転を表す。
α 3 = e j 2π = 1
1+ α + α 2 = 1+ e
2
j π
3
+e
4
j π
3
[
]
[
]
1回転
=0
6
対称座標法
• 対称座標変換の行列表示
⎡V&0 ⎤
1 ⎤ ⎡V&a ⎤
⎡1 1
⎢ & ⎥ 1⎢
2 ⎥⎢ & ⎥
⎢V1 ⎥ = 3 ⎢1 α α ⎥ ⎢Vb ⎥
2
⎢V&2 ⎥
⎢V&c ⎥
⎢
⎥
1
α
α
⎣
⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎡ I&0 ⎤
1 ⎤ ⎡ I&a ⎤
⎡1 1
⎢& ⎥ 1⎢
2 ⎥⎢ & ⎥
⎢ I1 ⎥ = 3 ⎢1 α α ⎥ ⎢ I b ⎥
2
⎢ I&2 ⎥
⎢ I&c ⎥
⎢
⎥
1
α
α
⎣
⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
• 対象座標成分から相座標成分への逆変換
−1
&
⎡Va ⎤
1 ⎤ ⎡V&0 ⎤ ⎡1 1
1 ⎤ ⎡V&0 ⎤
⎡1 1
⎢&⎥
⎢&⎥
⎢
⎥
⎢
2⎥ ⎢ & ⎥
2
α ⎥ ⎢V1 ⎥
⎢Vb ⎥ = 3⎢1 α α ⎥ ⎢V1 ⎥ = ⎢1 α
2
& ⎥ ⎢1 α α 2 ⎥ ⎢V& ⎥
⎢
⎢V&c ⎥
⎢
⎥
V
1
α
α
⎦⎣ 2 ⎦
⎣
⎦ ⎣ 2⎦ ⎣
⎣ ⎦
1 ⎤ ⎡3 0 0⎤
1 ⎤ ⎡1 1
⎡1 1
検算 ⎢⎢1 α 2 α ⎥⎥ ⎢⎢1 α α 2 ⎥⎥ = ⎢⎢0 3 0⎥⎥
⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢⎣1 α 2 α ⎥⎦ ⎢⎣0 0 3⎥⎦
電流も
同様
7
対称座標法
• 三相平衡の場合の各値
– 各相の電圧・電流
⎧V&a = Ve jθ
• 同一振幅
⎪⎪
− j 23 π
2 &
&
&
=
=
V
V
e
α
Va
• B相の位相はa相のπ2/3遅れ ⎨ b
a
⎪&
− j 23 π
&
&
• C相の位相はb相のπ2/3遅れ ⎪Vc = Vb e
=
α
V
a
⎩
– 各対称成分は
• 零相
V&0 = 13 V&a + V&b + V&c = 13 V&a + α 2V&a + αV&a = 13 V&a 1 + α 2 + α = 0
[
] [
]
[
]
• 正相
V&1 = 13 V&a + αV&b + α 2V&c = 13 V&a + α 3V&a + α 3V&a = 13 V&a 1 + α 3 + α 3 = V&a
• 逆相
V&2 = 13 V&a + α 2V&b + αV&c = 13 V&a + α 4V&a + α 2V&a = 13 V&a 1 + α 1 + α 2 8= 0
[
] [
]
[
]
[
] [
]
[
]
対称座標法
• 三相交流電圧・電流の対称座標変換
– 相座標系(a,b,c)→対称座標系(0,1,2)
⎡V&0 ⎤
1 ⎤ ⎡V&a ⎤
⎡1 1
⎢ & ⎥ 1⎢
2 ⎥⎢ & ⎥
V
1
α
α
=
⎢ 1⎥ 3 ⎢
⎥ ⎢Vb ⎥
2
⎢V&c ⎥
⎢V&2 ⎥
⎢
⎥
1
α
α
⎣
⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
2
但し α = exp( j 3 π )
– 対称座標系(0,1,2) →相座標系(a,b,c)
⎡V&a ⎤ ⎡1 1
1 ⎤ ⎡V&0 ⎤
⎢&⎥
⎢&⎥ ⎢
⎥
2
α ⎥ ⎢V1 ⎥
⎢Vb ⎥ = ⎢1 α
⎢V&c ⎥ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢V&2 ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
電流も同様 9
対称座標法
• 電圧・電流以外の諸量の取り扱い
– インピーダンス
• 相座標表現
⎡V&a ⎤ ⎡1 1
1 ⎤ ⎡V&0 ⎤
⎢&⎥
⎢&⎥ ⎢
⎥
2
α ⎥ ⎢V1 ⎥
⎢Vb ⎥ = ⎢1 α
⎢V&c ⎥ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢V&2 ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
1 ⎤ ⎡V&0 ⎤ ⎡ Z& aa
⎡1 1
⎢1 α 2 α ⎥ ⎢V& ⎥ = ⎢ Z&
⎢
⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ba
⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢⎣V&2 ⎥⎦ ⎢⎣ Z& ca
⎡V&a ⎤ ⎡ Z& aa
⎢&⎥ ⎢&
⎢Vb ⎥ = ⎢ Z ba
⎢V&c ⎥ ⎢ Z& ca
⎣ ⎦ ⎣
Z& ab
Z&
bb
Z& cb
Z& ac ⎤ ⎡ I&a ⎤
⎥⎢ & ⎥
&
Z bc ⎥ ⎢ I b ⎥
Z& cc ⎥⎦ ⎢⎣ I&c ⎥⎦
⎡ I&a ⎤ ⎡1 1
1 ⎤ ⎡ I&0 ⎤
⎢& ⎥
⎢& ⎥ ⎢
⎥
2
α ⎥ ⎢ I1 ⎥
⎢ I b ⎥ = ⎢1 α
⎢ I&c ⎥ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢ I&2 ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
