基礎数学ワークブック N o.7 「線形代数入門」 −5− < 行列式の性質 2 > ¡ 4 ¢ 2 つの列 (または行) が同じならばゼロ (i) (j) ¯ ¯ ¯ a11 · · · a1i · · · a1i · · · a1n ¯ ¯ ¯ ¯ .. .. .. .. ¯ ¯ . . . . ¯=0 ¯ ¯ ¯ an1 · · · ani · · · ani · · · a1n ¯ この行列を A とする。i 列と j 列を入れかえた行列を A0 とすると A = A0 。 (証明) 性質 3 より |A0 | = −|A| だから |A| = −|A|。よって |A| = 0 5 問 6 ¡ 一つの列 (または行) に他の列 (または行) の定数倍を加えても変わらない ¯ ¯ a ¯ 11 ¯ ¯ .. ¯ . ¯ ¯ ¯ an1 (i) (j) ··· a1i + ca1j .. . ··· a1j .. . ··· a1n .. . ··· ani + canj ··· anj ··· ann 5 を証明せよ。 ¡ (証明終) (i) ¯ ¯ ¯ ¯ a ¯ ¯ 11 ¯ ¯ ¯ ¯ .. ¯=¯ . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ an1 行と列を入れ替えても行列式の値は変わらない (j) ¢ ··· a1i .. . ··· a1j .. . ··· a1n .. . ··· ani ··· anj ··· ann ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¢ (証明の概略) 置換 σ の逆関数を τ = σ −1 とおくと ⎞ ⎛ σ=⎝ 1 2 ··· n ↓ ↓ ··· ↓ σ(1) σ(2) ··· σ(n) ⎠ のとき ⎛ τ =⎝ σ(1) σ(2) ··· σ(n) ↓ ↓ ··· ↓ 1 2 ··· n であり，σ(i) = j であれば τ (j) = i であるから © © ª ª 集合 aiσ(i) : i = 1, 2, · · · n = 集合 aτ (j)j : j = 1, 2, · · · n ⎞ ⎠ となる。よって n 個の積 a1σ(1) a2σ(2) · · · anσ(σ) = aτ (1)1 aτ (2)2 · · · aτ (n)n は等しい。さらに sgn(τ ) = sgn(σ −1 ) = sgn(σ) より左辺 = 右辺が証明される。
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