４ 流れと境界層 4-1 境界層の概念 ・境界層とは Re(レイノルズ数)が大きい流れにおいては、流れは乱流となり、大小様々の渦が絡み合っ て流れている状態となります。このような流れにおいては渦の作用によって流れがかき混ぜ られるため、様々な物理量の時間平均値は、測定位置が変わってもあまり変化しません。 例として円管内の流れを考えましょう。円管において、平均速度を代表速さとし、管の直 径を代表長さにとって求めたReが約3000以下であるとき、「Hagen-Poiseuille流れ」と称 される層流流れになります。第３章で求めたように、この流れはNS方程式の理論解を得る ことができ、流れ方向速度u(r)はｒの２次式の形になります。 これに対して、流れのReが3000を越える場合には、円管内の流れは乱流状態となりま す。このときの円管内部の速度を時間的に平均した量の半径方向分布を模式的に示したもの が図の実線です。乱れのため、管の中心付近の速度の分布はほぼ均一となります。一方、壁 面の近くで急激に速度が落ちて、壁面においては流速は０となっています。 1.4 turbulent laminar 1.2 u/U 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r/R 図 円管内の速度分布の例。実線は乱流の場合、点線は層流の場合。 そこで、速度分布がほぼ均一な部分を「主流部」、速度分布が急激に変化している領域を 「境界層」と名付けて別々に考えよう、という手法が1904年にPrandtl（プラントル）に よって提案されました。この考え方は非常に有用であり、広く使われるようになりました。 上では円管内部流れを例にとりましたが、平板や翼が流れの中に置かれている場合でも同 じように境界層領域を考えることができます。 図 翼の周りの速度分布の様子 ・座標系 上の図にｙ軸が描いてありますが、通常の座標系とはちょっと異なります。境界層につい て考えるとき、ｘ軸を主流の方向とし、ｙ軸は流体に触れいている固体壁面に垂直な方向と することがしばしばあります。主流に平行な速度をu(x,y)のように表します。 ・境界層の定義 主流の速さを記号Uで表すとき、時間平均速度が 0.99 U 以下であるような領域を境界層 と定義します。u(x,δ)=0.99U となるようなｙ軸の位置δを「境界層厚さ」と呼びます。 境界層は原則として下流に行くほど厚くなります。これを「境界層が発達する」と言い表 します。 ・境界層の種類 境界層の中の流れが層流状態である場合、これを層流境界層と呼びます。これに対して境 界層の中の流れが乱流状態である場合には、これを乱流境界層と呼びます。 ・主流について 主流領域では速度の時間平均値がほぼ一定です。このとき、主流の（時間平均）速度の分 布は、非粘性流あるいはポテンシャル流の速度の分布と同じになります。 このことを利用して、主流領域についてはポテンシャル流れと見なして解析することが可 能です。 ＊実際には渦が大量にある、乱れた流れであることに注意。 なお、内部流れにおいては、発達してきた境界層が厚くなり、流路の全てを境界層が占め てしまう場合があります。このときには主流が存在しないことになります。 ・境界層の始まり 境界層の最初はどこか？ ： よどみ点（通常は物体の先端） よどみ点においては流速＝０、かつ境界層厚さδ＝０と考えて良く、この位置から下流方 向へ境界層の発達が始まります。よどみ点付近では境界層の中の速度も遅く、境界層の中の 流れは層流です。境界層は最初は必ず層流境界層として始まります。そして、ある条件を満 たすと、乱流境界層へと遷移します。 ・境界層の終わり 下流側へ境界層は発達していくわけですが、物体の後ろの端（後縁）に来ると、そこで境 界層はおしまいです。しかし物体の下流側には、境界層の速度分布が影響を与え、「後流」 と呼ばれる流れを生じます。 別の終わり方もあります。主流は通常、壁面に沿って流れているのですが、ある条件の下 では、壁面に沿って流れることができず、壁面から離れていってしまうことがあります。こ のような現象を「はく離」separationと呼びます。 はく離の起きた下流側では、主流とは逆方向に向かう流れ（逆流）が見られます。 層流境界層がはく離することを「層流はく離」、乱流境界層がはく離する現象は「乱流は く離」と呼びます。 図 はく離している点付近の流線の例 ・境界層の様相 遷移とはく離が起きる条件は様々であるため、下流方向へ行くにつれて、境界層は流れの 条件によっていくつかの異なる様相を呈します。模式的に書くと、 1.層流境界層が始まる 2a. 乱流境界層へ遷移 2b. 物体の後縁に達する 2c. 層流剥離を生じる 3a. 物体の後縁に達する 3b.