Z& ab
Z&
bb
Z& cb
Z& ac ⎤ ⎡1 1
1 ⎤ ⎡ I&0 ⎤
⎥⎢
⎢& ⎥
⎥
2
&
Z bc ⎥ ⎢1 α
α ⎥ ⎢ I1 ⎥
Z& cc ⎥⎦ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢⎣ I&2 ⎥⎦
より
10
対称座標法
• 電圧・電流以外の諸量の取り扱い
– インピーダンス
• 相座標形式
⎡V&a ⎤ ⎡ Z& aa
⎢&⎥ ⎢&
⎢Vb ⎥ = ⎢ Z ba
⎢V&c ⎥ ⎢ Z& ca
⎣ ⎦ ⎣
Z& ab
Z&
⎡V&0 ⎤ ⎡ Z& 00
⎢&⎥ ⎢&
⎢V1 ⎥ = ⎢ Z10
⎢V&2 ⎥ ⎢ Z& 20
⎣ ⎦ ⎣
Z& 01
Z&
bb
Z& cb
Z& ac ⎤ ⎡ I&a ⎤
⎥⎢ & ⎥
&
Z bc ⎥ ⎢ I b ⎥
Z& cc ⎥⎦ ⎢⎣ I&c ⎥⎦
• 対称座標形式
どないして変換する?
11
Z& 21
Z& 02 ⎤ ⎡ I&0 ⎤
⎥⎢ & ⎥
&
Z12 ⎥ ⎢ I1 ⎥
Z& 22 ⎥⎦ ⎢⎣ I&2 ⎥⎦
11
対称座標法
• 電圧・電流以外の諸量の取り扱い
– インピーダンス
⎡ I&a ⎤ ⎡1 1
⎡V&a ⎤ ⎡1 1
1 ⎤ ⎡V&0 ⎤
1 ⎤ ⎡ I&0 ⎤
⎢& ⎥ ⎢
⎢&⎥ ⎢
⎥ ⎢ I& ⎥
⎥ ⎢V& ⎥
2
2
V
1
α
α
I
1
α
α
=
=
⎢ b⎥ ⎢
⎢ b⎥ ⎢
⎥ ⎢ 1 ⎥ より
⎥⎢ 1 ⎥
⎢ I&c ⎥ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢ I&2 ⎥
⎢V&c ⎥ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢V&2 ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎡V&a ⎤ ⎡ Z& aa Z& ab Z& ac ⎤ ⎡ I&a ⎤
⎢&⎥ ⎢&
⎥⎢ & ⎥
&
&
⎢Vb ⎥ = ⎢ Z ba Z bb Z bc ⎥ ⎢ I b ⎥ は
⎢V&c ⎥ ⎢ Z& ca Z& cb Z& cc ⎥ ⎢ I&c ⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦⎣ ⎦
1 ⎤ ⎡V&0 ⎤ ⎡ Z& aa
⎡1 1
⎢1 α 2 α ⎥ ⎢V& ⎥ = ⎢ Z&
⎢
⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ba
⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢⎣V&2 ⎥⎦ ⎢⎣ Z& ca
Z& ab
Z&
bb
Z& cb
Z& ac ⎤ ⎡1 1
1 ⎤ ⎡ I&0 ⎤
⎥⎢
⎢& ⎥
⎥
2
&
Z bc ⎥ ⎢1 α
α ⎥ ⎢ I1 ⎥ と表せる
Z& cc ⎥⎦ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢⎣ I&2 ⎥⎦
12
対称座標法
• 電圧・電流以外の諸量の取り扱い
– インピーダンス
−1
⎡V&0 ⎤ ⎡1 1
1 ⎤ ⎡ Z& aa
⎢&⎥ ⎢
⎥ ⎢ Z&
2
=
α
α
1
V
⎢ 1⎥ ⎢
⎥ ⎢ ba
⎢V&2 ⎥ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢ Z& ca
⎣ ⎦
⎣
−1
1
1
1
⎤ ⎡ Z& aa
⎡
⎢
= ⎢⎢1 α 2 α ⎥⎥ ⎢ Z& ba
⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢⎣ Z& ca
1 ⎤ ⎡ Z& aa
⎡1 1
1⎢
2 ⎥⎢ &
= ⎢1 α α ⎥ ⎢ Z ba
3
⎢⎣1 α 2 α ⎥⎦ ⎢⎣ Z& ca
Z& ab
Z& bb
Z& cb
Z& ab
Z& bb
Z& cb
Z& ab
Z& bb
Z&
cb
1 ⎤ ⎡ I&0 ⎤
Z& ac ⎤ ⎡1 1
⎥
⎢ ⎥
Z& bc ⎥ ⎢⎢1 α 2 α ⎥⎥ ⎢ I&1 ⎥
Z& cc ⎥⎦ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢⎣ I&2 ⎥⎦
1 ⎤ ⎡ I&0 ⎤
Z& ac ⎤ ⎡1 1
⎢ ⎥
⎥
Z& bc ⎥ ⎢⎢1 α 2 α ⎥⎥ ⎢ I&1 ⎥
Z& cc ⎥⎦ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢⎣ I&2 ⎥⎦
1 ⎤ ⎡ I&0 ⎤
Z& ac ⎤ ⎡1 1
⎥⎢
⎢& ⎥
⎥
2
&
α ⎥ ⎢ I1 ⎥
Z bc ⎥ ⎢1 α
Z& cc ⎥⎦ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢⎣ I&2 ⎥⎦
13
対称座標法
• インピーダンス行列の扱い
⎡V&0 ⎤ ⎡ Z& 00
⎢&⎥ ⎢&
⎢V1 ⎥ = ⎢ Z10
⎢V&2 ⎥ ⎢ Z& 20
⎣ ⎦ ⎣
⎡ Z& 00
⎢&
⎢ Z10
⎢ Z& 20
⎣
Z& 01
Z&
11
Z& 21
Z& 01
Z&
11
Z& 21
Z& 02 ⎤ ⎡ I&0 ⎤
⎥⎢ & ⎥
&
Z12 ⎥ ⎢ I1 ⎥
Z& 22 ⎥⎦ ⎢⎣ I&2 ⎥⎦
Z& 02 ⎤
1 ⎤ ⎡ Z& aa
