応用固体力学メモ No. 12

04/07/13
応用固体力学メモ No. 12
1
断面諸量と座標の設定
• 図心を通るように xy 軸の原点を設定→断面一次モーメント=0
Sx =
A
ydxdy = 0,
Sy =
A
xdxdy = 0
(1)
• 慣性主軸と一致するように xy 軸を設定
Ixy =
A
xydxdy = 0
(2)
– XY 座標系：図心を原点とする任意の座標系、IX ：Y 軸回り断面二次モーメント、IY ：X 軸回
りの断面二次モーメント、IXY ：断面相乗モーメント
– 慣性主軸方向：断面相乗モーメントが 0 となる座標軸→行列
IX
IXY
IXY
IY
の固有ベクトル
– 主断面二次モーメント：慣性主軸方向の断面二次モーメント→上記行列の固有値
• そり関数は定数項不定→以下の条件により定数項を定める（正規化）
A
2
ϕdxdy = 0
(3)
Wagner ねじれの釣合式の変位表現
• 領域内の釣合式
n,z = EAW,zz = 0,
m
˜ z ,z = GJΘz ,zz +EIxϕ U,zzzz +EIyϕ V,zzzz −EIϕϕ Θz ,zzzz = 0
qx ,z = EIxx U,zzzz −EIxϕ Θz ,zzzz = 0,
(4)
qy ,z = −EIyy V,zzzz +EIyϕ Θz ,zzzz = 0
• 部材端における断面力（独立な関数：U, V, W, Θz ）
n = EAW,z ,
qx = EIxx U,zzz −EIxϕ Θz ,zzz ,
my = −EIxx U,zz +EIxϕ Θz ,zz ,
qy = −EIyy V,zzz +EIyϕ Θz ,zzz
mx = −EIyy V,zz +EIyϕ Θz ,zz
m
˜ z = GJΘz ,z +EIxϕ U,zzz +EIyϕ V,zzz −EIϕϕ Θz ,zzz ,
b = EIϕϕ Θz ,zz −EIxϕ U,zz −EIyϕ V,zz
• Ixx は y 軸回り、Iyy は x 軸回りの断面二次モーメントであることに注意
1
(5)
3
せん断中心を用いた Wagner ねじれの釣合式の変位表現
• せん断中心
xS = −
Iyϕ
,
Iyy
yS =
Ixϕ
Ixx
(6)
• 領域内の釣合式
U S = U − yS Θz ,
EAW,zz = 0,
V S = V + xS Θz ,
EIxx U,Szzzz = 0,
S
Iϕϕ
= Iϕϕ − x2S Iyy − yS2 Ixx
EIyy V,Szzzz = 0,
S
EIϕϕ
Θz ,zzzz −GJΘz ,zz = 0
(7)
(8)
• 部材端における境界力（独立な関数：U S , V S , W, Θz ）
n = EAW,z ,
qx = EIxx U,Szzz ,
my = −EIxx U,Szz ,
mx = −EIyy V,Szz
S
Θz ,zzz ,
m
˜ z = GJΘz ,z −EIϕϕ
4
qy = −EIyy V,Szzz
(9)
S
b = EIϕϕ
Θz ,zz
問題
1. 図 1 に示す断面を考える。XY 座標は図心を原点とする座標系であり、xy 座標は慣性主軸方向の座標
系である。
a2
˜ 座標値であることを示せ。
が断面の図心の X
2(a + b)
(b) 以下では a = b の場合を考える。断面二次モーメントと断面相乗モーメントは以下のように与え
(a) x0 =
られる。慣性主軸の方向と、各慣性主軸まわりの断面二次モーメントを求めよ。
IY =
ta3 (a + 4b)
,
12(a + b)
IX =
tb3 (4a + b)
,
12(a + b)
IXY = −
~
Y
ࡈ࡜ࡦࠫ 2
Y
y
b
x
X
ෘߐ t
a
ࡈ࡜ࡦࠫ 1
~
X
図 1: L 字型開断面
2
ta2 b2
4(a + b)
(c) フランジ 1 および 2 について、xy 座標系におけるそり関数 ϕ(x, y) が以下のように与えられるこ
とを確かめよ。ここで、C1 , C2 は定数である。
ϕ1 (x, y) = −
1
2
a
x+y+ √
2
(x − y) + C1 ,
ϕ2 (x, y) =
1
2
a
x−y+ √
2
√
(d) (x, y) = (−a/(2 2), 0) においてそり関数が連続であることと、正規化条件
C1 と C2 を求めよ。
(x + y) + C2
A
ϕdxdy = 0 から
(e) 断面のせん断中心を求めよ。ここで、以下の値を用いても良い。Iyy = ta3 /3、Ixx = ta3 /12
S
として以下のように与えられる。
2. ねじりモーメントの釣合式 (8)d の一般解は、k 2 = GJ/EIϕϕ
Θz (z) = C1 cosh kx + C2 sinh kx + C3 x + C4
¯ z を与えるときの Θz (z) を求めよ。
z = 0 でそりが拘束されており、z = でねじりモーメント M
（この時の境界条件は以下のように書ける。）
Θz (0) = Θz ,z (0) = b( ) = 0,
sinh x =
ex − e−x
,
2
¯z
m
˜ z( ) = M
cosh x =
3
ex + e−x
2

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