triangoli isosceli e no

Teoremi sulle relazioni tra i segmenti congiungenti tre punti non allineati
Proposizione 1: gli angoli corrispondenti di due lati
congruenti di un triangolo (isoscele) sono a loro volta
congruenti
Ipotesi : 1) A,B,C / C  r  A, B  (1) [cioè A,B,C sono non
allineati, cioè i tre punti individuano un triangolo, oppure
ABC è un triangolo];
2) AB  AC [cioè il triangolo è isoscele].
Tesi : 1)    .
Dimostrazione (riferita alla figura di lato)
1)  (BAH)   (CAH) [costruzione di AH bisettrice
dell’angolo di vertice A];
2) tr(ABH)  tr(ACH) [primo criterio di congruenza:
AB  AC per ipotesi 2,  (BAH)   (CAH) per costruzione, AH in comune];
3)    (conseguenza del punto 2)).
4) AH è anche altezza relativa al terzo lato [infatti  (BAH)   (CAH)   ]
5) AH è anche mediana relativa al terzo lato [infatti BH  CH]
Nota: è possibile dimostrare che un triangolo in cui coincidono altezza e mediana o altezza e bisettrice relative ad
un lato, è un triangolo isoscele. Non è invece sempre vero che è isoscele un triangolo in cui coincidono mediana e
bisettrice relativi ad un lato.
Proposizione 2: [teorema inverso della proposizione1] i lati
corrispondenti di due angoli congruenti di un triangolo
sono a loro volta congruenti.
Ipotesi : 1) A,B,C / C  r  A, B  (1) [cioè A,B,C sono non
allineati, cioè i tre punti individuano un triangolo, oppure
ABC è un triangolo];
2)    .
Tesi : 1) AB  AC .
Dimostrazione (riferita alla figura di lato)
Procediamo per assurdo (dimostrazione indiretta)
1) sia, a titolo di esempio, AB  AC ;
2) sia ora AB  AD , dove AD è ottenuto prolungando il
lato AC;
3) tr(ABD) è isoscele, per cui
4)  '   ' , per la proposizione1;
5) C è interno all’angolo  ' , per cui
6)  '   ;
7) è vera quindi la catena di disuguaglianze
(1)
(2)
(3)
( 4)
 '     '  '
In cui (1) è vera per il primo teorema dell’angolo esterno nel tr(CBD); (2) è vera per l’ipotesi 2);
(3) è vera per la 6); (4) è vera per la 4).
8) segue, per la 7), che  '   ' . Conclusione assurda.
9) Analoghe considerazioni nel caso in cui AB  AC .
10) Tesi.
Osservazione
La strategia dimostrativa seguita nella dimostrazione della proposizione2 utilizza la tesi (vera)
della proposizione1 , di cui quella è l’inversa: per far ciò si costruisce, dopo la negazione, una
situazione in cui sono verificate le ipotesi della proposizione1, per una configurazione geometrica
diversa da quella prospettata nella tesi che si vuol dimostrare. Si tenta poi di dedurre un’assurdità
dipendente dalla sola negazione della tesi che si vuol dimostrare. Il tutto è facilitato dal fatto che
pantaprof/DiseguaglianzaTriangolare.doc/pagina 1 di 3
i due teoremi sono inversi uno dell’altro, che quindi immediatamente, negando la tesi e
potendola ricostruire in una diversa configurazione geometrica si perviene ad un’assurdità,
assurdità dimostrabile anche utilizzando la tesi della proposizione1 .
Importante
Considerazioni finali: le proposizioni 1 e 2 si coimplicano [cioè si dimostrano una dall’altra];
perciò dire che un triangolo ha due lati congruenti o dire che ha due angoli congruenti è la stessa
cosa, prescindendo dagli oggetti geometrici usati per classificare i triangoli in questione (lati congruenti - o angoli - congruenti anch’essi). Quindi si può definire triangolo isoscele o quello
che ha due lati congruenti, o quello che ha due angoli congruenti: le due affermazioni sono
equivalenti, infatti rappresentano o identificano lo stesso insieme di oggetti geometrici.
Proposizione 3: in un triangolo con due lati disuguali in un
certo verso anche gli angoli corrispondenti lo sono e nello
stesso verso.
Ipotesi : 1) A,B,C / C  r  A, B  [cioè A,B,C sono non
allineati, cioè i tre punti individuano un triangolo, oppure
ABC è un triangolo];
2) AB  AD .
Tesi : 1)    .