⎡1 1
⎥ 1⎢
2 ⎥⎢ &
&
Z12 ⎥ = ⎢1 α α ⎥ ⎢ Z ba
3
&
⎢⎣1 α 2 α ⎥⎦ ⎢⎣ Z& ca
Z 22 ⎥⎦
Z& ab
Z&
bb
Z& cb
Z& ac ⎤ ⎡1 1
1⎤
⎥⎢
&
Z bc ⎥ ⎢1 α 2 α ⎥⎥
Z& cc ⎥⎦ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦
– ここまででは，対称座標法のメリットが見えん
14
対称座標法
• 対称座標の利点
– インピーダンス行列の扱い
• 送電線路の場合
– 自己インダクタクス
– 相互インダクタンス
Laa ≅ Lbb ≅ Lcc
Lab ≅ Lba ≅ Lbc ≅ Lcb ≅ Lca ≅ Lac
– 相座標系でのインピーダンス行列
Z& s ≡ Z& aa ≅ Z& bb ≅ Z& cc
Z& m ≡ Z& ab ≅ Z& ba ≅ Z& bc ≅ Z& cb ≅ Z& ca ≅ Z& ac
⎡ Z& aa
⎢&
⎢ Z ba
⎢ Z& ca
⎣
Z& ab
Z&
bb
Z& cb
Z& ac ⎤ ⎡ Z& s
⎥ ⎢
Z& bc ⎥ = ⎢ Z& m
Z& cc ⎥⎦ ⎢⎣ Z& m
Z& m
Z&
s
Z& m
Z& m ⎤
⎥
Z& m ⎥
Z& s ⎥⎦
密
15
対称座標法
• 対称座標の利点
– インピーダンス行列の扱い
• 送電線路の場合
⎡ Z& 00
⎢&
⎢ Z10
⎢ Z& 20
⎣
Z& 01
Z&
11
Z& 21
1 ⎤ ⎡ Z& aa Z& ab
Z& 02 ⎤
⎡1 1
⎥ 1
⎢
Z&12 ⎥ = ⎢⎢1 α α 2 ⎥⎥ ⎢ Z& ba Z& bb
3
&
⎥
⎢⎣1 α 2 α ⎥⎦ ⎢⎣ Z& ca Z& cb
Z 22 ⎦
1 ⎤ ⎡ Z& s Z& m
⎡1 1
1
⎢
= ⎢⎢1 α α 2 ⎥⎥ ⎢ Z& m Z& s
3
⎢⎣1 α 2 α ⎥⎦ ⎢⎣ Z& m Z& m
1 ⎤ ⎡ Z& s + 2 Z& m
⎡1 1
1
⎢
= ⎢⎢1 α α 2 ⎥⎥ ⎢ Z& s + 2 Z& m
3
⎢⎣1 α 2 α ⎥⎦ ⎢⎣ Z& s + 2 Z& m
1⎤
Z& ac ⎤ ⎡1 1
⎥
Z& bc ⎥ ⎢⎢1 α 2 α ⎥⎥
Z& cc ⎥⎦ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦
Z& m ⎤ ⎡1 1
1⎤
⎥
Z& m ⎥ ⎢⎢1 α 2 α ⎥⎥
Z& s ⎥⎦ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦
Z& s + α 2 + α Z& m Z& s + α + α 2
α 2 Z& + (1 + α )Z& αZ& + 1 + α 2
(
s
)
(
m
αZ& s + (1 + α 2 )Z& m
)Z&
)Z&
⎤
⎥
s
m⎥
α 2 Z& s + (1 + α )Z& m ⎥⎦
(
16
m
対称座標法
• インピーダンス行列の扱い
– 送電線路の場合
[
]
[{Z& + (α + α )Z& }+ {α Z& + (1 + α )Z& }+ {αZ& + (1 + α )Z& }]
[(1 + α + α )Z& + (α + α + 1 + α + 1 + α )Z& ] = 0
[{Z& + (α + α )Z& }+ {αZ& + (1 + α )Z& }+ {α Z& + (1 + α )Z& }]
[{1 + α + α }Z& + {α + α + 1 + α + 1 + α }Z& ] = 0
[{Z& + 2Z& }+ α {Z& + 2Z& }+ α {Z& + 2Z& }]
(1 + α + α )(Z& + 2Z& ) = 0
[{Z& + (α + α )Z& }+ α {α Z& + (1 + α )Z& }+ α {αZ& + (1 + α )Z& }]
[(1 + α + α )Z& + (α + α + α + α + α + α )Z& ] = [3Z& − 3Z& ] = Z& 17− Z&
Z& 00 = 13 (Z& s + 2 Z& m ) + (Z& s + 2 Z& m ) + (Z& s + 2 Z& m ) = Z& s + 2 Z& m
Z& 01 = 13
= 13
Z& 02 = 13
= 13
Z&10 = 13
= 13
Z&11 = 13
= 13
2
2
s
2
m
s
2
m
2
s
m
2
s
m
2
2
s
m
s
2
2
m
2
s
m
2
s
m
2
s
m
s
m
s
m
2
s
m
2
2
s
m
3
3
s
2
s
2
2
m
2
2
s
4
m
m
1
3
s
m
s
m
対称座標法
• インピーダンス行列の扱い
– 送電線路の場合
[{ (
) } { ( ) } {
}]
[(
) (
) ]
[{Z& + 2Z& }+ α {Z& + 2Z& }+ α {Z& + 2Z& }]
(1 + α + α )(Z& + 2Z& ) = 0
[{Z& + (α + α )Z& }+ α {α Z& + (1 + α )Z& }+ α {αZ& + (1 + α )Z& }]
[(1 + α + α )Z& + (α + α + α + α + α + α )Z& ] = 0
[{Z& + (α + α )Z& }+ α {αZ& + (1 + α )Z& }+ α {α Z& + (1 + α )Z& }]
