Lezione 4

Meccanica
2014-2015
Cinematica del punto
4
Cinematica del punto materiale
Moto armonico
Moto rettilineo, spostamento sinusoidale
Equazione del moto del tipo:
FASE [---]
x (t ) = A sin(ωP t + φ )
AMPIEZZA
[m]
x = sin(ω P t )
Pulsazione
[s-1]
A, ωP , φ = cost. (t0 = 0)
Fase iniziale
[---]
x
( A = 1, φ = 0)
ω pt
Funzione periodica,
periodo 2π
Cinematica del punto materiale
Moto armonico
Moto rettilineo, spostamento sinusoidale
Equazione del moto del tipo:
FASE [---]
x (t ) = A sin(ωP t + φ )
AMPIEZZA
[m]
Pulsazione
[s-1]
A, ωP , φ = cost. (t0 = 0)
Fase iniziale
[---]
Cinematica del punto materiale
Moto armonico
Moto rettilineo, spostamento sinusoidale
Equazione del moto del tipo:
FASE [---]
x (t ) = A sin(ωP t + φ )
AMPIEZZA
Pulsazione
[m]
Traiettoria
[s-1]
A, ωP , φ = cost. (t0 = 0)
Fase iniziale
[---]
−1 ≤ sin(ωPt + φ ) ≤ 1
x0 = A sin φ
−A
O
A
x
Posizione iniziale generica:
x (0) = A sin φ = x0
Note le costanti A e φ conosciamo x0
Se φ = kπ, k = 0, 1, 2… ⇒ x0 = 0
Moto armonico
Equazione del moto: x (t ) = A sin(ωP t + φ )
funzione periodica con periodo 2π
Il moto armonico è un “moto periodico”
La posizione si ripete
dopo ogni periodo T
Periodo del moto armonico
Consideriamo t1 ,t 2 per cui sia t 2 − t1 = T
Per definizione di periodo: x(t 2 ) = x(t1 )
“periodo”
La fase in t1 e t2
differisce di 2π
A sin(ωP t2 + φ ) = A sin(ωP t1 + φ )
(ωP t2 + φ ) − (ωP t1 + φ ) = 2π
ωP (t2 − t1 ) = 2π
2π Pulsazione: inversamente
2π
ω
=
T=
P
proporzionale al periodo
ωP
Frequenza:
1
ν
≡
inverso del periodo
T
T
ωP = 2πν
NB: pulsazione
(e quindi frequenza, periodo)
sono indipendenti dall’ampiezza!
Dall’equazione del moto ricaviamo andamento della velocità e dell’accelerazione
Cinematica del punto materiale
Moto armonico
Equazione del moto: x (t ) = A sin(ωP t + φ )
t=
t=0
T
2
t=T
dx(t )
= AωP cos(ωP t + φ )
dt
dv(t ) d 2 x(t )
Accelerazione: a (t ) =
=
dt
dt 2
= − AωP2 sin(ωP t + φ ) = −ωP2 x (t )
Velocità: v(t ) =
Assumiamo fase iniziale nulla (φ = 0)
x(t ) = A sin(ω p t )
v (t ) = AωP cos(ωP t )
a (t )
a (t ) = − AωP2 sin(ωP t )
3T
4
−A
Tt T/=20
T
4
O
A
x
0
T
4
T 3T
2 4
T
Cinematica del punto materiale
Moto armonico
Andamento armonico di x(t), v(t), a(t)
x (t ) = A sin(ωP t + φ )
v (t ) = AωP cos(ωP t + φ )
a (t ) = − AωP2 sin(ωP t + φ )
•Ampiezza di v(t) e a(t) dipende dalla pulsazione
• Le curve x(t), v(t), a(t) hanno lo stesso
andamento, “sfasate” tra loro:
π
sin(α + ) = cos α
2
sin(α + π ) = − sin α
v (t ) ∝ sin(ωP t + φ +
π
2
)
v(t) sfasata di π/2 rispetto a x(t)
(“quadratura di fase”)
a (t ) ∝ sin(ωP t + φ + π )
a(t) sfasata di π rispetto a x(t)
(“opposizione di fase”)
t=0
t=
T
2
t=T
Cinematica del punto materiale
Moto armonico
x (t ) = A sin(ωP t + φ )
v (t ) = AωP cos(ωP t + φ )
Condizioni iniziali vs. fase e ampiezza
Fissata ωP
da A e φ si ricavano x0 e v0
x0 = A sin φ
v0 = AωP cos φ
Viceversa: noti x0 e v0 si ricavano φ e A
x0
1
=
tan φ
v0 ω P
Per ricavare A utilizzo:
x02
v02
+ 2 2 =1
2
A ωP A
x0
tan φ = ω P
v0
 x0 
φ = arctan  ωP 
 v0 
sin 2 α + cos 2 α = 1
A =x +
2
2
0
v02
ω P2
Cinematica del punto materiale
Moto armonico
Equazione del moto: x (t ) = A sin(ωP t + φ )
Accelerazione: a (t ) = − AωP2 sin(ωP t + φ )
a (t ) = −ω x (t )
2
P
Accelerazione proporzionale allo
spostamento con costante di
