Problemi 2

Incontri Olimpici – Montecatini – Esercizi su geometria e numeri complessi
1. Un tizio trov`o in soffitta una vecchio documento di un pirata in cui era spiegato come trovare un tesoro. C’erano
scritte le istruzioni seguenti.
– Vai sull’isola X, parti dalla quercia e vai verso l’olmo, contando i passi.
– Poi gira a sinistra e fai lo stesso numero di passi fino a trovare il punto P1
– Torna alla quercia e vai verso il fico, contando i passi.
– Poi gira a destra e fai lo stesso numero di passi fino a trovare il punto P2
– Il tesoro `e nel punto medio fra P1 e P2 .
Il tizio arriva sull’isola X, vede il fico e l’olmo, ma la quercia era stata abbattuta. Per`o riusc`ı ugualmente a trovare
il tesoro. Come fece?
2. Consideriamo due triangoli equilateri ABC e A′ B ′ C ′ (lettere in senso antiorario). Prendiamo i punti medi L, M ,
N dei segmenti AA′ , BB ′ e CC ′ . Dimostrare che il triangolo LM N `e equilatero.
Supponiamo adesso che A e A′ siano coincidenti.
Dimostrare che i punti medi di AC, AB ′ e BC ′ sono vertici di un triangolo equilatero.
3. Dimostrare che il triangolo ABC `e equilatero se e solo se a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0.
4. In un triangolo equilatero ABC, si traccia una retta parallela ad AC che interseca AB in M e BC in P . Chiamiamo
D il baricentro di P M B ed E il punto medio di AP . Determinare le ampiezze degli angoli del triangolo DEC.
5. Consideriamo due triangoli equilateri OAB e OA′ B ′ (lettere in senso antiorario). Indichiamo con S il baricentro
del triangolo OAB e con M e N i punti medi dei segmenti A′ B e AB ′ . Mostrare che il triangolo SM B ′ `e simile
al triangolo SN A′ .
b = ACB
b + 90◦ e |AC| · |BD| =
6. Si sceglie un punto D all’interno di un triangolo scaleno ABC in modo che ADB
|AB| · |CD|
.
|AD| · |BC|. Determinare il valore di
|AC| · |BD|
Incontri Olimpici – Montecatini – Esercizi su geometria e numeri complessi
1. Un tizio trov`o in soffitta una vecchio documento di un pirata in cui era spiegato come trovare un tesoro. C’erano
scritte le istruzioni seguenti.
– Vai sull’isola X, parti dalla quercia e vai verso l’olmo, contando i passi.
– Poi gira a sinistra e fai lo stesso numero di passi fino a trovare il punto P1
– Torna alla quercia e vai verso il fico, contando i passi.
– Poi gira a destra e fai lo stesso numero di passi fino a trovare il punto P2
– Il tesoro `e nel punto medio fra P1 e P2 .
Il tizio arriva sull’isola X, vede il fico e l’olmo, ma la quercia era stata abbattuta. Per`o riusc`ı ugualmente a trovare
il tesoro. Come fece?
2. Consideriamo due triangoli equilateri ABC e A′ B ′ C ′ (lettere in senso antiorario). Prendiamo i punti medi L, M ,
N dei segmenti AA′ , BB ′ e CC ′ . Dimostrare che il triangolo LM N `e equilatero.
Supponiamo adesso che A e A′ siano coincidenti.
Dimostrare che i punti medi di AC, AB ′ e BC ′ sono vertici di un triangolo equilatero.
3. Dimostrare che il triangolo ABC `e equilatero se e solo se a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0.
4. In un triangolo equilatero ABC, si traccia una retta parallela ad AC che interseca AB in M e BC in P . Chiamiamo
D il baricentro di P M B ed E il punto medio di AP . Determinare le ampiezze degli angoli del triangolo DEC.
5. Consideriamo due triangoli equilateri OAB e OA′ B ′ (lettere in senso antiorario). Indichiamo con S il baricentro
del triangolo OAB e con M e N i punti medi dei segmenti A′ B e AB ′ . Mostrare che il triangolo SM B ′ `e simile
al triangolo SN A′ .
b = ACB
b + 90◦ e |AC| · |BD| =
6. Si sceglie un punto D all’interno di un triangolo scaleno ABC in modo che ADB
|AB| · |CD|
|AD| · |BC|. Determinare il valore di
.
|AC| · |BD|

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