[(1 + α + α )Z& + (α + α + α + α + α + α )Z& ] = [3Z& − 3Z& ] = Z&
Z&12 = 13 Z& s + α + α 2 Z& m + α αZ& s + 1 + α 2 Z& m + α 2 α 2 Z& s + (1 + α )Z& m
= 13 1 + α 2 + α 4 Z& s + α + α 2 + 1 + α 2 + 1 + α Z& m = 0
Z& 20 = 13
= 13
Z& 21 = 13
= 13
Z& 22 = 13
= 13
2
s
m
s
m
s
m
2
s
m
2
2
s
2
2
m
4
2
s
2
m
2
3
s
3
s
m
2
2
s
2
m
3
3
s
2
s
m
2
m
2
4
s
2
m
m
1
3
s
m
s
− Z& m
18
対称座標法
• インピーダンス行列の扱い
– 送電線路の場合
• 送電線インピーダンスの対称座標表示
⎡ Z& 00
⎢&
⎢ Z10
⎢ Z& 20
⎣
Z& 01
Z&11
Z&
21
Z& 02 ⎤ ⎡ Z& s + 2 Z& m
⎥ ⎢
Z&12 ⎥ = ⎢
0
Z& 22 ⎥⎦ ⎢⎣
0
0
Z& s − Z& m
0
⎤
⎥
0 ⎥
Z& s − Z& m ⎥⎦
0
• インピーダンスの対称座標成分は対角項のみ
• 零相，正相，逆相が互いに干渉しない
• アドミタンスでも同様
19
対称座標法
• インピーダンス行列の扱い
– 送電線路の場合
⎧Z& 0 = Z& s + 2 Z& m
⎪&
⎨Z1 = Z& s − Z& m
⎪&
& − Z&
=
Z
Z
2
s
m
⎩
Z& 0 > Z&1 = Z& 2
• 対称分の各相を独立に表現可能絵
– 零相回路
V&0 = Z& 0 I&0
– 正相回路
V&1 = Z&1 I&1
&
& &
V2 = Z 2 I 2
– 逆相回路
» 送電線の回路が簡単に描けるようになったでぇ
20
対称座標法
• 電力回路で用いる機器の対称座標表示
– 負荷
• 三相平衡な場合
⎡V&a ⎤ ⎡ Z& aa
⎢&⎥ ⎢&
⎢Vb ⎥ = ⎢ Z ba
⎢V&c ⎥ ⎢ Z& ca
⎣ ⎦ ⎣
Z& ab
Z& bb
Z&
cb
Z& ac ⎤ ⎡ I&a ⎤ ⎡ Z& s
⎥⎢ ⎥ ⎢
Z& bc ⎥ ⎢ I&b ⎥ = ⎢ Z& m
Z& cc ⎥⎦ ⎢⎣ I&c ⎥⎦ ⎢⎣ Z& m
Z& m
Z& s
Z&
m
Z& m ⎤ ⎡ I&a ⎤
⎥⎢ ⎥
Z& m ⎥ ⎢ I&b ⎥
Z& s ⎥⎦ ⎢⎣ I&c ⎥⎦
– 対称座標表示
⎡V&0 ⎤ ⎡ Z& 00
⎢&⎥ ⎢&
⎢V1 ⎥ = ⎢ Z10
⎢V&2 ⎥ ⎢ Z& 20
⎣ ⎦ ⎣
Z& 01
Z&11
Z&
21
Z& 02 ⎤ ⎡ I&0 ⎤ ⎡ Z& s + 2 Z& m
⎥⎢ & ⎥ ⎢
&
Z12 ⎥ ⎢ I1 ⎥ = ⎢
0
Z& 22 ⎥⎦ ⎢⎣ I&2 ⎥⎦ ⎢⎣
0
0
Z& s − Z& m
0
不平衡な場合は→密になる
⎤ ⎡ I&0 ⎤
⎥⎢ & ⎥
0 ⎥ ⎢ I1 ⎥
Z& s − Z& m ⎥⎦ ⎢⎣ I&2 ⎥⎦
0
21
対称座標法
• 電力回路で用いる機器の対称座標表示
– 発電機
•
•
•
•
回路図
三相平衡な内部電圧源を持つ
三相平衡な内部インピーダンスを持つ
接地インピーダンス Z& n で中性点接地されている
⎡ E& a ⎤ ⎡V&n ⎤ ⎡V&a ⎤ ⎡ Z& s
⎢& ⎥ ⎢& ⎥ ⎢& ⎥ ⎢&
⎢ Eb ⎥ + ⎢Vn ⎥ − ⎢Vb ⎥ = ⎢ Z m
⎢ E& c ⎥ ⎢V&n ⎥ ⎢V&c ⎥ ⎢ Z& m
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
Z& m
Z& s
Z&
m
Z& m ⎤ ⎡ I&a ⎤
⎥⎢ ⎥
Z& m ⎥ ⎢ I&b ⎥
Z& s ⎥⎦ ⎢⎣ I&c ⎥⎦
22
対称座標法
– 発電機
• 内部起電力
⎧ E& a = E&
⎪&
2
⎨ Eb = α E&
⎪&
&
=
α
E
E
c
⎩
⎡ E& 0 ⎤
1 ⎤ ⎡ E& ⎤ ⎡ 0 ⎤
1 ⎤ ⎡ E& a ⎤
⎡1 1
⎡1 1
1⎢
⎢ & ⎥ 1⎢
⎢ E& ⎥
2 ⎥⎢ & ⎥
2 ⎥⎢ 2 & ⎥
α
α
α
α
α
E
E
E
=
1
=
=
1
⎢ 1⎥ 3 ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎥⎢ b ⎥ 3 ⎢
⎥⎢
2
2
& ⎥
⎢ E& 2 ⎥
⎢
⎢
⎥
⎢
α
α
α
α ⎥⎦ ⎢⎣ αE& ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
E
1
1
⎣
⎦⎣ c ⎦
⎣
⎣ ⎦
• 中性点電圧
V&n = Z& n (− I&a − I&b − I&c ) = Z& n (− 3I&0 )
• 出力電圧・電流
[V& V& V& ] ⇒ [V& V& V& ]
a b c
0 1 2
[I& I& I& ] ⇒ [I& I& I& ]
⎡ 0 ⎤ ⎡ Z& n I&0 ⎤ ⎡V&0 ⎤ ⎡ Z& 0
⎢ E& ⎥ − 3⎢ 0 ⎥ − ⎢V& ⎥ = ⎢ 0
⎥ ⎢ 1⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣V&2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
