SULLA CHIUSURA DEI SISTEMI ORTONORMALI
.
DI FUNZIONI
Nota di FRANCESCO G. TRICOMI, Torino (Italia)
Dedicata al Prof. Dr. Beppo Levi nel suo 80Q compleanno
1. - La v·erÍfica che un oerto sistema ortonormale {CPn} di
lunzioni, sia pure di una sola variabile x, e chiuso (e quincli anche completo) non e' sempre cosa agevole. Pertanto fu molto
.appr.ezzata, dai non molti che ne presero conü¡scenza, Uíla Nota
del 1921 di G. Vi tal i (1), che riduoeva tale verifica aquella
·del fatto che una certa, ben determinata se'rie di funzioni, avesse
una data somma. Precisamente la condizione neoessaiia esuffi'Ciente affincheil sistemá{CPn}' ortoriorma1e nell' intervallo
(a, b), foss·e chiuso, risultava essere il verificarsi dell'identit<l
E
~(~)=~-a-n~JJ CPn(X)dXf=O,
,
(a<~
<
by.
a
Tuttavia anche la condizione di Vitali non e sempre fl'irnme.diata verifica e, per esempio, nel caso del sistema trigonometrico:
1
1
11
1
- , ,e cos x, ,/- sin x, ,/--.:.. cos 2 x, ,/- sin 2 x,.;.,
J/ 21t r 1t
r 1t
r 1t
r 1t
·ortonormale nell'intervallo (0,2 1t), bisogna, in sostanza, far
(') G. VITALI, S,!/Zla condizioni di chiusura di un sistema di funzioni orto.gonali, Rend. R. Acc. Naz. Lincei (5) 30, 498-501 (1921).
-300-
vedere che
co
cos n~
1[2
1[
~2
n-l
n2
6
2
4
Z;--=---~+-,
cio che e, certo, elementare ma non facilissimo. Conseguentemente mi pare molto notevole (e mi sorprende che ~on sia da tutti
conosciuta) la semplificazione apportata nel 1945 dal D a l z e 11 (2),
che ridusse la verifica a quella del fatto che una ·certaserie di
costanti abbia una determinata somma. Per 'esempio, nel caso
del sistema trigonometrico, applicando i1 criterio di Dalzell, tutto
si riduce a far vedere che sussiste la classica formula
co
Z;
n-2 = 1[2/6 .
. n-l
La presente br,eve Nota si propone di richiamare l'attenzione
sulle precedenti condizioni di chiusura, mostrando anche come
esse possano agevolmente generalizzarsi con l'introdurr,e certe funzioniarbitrarie, che possono far talora comoc1o. In particolar,e nel
n. 4 faro v;edere come la condizione di Vitali cosi generalizzata
formsce una via, che mi sembra fra le piu semplici,. per dimostrare la completezza dei polinomi di Laguerre.
2. - Cominciando dalla condizione di Vitali, per ottenere
l'accennata generalizzazione, non c'e che da ricordar,e (3) come la
(1) non sia altro che l'equazione di Parseval per la generica funzione del sistema JS¡; (x)} essendo
,c¡;(x) =
J 1,
10,
(per
a <x<~)
(per
~
< x < b) ;
sistema che comprende in se (limit.andosi a consideral'e i soli
valori razionali di ~) un classico sistema (non ortogonale) completo di funzioni.
(")
D. P. DALZELL, On the oompletness of a series of norma:l orthogonal'
funotions, J .. London Math. Soe. 20, 87-93 (1945).
(3) Ved. p. es. le mie reeentissime VO¡'lesungen iiber Orthogonalreihen.
(Grundlehren d. math. Wissenschaften, Bd. 76, Springer~Verlag, 1955) § 1. 11-
-301-
lnvero, considerato che nuIla cambia di sostanziale se, in
luogo del sistema JSI;(x)}, si considera il sistema Jsi;ex) g(x)} ,
dove g(x) El una qualunque funzione a quadrato sommabile in
(a, b); la (1) potra rimpiazzarsi con la nuova condizione nece3saria e sufficiente
E .
