行列式の性質 2 >

基礎数学ワークブック N o.7 「線形代数入門」
−5−
< 行列式の性質 2 >
¡
4
¢
2 つの列 (または行) が同じならばゼロ
(i)
(j)
¯
¯
¯ a11 · · · a1i · · · a1i · · · a1n ¯
¯
¯
¯ ..
..
..
.. ¯
¯ .
.
.
. ¯=0
¯
¯
¯ an1 · · · ani · · · ani · · · a1n ¯
この行列を A とする。i 列と j 列を入れかえた行列を A0 とすると A = A0 。
(証明)
性質 3 より |A0 | = −|A| だから |A| = −|A|。よって |A| = 0
5
問
6
¡
一つの列 (または行) に他の列 (または行) の定数倍を加えても変わらない
¯
¯ a
¯ 11
¯
¯ ..
¯ .
¯
¯
¯ an1
(i)
(j)
···
a1i + ca1j
..
.
···
a1j
..
.
···
a1n
..
.
···
ani + canj
···
anj
···
ann
5 を証明せよ。
¡
(証明終)
(i)
¯ ¯
¯ ¯ a
¯ ¯ 11
¯ ¯
¯ ¯ ..
¯=¯ .
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯ an1
行と列を入れ替えても行列式の値は変わらない
(j)
¢
···
a1i
..
.
···
a1j
..
.
···
a1n
..
.
···
ani
···
anj
···
ann
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¢
(証明の概略)
置換 σ の逆関数を τ = σ −1 とおくと
⎞
⎛
σ=⎝
1
2
···
n
↓
↓
···
↓
σ(1)
σ(2)
···
σ(n)
⎠
のとき
⎛
τ =⎝
σ(1)
σ(2)
···
σ(n)
↓
↓
···
↓
1
2
···
n
であり，σ(i) = j であれば τ (j) = i であるから
©
©
ª
ª
集合 aiσ(i) : i = 1, 2, · · · n = 集合 aτ (j)j : j = 1, 2, · · · n
⎞
⎠
となる。よって n 個の積
a1σ(1) a2σ(2) · · · anσ(σ) = aτ (1)1 aτ (2)2 · · · aτ (n)n
は等しい。さらに sgn(τ ) = sgn(σ −1 ) = sgn(σ) より左辺 = 右辺が証明される。

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