a b c
0
Z&
1
0
0 1 2
0 ⎤ ⎡ I&0 ⎤
⎥⎢ ⎥
0 ⎥ ⎢ I&1 ⎥ 零・正・逆相別の回路図
Z& 2 ⎥⎦ ⎢⎣ I&2 ⎥⎦
23
対称座標による故障計算
• 故障の種類
– 短絡故障
• 落雷，樹木接触等
–
–
–
–
–
一線地絡
二線地絡
三線地絡
二線短絡
三線短絡
– 断線故障
• 電線・ジャンパ線の切断，遮断器故障による接点
開放
– 一線断線
– 二線断線
24
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 一線地絡故障(1LG) 無負荷時
• 一相(a相)の端子を接地
• 故障条件 &
⎧⎪Va = 0
⎨&
⎪⎩ I b = I&c = 0 無負荷
– 故障条件の対称座標表示
V&a = V&0 + V&1 + V&2 = 0
I&b = I&0 + α 2 I&1 + αI&2 = 0
I&c = I&0 + αI&1 + α 2 I&2 = 0
但し
α = exp( j 23 π )
⎡V&a ⎤ ⎡1 1
1 ⎤ ⎡V&0 ⎤
⎢&⎥ ⎢
⎥ ⎢V& ⎥
2
=
V
1
α
α
b
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ 1 ⎥
⎢V&c ⎥ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢V&2 ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎡ I&a ⎤ ⎡1 1
1 ⎤ ⎡ I&0 ⎤
⎢& ⎥ ⎢
⎥ ⎢ I& ⎥
2
=
I
1
α
α
b
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ 1 ⎥
⎢ I&c ⎥ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢ I&2 ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
25
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 一線地絡故障(1LG) 無負荷時
• 発電機端子電圧電流の対称座標表示
⎧V&0 = − Z& 0 I&0
⎪& & & &
⎨V1 = E1 − Z1 I1
⎪&
& I&
=
−
V
Z
2
2 2
⎩
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
V& = V& + V& + V& = − Z& I& + E& − Z& I& − Z& I& = 0
a
0
1
2
0 0
⎧Z& 0 I&0 + Z&1 I&1 + Z& 2 I&2 = E&1
⎪&
2
⎨ I 0 + α I&1 + αI&2 = 0
⎪&
& + α 2 I& = 0
I
α
I
+
1
2
⎩ 0
1
1 1
2 2
解く
26
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 一線地絡故障(1LG) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
⎧⎪ Z&1 − α 2 Z& 0 I&1 + (Z& 2 − αZ& 0 )I&2 = E&1
⎨ &
⎪⎩(Z1 − αZ& 0 )I&1 + Z& 2 − α 2 Z& 0 I&2 = E&1
(
)
(
)
E&1
Z& 0 + Z&1 + Z& 2
E&1
&I =
2
Z& 0 + Z&1 + Z& 2
I&1 =
I&0 = −α I&1 − αI&2
2
(− α
=
対称分の
等価回路
)
− α E&1
E&1
=
&
&
&
Z 0 + Z1 + Z 2 Z& 0 + Z&1 + Z& 2
2
27
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 一線地絡故障(1LG) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
− Z& 0 E&1
Z& 0 + Z&1 + Z& 2
(
Z& 0 + Z& 2 )E&1
E&1
&
&
&
&
&
&
V1 = E1 − Z1 I1 = E1 − Z1
=
&
&
&
Z 0 + Z1 + Z 2 Z& 0 + Z&1 + Z& 2
− Z& 2 E&1
&
&
&
V2 = − Z 2 I 2 =
Z& 0 + Z&1 + Z& 2
V&0 = − Z& 0 I&0 =
• 相座標表示
– 故障電流 I&a = I&0 + I&1 + I&2 =
– 健全相電圧
V&b = V&0 + α 2V&1 + αV&2 =
3E&1
Z& 0 + Z&1 + Z& 2
(
)
(
)
&
& &
− Z& 0 E&1
α 2 − 1 Z& 0 + α 2 − α Z& 2 &
− Z& 2 E&1
2 (Z 0 + Z 2 )E1
+α
+α
=
E1
Z& 0 + Z&1 + Z& 2
Z& 0 + Z&1 + Z& 2
Z& 0 + Z&1 + Z& 2
Z& 0 + Z&1 + Z& 2
(
)
& E&
& + Z& )E&
& + α − α 2 Z&
& E&
(
)
−
Z
Z
Z
−
(
α
1
−
Z
2
0
1
0
2
1
0