proporzionalità negativa
Condizione necessaria e sufficiente perché x(t) descriva un moto armonico:
d 2 x (t )
2
+
ω
P x (t ) = 0
2
dt
TUTTE e SOLE le soluzioni (in campo reale): funzioni seno e coseno
NB: Si tratta di uno stesso tipo
di soluzione, con fase diversa: sin(α
Non solo applicazioni alla meccanica (
d 2 f ( z)
2
+
k
f ( z) = 0
2
dz
π
+ ) = cos α
2
oscillazioni elettriche, acustiche, …)
f ( z ) = A sin( kz + ϕ )
Oscillazione in funzione della variabile z con
periodo che dipende da k
Finora siamo partiti dalla legge
oraria x(t) per ricavare v(t), a(t)
x
Oppure viceversa
a
v=
dx
dt
a=
t
v = ∫ adt
t0
dv
dt
t
x = ∫ vdt
t0
Consideriamo ora una situazione in cui sia nota la funzione: a(v)
Trovare x(t) e v(t)
Moto rettilineo smorzato
k >0
a (v) = −kv
Assumiamo v > 0
Decelerazione (a < 0), proporzionale alla velocità
x0 = 0, t0 = 0, v0 > 0
Vogliamo trovare v(t)
dv
= −kv
dt
t
1
∫v0 v dv = −k ∫0 dt
v
= ln(v) v
0
= ln v − ln v0
v
dv
= −k dt
v
v
ln = −kt
v0
v
= exp(−kt )
v0
v(t ) = v0 e − kt
e = 2,71828
La velocità decresce esponenzialmente
Cinematica del punto materiale
Moto rettilineo smorzato
v(t ) = v0 e − kt
=0
t
x(t ) = x0 + ∫ v(t ) dt
Vogliamo trovare l’equazione del moto x(t)
0
t
x(t ) = v0 ∫ exp(−kt ) dt
0
t
 1
= v0  −  exp(−kt )
 k
0
v0
= − [exp(−kt ) − 1]
k
v
x(t ) = 0 (1 − e − kt )
k
x(t) tende asintoticamente a x = v0/k
Il punto si ferma in x = v0/k dopo un tempo
(teoricamente) infinito
v(t ) = v0 e
[s −1 ]
− kt
v0
v0 / k
O
Definiamo “costante di tempo”
x(t ) = v0τ [1 − exp(−t / τ )]
1
τ≡
k
x
[τ ] = s
Il tempo τ determina “quanto rapidamente” il moto viene smorzato
Cinematica del punto materiale
Moto rettilineo smorzato
Il tempo τ determina “quanto rapidamente” il moto viene smorzato
1
a (v ) = − v
τ
v(t ) = v0 e−t /τ
x(t ) = v0τ (1 − e − t /τ )
n
 1
numero di Eulero
e ≡ lim1 +  ≅ 2.72
costante di Nepero
n →∞
 n
Ogni volta che il tempo aumenta di un intervallo τ, la
funzione exp(-t/τ ) diminuisce di un fattore e = 2.72
v (t + τ ) exp [ −(t + τ ) / τ ]
=
=
v (t )
exp( −t / τ )
exp(−t / τ ) ⋅ exp(−τ / τ ) 1
= ≃ 0.37
=
e
exp(−t / τ )
τ piccolo
τ grande
0.37
smorzamento rapido
smorzamento lento
0.135
0.05
Cinematica del punto materiale
Velocità e accelerazione in funzione della posizione
Supponiamo di conoscere come dato di partenza la funzione
a = a(x)
Vogliamo trovare v(x)
La velocità in ogni istante t corrisponde a un certo valore della posizione x,
che a sua volta è funzione del tempo:
v(t ) = v[x(t )]
dv
dv dx
d
dv
= v
= v[x(t )] = ⋅
a=
dx
dx dt
dt
dt
Derivata di una funzione di funzione
Velocità
a ( x) dx = v dv
x
v
1 2 1 2
∫x0 a( x) dx = ∫v0 v dv = 2 v − 2 v0
v
1
= v2
2 v0
x
v ( x) = v + 2∫ a( x) dx
2
2
0
x0
Funzione nota
Cinematica del punto materiale
Velocità e accelerazione in funzione della posizione
x
v ( x) = v + 2∫ a( x) dx
2
2
0
x
v( x) = v + 2∫ a ( x) dx
2
0
x0
x0
Moto rettilineo uniforme
v( x) = v0
a=0
Moto uniformemente accelerato
a = cost.
x
2
2
v = v0 + 2a ∫ dx = v02 + 2a( x − x0 )
x0
v( x) = v02 + 2a( x − x0 )
Es.: Corpo in caduta libera con velocità iniziale verso il basso
x
− v1
h
O
a = −g
x0 = h
v0 = −v1
Velocità in ogni posizione x:
v( x) = v12 − 2 g ( x − h)
Velocità finale:
vc = v(0) = v12 + 2 gh

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