乱流剥離を生じる 4-2 境界層方程式 ・境界層方程式の導出 境界層の厚さδは、流れの代表長さLに比べると小さいのが普通です。このことを利用し て、境界層内部においてNS方程式を簡略化近似したものが、境界層方程式と呼ばれるもの です。現在では境界層・主流の区別をしないでNS方程式を直接解析するやり方もあります が、平板や流線形の物体の抗力を求めることができるなど、有用な点もまだまだあります。 流速Uの一様な流れの中に置かれた物体まわりの２次元定常流れを例にとり、境界層内部 におけるNS方程式の各項の大きさを評価することにします。流体の密度をρ、粘度をμと します。物体の壁面に垂直な方向をｙ軸にとります。ｘ軸は物体壁面に沿う方向とします。 代表長さＬはｘ方向の物体長さにとります。 境界層の中におけるオーダーを評価すると ∂u U ∂u U ∂2 u U ∂2 u U ∂v ∂u U ∼ , ∼ , ∼ 2 , ∼ 2, ∼ ∼ , 2 2 ∂x L ∂y d ∂x L ∂y d ∂x L ∂y U ∂v U U U L ∂2v U ∂2v = 2 v∼ d , ∼ 2d , 2∼ 3, 2∼ L ∂x L L ∂y Ld L d ∂x † † となることから、 † † † † † † † † † † † 2 2 ˘ È m ∂u ∂u m È U U L2 ˘ † (a) uについてのNS方程式の粘性項＝ Í 2 + ˙ ∼ Í 2 + 2 2 ˙ † † † † † † r Î∂x ∂y 2 ˚ r ÎL L d ˚ † 2 2 m È∂ v ∂ v ˘ m ÈU d U L˘ (b) vについてのNS方程式の粘性項＝ Í 2 + ∼ Í 2 + 2 ˙ 2˙ r ÎL L L d ˚ r Î∂x ∂y ˚ † U Ê d ˆU U2 U2 ∂u ∂u† + + v ∼ U + ÁU ˜ = (c) uについてのNS方程式の対流項＝ u L Ë L¯ d L L ∂x ∂y ∂v ∂v † u + v † ∼ (d) vについてのNS方程式の対流項＝ ∂x ∂y 2 2 Ud Ê d ˆ U U d †U d † U 2 + ÁU ˜ = + L Ë L¯ L L L L L u ∼U , となります。ここで、境界層が十分薄い、すなわちδ<<Ｌであると仮定すると、(a)>>(b),ま † た(c)>>(d)となりますので、NS方程式は † x方向： u 1 ∂p ∂u ∂u 1 ∂p m È ∂2 u ˘ +v =+ Í 2 ˙ y方向： 0 = r ∂y ∂x ∂y r ∂x r Î ∂y ˚ と、近似されます。これらの式を境界層方程式と呼びます。境界層内部では、粘性項と対流 項のオーダーが同じ程度であることが知られています。 † † ・境界層の特性値 境界層方程式を解けば、u(x,y)、v(x,y),p(x)を求めることができます。（このときの境界条 件はy=δにおいてu,v,pが主流の値と一致することとして与えられます。）しかし実際に、 uやvの詳細な情報まで必要なことはありません。流れの様相を知るためには、もっと少な い情報でも十分なことが多いです。 境界層の特性を表す数値として、よく用いられるものとその定義を下に示します。 １）境界層厚さ δ 定義： u(x,δ)= 0.99 U 主流から１％だけ速度が落ちるところが境界層の端です。δはxのみの関数ですが、δ(x) と書くのは面倒ですのでたいていの場合、単にδと書かれます。 ２）排除厚さ δ* d U -u U-u dy ª Ú dy 0 U U • * （定義式から Ud = Ú (U - u)dy が成り立っています。右辺は境界層の存在により、ポ 0 * Ú 定義： d = • 0 テンシャル流れから減少した流量に相当し、「流量欠損」と呼ばれます。これを厚みδ*を †用いて左辺のように換算したことになります。） 境界層の部分では流速が落ちています。もし、壁面まで流速が主流流速Uに等しいなら、 † 流量は実際よりも増えてしまうことになります。もし、壁面から排除厚さだけ離れた位置に 壁面があって、その（仮想的な）壁面までは流速がUに等しいとするなら、流量は実際と同 じ値となります。このような関係を満たすように決めたのが排除厚さです。 実際の物体壁面ではなく、排除厚さだけ厚くした物体を考えて、その壁面を境界とするポ テンシャル流れを解けば、正しい主流の流れを得ることができます。 ３）運動量厚さ θ u(U - u) dy 0 0 U2 • 2 （定義式の両辺にρを掛けて rU q = r Ú ( u(U - u))dy 。よって 0 定義： q = Ú • u(U - u) dy ª U2 Ú d •Ê u2 ˆ 2 r U q = r U u Á Ú 0 Ë U ˜¯dy 。