2
1
282 E&1
+α
V&c = V&0 + αV&1 + α V&2 =
+α
=
Z& 0 + Z&1 + Z& 2
Z& 0 + Z&1 + Z& 2
Z& 0 + Z&1 + Z& 2
Z& 0 + Z&1 + Z& 2
2
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 二線地絡故障(2LG) 無負荷時
• 二相(bc相)の端子が接地
• 故障条件 &
⎧⎪Vb = V&c = 0
⎨&
⎪⎩ I a = 0
無負荷
– 故障条件の対称座標表示
⎧V&b = V&0 + α 2V&1 + αV&2 = 0
⎪&
2 &
&
&
α
α
V
V
V
V2 = 0
=
+
+
⎨ c
0
1
⎪&
& + I& + I& = 0
I
I
=
a
0
1
2
⎩
但し
α = exp( j 23 π )
⎡V&a ⎤ ⎡1 1
1 ⎤ ⎡V&0 ⎤
⎢&⎥ ⎢
⎥ ⎢V& ⎥
2
=
V
1
α
α
b
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ 1 ⎥
⎢V&c ⎥ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢V&2 ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎡ I&a ⎤ ⎡1 1
1 ⎤ ⎡ I&0 ⎤
⎢& ⎥ ⎢
⎥ ⎢ I& ⎥
2
=
I
1
α
α
b
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ 1 ⎥
⎢ I&c ⎥ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢ I&2 ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
29
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 二線地絡故障(2LG) 無負荷時
• 発電機端子電圧電流の対称座標表示
⎧V&0 = − Z& 0 I&0
⎪& & & &
⎨V1 = E1 − Z1 I1
⎪&
& I&
=
−
V
Z
2
2 2
⎩
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
⎧V&b = − Z& 0 I&0 + α 2 (E&1 − Z&1 I&1 ) − αZ& 2 I&2 = 0
⎪&
2
⎨Vc = − Z& 0 I&0 + α (E&1 − Z&1 I&1 ) − α Z& 2 I&2 = 0
⎪&
& + I& + I& = 0
I
I
=
a
0
1
2
⎩
解く
30
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 二線地絡故障(2LG) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
⎧Z& 0 I&0 + α 2 Z&1 I&1 + αZ& 2 I&2 = α 2 E&1
⎪& &
2 & &
&
&
&
+
+
=
α
α
α
Z
I
Z
I
Z
I
E
⎨ 0 0
1 1
2 2
1
⎪& & &
⎩ I 0 + I1 + I 2 = 0 Z& + Z&
0
2
I&1 =
E&1
Z& 0 Z&1 + Z&1Z& 2 + Z& 2 Z& 0
&
−
Z
0
I&2 =
E&1
Z& 0 Z&1 + Z&1Z& 2 + Z& 2 Z& 0
& − Z& + Z&
&
−
Z
−
Z
0
2
0
2
I&0 = − I&1 − I&2 =
E&1 =
E&1
Z& 0 Z&1 + Z&1Z& 2 + Z& 2 Z& 0
Z& 0 Z&1 + Z&1Z& 2 + Z& 2 Z&310
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 二線地絡故障(2LG) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
& Z&
Z
0 2
V&0 = − Z& 0 I&0 =
E&1
Z& Z& + Z& Z& + Z& Z&
0
1
1
2
2
0
& + Z&
& Z&
Z
Z
0 2
0
2
V&1 = E&1 − Z&1 I&1 = E&1 − Z&1
E&1 =
E&1
Z& 0 Z&1 + Z&1Z& 2 + Z& 2 Z& 0
Z& 0 Z&1 + Z&1Z& 2 + Z& 2 Z& 0
& Z&
Z
0 2
V&2 = − Z& 2 I&2 =
E&1
Z& 0 Z&1 + Z&1Z& 2 + Z& 2 Z& 0
V&0 = V&1 = V&2
より対称分の等価回路
32
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 二線地絡故障(2LG) 無負荷時
• 相座標表示
– 健全相電圧
Z& 0 Z& 2 + Z& 0 Z& 2 + Z& 0 Z& 2 &
3Z& 0 Z& 2
&
&
&
&
Va = V0 + V1 + V2 =
E1 =
E&1
Z& 0 Z&1 + Z&1Z& 2 + Z& 2 Z& 0
Z& 0 Z&1 + Z&1Z& 2 + Z& 2 Z& 0
– 故障電流
(
)
(
)
(
)
2
& + α 2 (Z& + Z& ) − αZ&