Dimostrazione (riferita alla figura di lato)
1) AC  AB , con C AD per costruzione e ipotesi 2);
2)  '   ' , per la proposizione1, infatti tr(ABC) è isoscele;
3)  '   , per il 1° teorema dell’angolo esterno al tr(BCD);
4)    ' , poiché C  AD e quindi  ' è interno a  ;
5)    , per 4), 2) e 3).
Proposizione 4: [teorema inverso della proposizione3] in un
triangolo con due angoli disuguali in un certo verso anche
i lati corrispondenti lo sono e nello stesso verso.
Ipotesi : 1) A,B,C / C  r  A, B  [cioè A,B,C sono non
allineati, cioè i tre punti individuano un triangolo, oppure
ABC è un triangolo];
2)    .
Tesi : 1) AB  AD .
Dimostrazione (riferita alla figura di lato)
Procediamo per assurdo (dimostrazione indiretta)
1) AB  AD (1° caso della dimostrazione indiretta);
2)    per la proposizione1 (contrasta con l’ipotesi 2)
3) AB  AD (2° caso della dimostrazione indiretta);
4)    per la proposizione3 (contrasta con l’ipotesi 2);
5) Tesi 1.
Proposizione 5: [disuguaglianza triangolare] in un qualsiasi
triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due e
maggiore della loro differenza.
Ipotesi : 1) A,B,C / C  r  A, B  [cioè A,B,C sono non allineati,
cioè i tre punti individuano un triangolo, oppure ABC è un
triangolo];
Tesi : 1) AB  CB  AC (2)
2) AB  CB Ө AC (2)
Dimostrazione
1) BD / DC  AC , costruzione di CD;
2)    per la proposizione1;
3)          , per il punto 2);
pantaprof/DiseguaglianzaTriangolare.doc/pagina 2 di 3
4) AB  BD  CB  DC , per la proposizione4 ;
5) CB  DC  CB  AC , per il punto 1);
6) AB  CB  AC , per 4) e 5). [Tesi 1].
7) BC  AB  AC (dimostrazione analoga alla precedente)
8) BC Ө AC  AB  AC Ө AC , per il punto 7);
9) BC Ө AC  AB , per il punto 8). [Tesi 2].
Proposizione 6: Un triangolo in cui la mediana e l’altezza
relative ad un lato coincidono è isoscele sugli altri due
lati.
Ipotesi : 1) A,B,C / C  r  A, B  (1) [cioè A,B,C sono non
allineati, cioè i tre punti individuano un triangolo, oppure
ABC è un triangolo];
2)   AHC     AHB  (AH è altezza);
3) BH  CH (AH è mediana di BC).
Tesi : 1) AB  AC [cioè il triangolo è isoscele]
Dimostrazione
1) tr (ABH)  tr (ACH) (1° criterio di congruenza);
2) Tesi (conseguenza di 1)).
Proposizione 7: Un triangolo in cui la bisettrice e l’altezza
relative ad un lato coincidono è isoscele sugli altri due
lati.
Ipotesi : 1) A,B,C / C  r  A, B  (1) [cioè A,B,C sono non
allineati, cioè i tre punti individuano un triangolo, oppure
ABC è un triangolo];
2)   AHC     AHB  (AH è altezza);
3)   BAH     CAH  (AH è bisettrice di  (BAC)).
Tesi : 1) AB  AC [cioè il triangolo è isoscele]
Dimostrazione
1) tr (ABH)  tr (ACH) (2° criterio di congruenza);
2) Tesi (conseguenza di 1)).
OSSERVAZIONE
Un triangolo in cui la bisettrice e la mediana relative ad un lato coincidono non è detto che sia
isoscele sugli altri due lati. Esistono quindi triangoli non isosceli in cui mediana e bisettrice
coincidono (oppure, detto in altro modo, esistono triangoli con mediana e bisettrice coincidenti
che non sono isosceli)(4).
Note
(1)
(2)
(3)
(4)
La scrittura simbolica C  r  A, B  sta per “Il punto C non appartiene alla retta r individuata dai punti A e
B”. r  A, B  sta per “retta che passa per i punti A e B”.
 e Ө indicano le operazioni di addizione e sottrazione tra segmenti, non le analoghe usuali operazioni tra
numeri.
 (ABC) sta per “angolo di vertice B e lati BA e BC”.
Utilizzando la geometria analitica (algebrica) è possibile dimostrarne l’esistenza, fornendo anche una
condizione analitica (algebrica) per individuarli tutti.
pantaprof/DiseguaglianzaTriangolare.doc/pagina 3 di 3

Download Report