式の右辺は境界層の存在によって生じた、単位時間あたりの † 運動量の減少（運動量欠損）で、これを厚みθを用いて左辺のように換算していることにな † ります） † ４）エネルギ厚さ θ* Ú * 定義： q = • 0 ５）形状係数 Ｈ 定義： H = † u(U 2 - u 2 ) dy ª U3 Ú d 0 u(U 2 - u 2 ) dy U3 d* q ・運動量方程式 È 2 ˘ † ２次元非圧縮・定常の境界層方程式 u ∂u + v ∂u = - 1 ∂p + m Í ∂ u ˙ ∂x ∂y r ∂x r Î ∂y 2 ˚ dU 1 dp ∂u =に、主流の方程式 U 、およびせん断応力の式 t = m を代入して得 dx r dx ∂y られる式 † ∂u ∂u dU m È ∂t ˘ u +v =U + Í ˙ ∂y dx r Î ∂y ˚ † ∂x † を、y=0からy=hまで積分します。積分上限のhは h>δ、またu(h)=Uであるとします。(cf. 教科書p.215) 最終的には † U2 dq dU t +U 2q + d * ) = 0 ( dx dx r が得られます。ただしτ0は壁面におけるせん断応力です。この式を、カルマンの運動量方 程式と呼びます。なお、この式は乱流境界層でも成立します。 4-3 境界層のはく離 壁面の上y=0では、付着条件によりu=0,v=0となることから、境界層方程式 u ∂u ∂u 1 ∂p m È ∂2 u ˘ +v =+ Í ˙ ∂x ∂y r ∂x r Î ∂y 2 ˚ は壁面では 0=- † 1 dp m È ∂2u ˘ + Í ˙ r dx r Î ∂y 2 ˚ となります。（ｐはｘのみの関数として偏微分を常微分に書き換えました。）この式と、主 流の方程式 U † dU 1 dp =dx r dx とから、圧力勾配の符号と壁面付近の速度との関係をを知ることができます。 ・ dp / dx < 0 のとき：（流れに沿って圧力が下がるとき） † ○主流は増速する： dU >0 dx 2 † ∂u ∂ u ∂2 u ○ 2 < 0 となることから u(y) , , の分布は下の図の左側のようになりま ∂y ∂y ∂y 2 す。このときには速度分布u(y)は常に上に凸であり、負値をとることはありません。 † ・ dp / dx > 0 のとき：（流れに沿って圧力が上がるとき） † † dU †0 ○主流は減速する： † < dx ∂u ∂2 u ∂2 u ○ 2 > 0 となることから u(y) , , の分布は下の図の右側のようになりま ∂y ∂y 2 ∂y † す。すなわち、速度に負の値を生じることがあります。 † † † † † 図：境界層内部の速度分布とその１階微分、２階微分 このように、はく離が生じるのは、 dp / dx > 0 の場合に限られています。しかし dp / dx > 0 になったらすぐにはく離が生じるわけではありません。下流へ行くに従って 徐々にu(y)の形が変化していき、あるところでdu/dy=0となります。このような点をはく離 † † 点と呼びます。そこから下流では、逆流が生じています。 乱流境界層では、境界層内部の乱れの渦によって運動量がｙ方向に交換され、速度場が均 一化される効果などがあるため、層流境界層よりもはく離が生じにくくなっています。 4-4平板における境界層流れ 実際に見られる境界層の内、平板に沿う境界層についてはかなり研究がなされています。 流れに平行に置かれた平板の周りの流れの場合には、主流はｘ方向にも変化せず、圧力勾配 も０となり、解析が比較的簡単です。もちろん、はく離も生じることはありません。 ・平板の層流境界層 層流境界層の場合には境界層方程式を解くことができます。(Blasiusによる解析)（cf. p.212) その結果、平板の層流境界層においては、主流の流速を U• として、 m x m x m x * , d (x) = 1.72 , q (x) = 0.664 r U• r U• r U• となります。境界層厚さはｘのルートに比例して厚くなることがわかります。 † d(x) = 5.0 さらに、これらの関係を利用すると、平板に働く抗力を求めることができます。平板の長 さがＬ，幅がbであったとすると、この平板の両面に働く摩擦抗力Ｄは † † L D = 2b Ú 0 t 0 (x)dx † で表せます。一方、カルマンの運動量方程式 U2 † dq dU t +U 2q + d * ) = 0 ( dx dx r dU = 0 （平板まわりなので）を用いると dx dq t 0 = rU 2 † dx 2 m L となることから、 D = 0.664 rU• となり、抗力係数は r U• D 1.328 1.328 † CD = = = 1 2 UL Re rU• / L 2 m/r † で † となります。 ・平板の乱流境界層 † 上の関係が成り立つのは境界層のレイノルズ数 Re(x) = U• x が小さいときです。 Re(x) m/r 5 がおよそ 3 ¥10 になる位置、平板の層流境界層は乱流境界層へ遷移します。このような遷 移の生じるレイノルズ数を「遷移レイノルズ数」あるいは「臨界レイノルズ数」と呼びま † 5 2 ¥10 から す。壁面の粗さや主流上流からの乱れの程度によって、この遷移レイノルズ数 † †6 ¥10 5 の範囲で変化します。 † 平板の乱流境界層を厳密に解くことは、ほぼ不可能であるので、現象をおおまかに押さえ † たモデルが用いられることが多いです。 「ｎ分の１乗則モデル」： 境界層内部の時間平均速度の分布を 1/n u Ê yˆ =Á ˜ U Ëd ¯ の形で近似します。レイノルズ数の範囲によってnは7,8,9等の値を設定します。このモデル では壁面でdu/dyが無限大になってしまい、壁面せん断応力を求めることができません。壁 面せん断応力については別途モデルが必要となります。 † 「対数速度分布」「プラントルの壁法則」：壁面近傍の流れを４つの層にわけてモデル化 * したものです。速度の次元をもつ「摩擦速度」と呼ばれる量 v = t 0 / r と、これを代表速 * * 度とするレイノルズ数 Re = v y を用いて４つの層を分類します。 m/r １）「粘性底層」:壁面に最も近い領域で、 Re*＜５の範囲を示します。この領域では流 † れは層流となっており、速度分布は † v* y u = v Re = v のようになります。 m/r * * * ２）「遷移層」 ：粘性底層の速度分布と、次の内層の速度分布とが連続的につながるよ うに変化している領域です。 ３）「内層」あるいは「壁法則層」：乱れの生成と消滅に一定の関係が成立していると考 † えられている層で、70＜Re* ＜1000の領域がこれにあたります。この領域での速度分布 は u = v * (2.5ln(Re* ) + 5.5) ４）「外層」：「内層」の速度分布と主流の速度分布とが連続的につながるように変化し ている領域です。 † §4-4 球，円柱の周りの流れ ○ ２次元円柱の抗力： 一様流れの中におかれた円柱の抗力係数の変化をを模式化すると，下のようになります． （正確な図については、著作権の関係がありますので、ここでは示しません．教科書を参照 してください。） A) Reの増加とともに抗力係数が小さくなる B) 抗力係数が約1.1でほぼ一定になる．このとき，剥離位置はθ=７８°付近． C) 抗力係数が急激に小さくなる．このレイノルズ数を臨界レイノルズ数と呼ぶ． D) 抗力係数が約0.7でほぼ一定になる．このとき，剥離位置はθ=103°付近． これを境界層から見ると， A) 双子渦からカルマン渦が発生（カルマン渦発生はRe>40）。層流境界層が剥離する． B）層流境界層の剥離位置の平均位置が，Reが変化してもほぼ一定となる． （ただしカルマン渦の発生に合わせて，剥離位置は非定常に動いている） 主流が一定のフローパターンとなり，円柱表面の圧力分布が変化しなくなる． C)層流境界層が一旦はく離するが，流れが再付着して，乱流境界層が発達し，θ=130°付 近で乱流剥離する．このため剥離域が最も小さくなり，抗力が減少する． D）層流境界層は乱流境界層へ遷移し，θ＝１０３°付近で乱流剥離する． 剥離位置がBよりも後ろ側なので，抗力としてはBよりも小さい． ＊このときの抗力は，摩擦抗力＋圧力抗力であるが，圧力抗力の成分がほとんどを占めてい る． ○ 球の周りの流れ 球の抗力係数も、円柱の場合に似た変化を示します。 円柱の場合と同様，臨界レイノルズ数が存在する． ○ゴルフボールにディンプル（凹み）がつけてある理由 前提：ゴルフボールが飛ぶ速度域においては，摩擦抗力より圧力抗力の方が，遥かに大き い． ディンプルがない場合：層流境界層がθの小さいところで剥離し，大きな圧力抗力を生じ る．摩擦抗力は，比較的小さい． ディンプルがある場合：ディンプルにより生じた乱れにより，層流境界層は乱流境界層へ遷 移し，（乱流境界層は剥離しにくいため）剥離点の位置がθの大きい方へ移動する．このた め，圧力抗力は小さくなる． ひきかえに摩擦抗力は増加するが，この増加量よりも圧力抗力の低下量の方が大きい． §4-5 境界層の中の構造と制御 トリッピングワイア ディンプル いずれも乱流境界層への遷移を促進する リブレット 乱流の縦渦を促進（？）し，摩擦抵抗を減らす 原理はまだ解明されていない ヨットなどで試されている． §4-6 後流、噴流
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