& + α 2 − 1 Z&
Z
−
Z
−
α
α
2
0
2
0
0
2 &
I&b = I&0 + α I&1 + αI&2 =
E&1 =
E1
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
Z 0 Z1 + Z1 Z 2 + Z 2 Z 0
Z 0 Z1 + Z1 Z 2 + Z 2 Z 0
2
2 &
2 &
&
&
&
&
&I = I& + αI& + α 2 I& = − Z 2 + α (Z 0 + Z 2 ) − α Z 0 E& = α − α Z 0 + (α − 1)Z 2 E&
0
1
2
1
c
1
Z& 0 Z&1 + Z&1Z& 2 + Z& 2 Z& 0
Z& 0 Z&1 + Z&1Z& 2 + Z& 2 Z& 0
33
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 二線短絡故障(2LS) 無負荷時
• 二相(bc相)の端子が短絡（接地はしない）
• 故障条件
⎧V&b = V&c
⎪&
無負荷
⎨I a = 0
⎪&
&
但し α = exp( j 23 π )
=
−
I
I
c
⎩ b
&
&
– 故障条件の対称座標表示
⎧V&b = V&0 + α 2V&1 + αV&2 = V&c = V&0 + αV&1 + α 2V&2
⎪&
⎨ I a = I&0 + I&1 + I&2 = 0
⎪&
& + α 2 I& + αI& = − I& = − I& − αI& − α 2 I&
I
I
=
0
1
2
c
0
1
2
⎩ b
⎡Va ⎤ ⎡1 1
1 ⎤ ⎡V0 ⎤
⎢&⎥ ⎢
⎥ ⎢V& ⎥
2
=
V
1
α
α
b
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ 1 ⎥
⎢V&c ⎥ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢V&2 ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎡ I&a ⎤ ⎡1 1
1 ⎤ ⎡ I&0 ⎤
⎢& ⎥ ⎢
⎥ ⎢ I& ⎥
2
=
I
1
α
α
b
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ 1 ⎥
⎢ I&c ⎥ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢ I&2 ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
34
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 二線短絡故障(2LS) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
V&0 + α 2V&1 + αV&2 = V&0 + αV&1 + α 2V&2
(α
(α
2
− α )V&1 + (α − α 2 )V&2 = 0
− α )(V&1 − V&2 ) = 0
V&1 = V&2
− I&1 − I&2 + α 2 I&1 + αI&2 = I&1 + I&2 − αI&1 − α 2 I&2
2 I& + 2 I& − (α + α 2 )I& − (α + α 2 )I& = 0
2
1
2
1
3I&1 + 3I&2 = 0
I& = − I&
1
2
2
35
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 二線短絡故障(2LS) 無負荷時
• 発電機端子電圧電流の対称座標表示
⎧V&0 = − Z& 0 I&0
⎪& & & &
⎨V1 = E1 − Z1 I1
⎪&
& I&
=
−
V
Z
2
2 2
⎩
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
V&1 = V&2
I& = − I&
1
2
E&1 − Z&1 I&1 = − Z& 2 I&2
E& − Z& I& = Z& I&
1
1 1
E&1
I2 = −
Z&1 + Z& 2
2 1
E&1
I1 =
Z&1 + Z& 2
36
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 二線短絡故障(2LS) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
I&1 = − I&2
I&0 + I&1 + I&2 = 0
I& = 0
0
V&0 = − Z& 0 I&0
V&0 = 0
V&1 = E&1 − Z&1 I&1 = E&1 − Z&1
V&2 = − Z& 2 I&2 =
対称分の等価回路
E&1
Z& 2 &
=
E1
&
&
&
&
Z 1 + Z 2 Z1 + Z 2
Z& 2 &
E1
&
&
Z1 + Z 2
V&1 = V&2
37
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 二線短絡故障(2LS) 無負荷時
• 相座標表示
– 健全相電圧
2 Z& 2 &
&
&
&
&
&
Va = V0 + V1 + V2 = 2V1 =
E1
&
&
Z1 + Z 2
– 故障相電圧
V&b = V&c = V&0 + α V&1 + αV&2
2
– 故障電流
(α
=
)
Z& 2 &
+ α Z& 2 &
E1 = −
E1
&
&
&
&
Z1 + Z 2
Z1 + Z 2
2
(
)
2
&
&I = I& = I& + α 2 I& + αI& = α − α E1
0
1
2
b
c
Z&1 + Z& 2
38
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 三線短絡故障(3LS)
• 三相(abc相)の端子が短絡（接地はしない）
• 故障条件
⎧⎪V&a = V&b = V&c
⎨& & &
⎪⎩ I a + I b + I c = 0 KCL
– 故障条件の対称座標表示
但し
α = exp( j 23 π )
⎡V&a ⎤ ⎡1 1
1 ⎤ ⎡V&0 ⎤
⎢&⎥ ⎢
⎥ ⎢V& ⎥
2
=
V
1
α
α
b
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ 1 ⎥
⎢V&c ⎥ ⎢⎣1 α α 2 ⎥⎦ ⎢V&2 ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎧V&a = V&b = V&c
⎪ & & &
2
2
⎪= V0 + V1 + V2 = V&0 + α V&1 + αV&2 = V&0 + αV&1 + α V&2⎡ I&a ⎤ ⎡1
⎨& & &
⎢& ⎥ ⎢
+
+
=
I
I
I
0
⎢ I b ⎥ = ⎢1
⎪ a b c
⎪= I& + I& + I& + I& + α 2 I& + αI& + I& + αI& + α 2 I& ⎢⎣ I&c ⎥⎦ ⎢⎣1
1
2
0
1
2
⎩ 0 1 2 0
1
α2
α
1 ⎤ ⎡ I&0 ⎤
⎢ ⎥
α ⎥⎥ ⎢ I&1 ⎥
α 2 ⎥⎦ ⎢⎣ I&2 ⎥⎦
39
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 三線短絡故障(3LS) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
V&0 + V&1 + V&2 = V&0 + α 2V&1 + αV&2
(1 − α )V& + (1 − α )V& = 0
(1 − α )[(1 + α )V& + V& ] = 0
1
2
1
2
1
V&1 = −
2
V&2
1+ α
V&0 + α 2V&1 + αV&2 = V&0 + αV&1 + α 2V&2
(α
(α
2
2
) (
)
− α )(V& − V& ) = 0
− α V&1 + α − α 2 V&2 = 0
V&1 = V&2
1
2
40
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 三線短絡故障(3LS) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
1 &
1 &
⎧&
&
V2 = −
V2
V2
⎪V1 = −
1+ α
1+ α
⎨
⎪V& = V&
2 +α
&
2
⎩ 1
V2
=0
1+ α
V&2 = 0
V&1 = V&2 = 0
I&0 + I&1 + I&2 + I&0 + α 2 I&1 + αI&2 + I&0 + αI&1 + α 2 I&2 = 0
3I& + 1 + α 2 + α I& + 1 + α + α 2 I& = 0
0
(
3I&0 = 0
I&0 = 0
) (
1
)
2
41
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 三線短絡故障(3LS) 無負荷時
• 発電機端子電圧電流の対称座標表示
⎧V&0 = − Z& 0 I&0
⎪& & & &
⎨V1 = E1 − Z1 I1
⎪&
& &
⎩V2 = − Z 2 I 2
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
&
V
I&2 = − 2 = 0
V&2 = − Z& 2 I&2
V&2 = 0
Z& 2
I&0 = 0
V&0 = − Z& 0 I&0 = 0
&
E
&
V1 = 0
V&1 = E&1 − Z&1 I&1
I&1 = 1
Z&
1
42
対称座標による故障計算
• 発電機近傍の故障
– 三線短絡故障(3LS) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
E&
&
対称分の等価回路
&
&
&
&
&
I
=
V0 = V1 = V2 = 0
I0 = I2 = 0
1
Z&
1
1
• 相座標表示
– 端子電圧
3LSも3LGも結果は同じ
⎧V&a = V&0 + V&1 + V&2 = 0
⎪&
2
⎨Vb = V&0 + α V&1 + αV&2 = 0
⎪&
2 &
&
&
⎩Vc = V0 + αV1 + α V2 = 0
– 端子電流
⎧ I&a = I&0 + I&1 + I&2 = E&&1
Z1
⎪
⎪&
2&
2 E&1
&
&
=
+
+
=
I
I
α
I
α
I
α
⎨ b
0
1
2
Z&1
⎪
E&
2
⎪⎩ I&c = I&0 + αI&1 + α I&2 = α Z&11
43

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