E
a
a
=
,1'(~) Jg2(x) dx - ,~Jfg(x) CPn(x) dx
(2)
f=o.
Piu generalmente ancora se, iny.ece di considerar,e ortonor. malitil semplice, si considera ortonormalita rispetto ad una certa
tunzione-pes~ p(x), si ha corrispondentemente
,1~(~)'
(3)
E
E
a
a
Jp(x) g2(x) dx- n~JJ p(x) g(x) CPn(x) dx f=o.
3. - La semplificazione di Dalzell discende dall'osservazione
che, comunque, El sempre 6. (~) > O, ció che permette di sostituire
aUa condizione 6. (~) O l' altra che sia zero il suo int'egrate
pr,eso fra i limiti a e b.
L' osservazione si puo estendere aUa funzione 6. *(~) che compare nella (3), tenendo conto che
=
E
p(x) g(x)CPn(x) dx
J
a
e il generico coefficiente di F ourier della funzione g(x) sI; (x)
rispetto al sistema {CPn} ortonormale in (a, b) rispetto alla funzione-peso p( x). lnv,ero la disuguaglianza di Hessel permette
allora di asserire che
1~1
E
[J p(x)g(x) CPn(x) dx ] <
2
,a
E
b
fp( x) g~( x)
S1;2( x)
dx = p( x) g2( x) dx,
a
cio che equivale appunto a dir,e che
f
q
a
6. *(~) > o.
-302-
Conseguentemente, detta q(x) una qualsiasi funzione sempre
positiva in (a, b) e tale che il prodotto q(~) 1 *(~) risulti iritegrabile; tanto vale asserire che la funziolle Ll*(~), che e con"""
tinua (4), e identicamente zero, quanto asserire che
b
Jq(~) Ll*(~) d~=O.
(4)
a
Questa e, in sostanza, la condizione generalizzata di Dalzell
che volevasi qui stabiliI'>e. Essa assume la ·sua forma definitiva
osservando che -per un ben noto teor·ema di Dinisull'uniforme
convergenza di una serie di furizioni non negative avente pero
somma una funzione continua- l'integrazione della serie che
compare in !J. *(~) si puo eseguire termine a termine, ottenendo
cosi la nuova condizione necessaria e sufficiente di chiusura:
b
(5)
E
Jq(~) d~ fp(x) g2(X) dx=
a
a
b
~J q(~)
a
E
[f p(x) g(~) Cfn(X) dx
a
r
d~,
che per p == q ~ 9 =::; 1 si riduce a quella di Dalzell.
4. - Come appHcazione della (2) con g( x) 'CCj=-l dimostriamo
che i polinomi di Laguerre Ln(rJ.) ( x) o, meglio, le corrispondenti
funzioni normalizzate:
(a,>-l; n=0,1,2,
o •• ) ,
formano, rispetto alla funzione peso
un sistema ortonormale chiuso nell'intervallo fondamentale (0,00).
(4) Per la dimostrazione (nel caso di !J., ma il caso di
tamente analogo) v. p. es. TrucON! op. cit. (3) p. 30.
!J. * é perfet-
-303-
Assumendo all'uopo g(x) =eX e tenendo conto che, per una
nota formula sui polinomi di Laguerre, e
E
x G Ln(a)(x) dx =
I
1·
~a+1 Ln(a+1)(~)
a+n+1
'
o
tutto e ridotto a dimostrare che
cioe che
(6)
avendo fatto uso della notazione 11 per la funzione gamma incompleta «con espolIlenziale positiVü» (5). Ma, salvo le div,erse
notazioni, la (6) non e altrü che uno sviluppo ottenuto nel 1936
da E r d é 1Yi (6) generalizzando uno precedente dello scrivente;
quindi la chilisura dei polinomi di Laguerre puo considerarsi
come un'immediata conseguenza dello sviluppo in parola (7).
(") TRICOMI, Funzioni ipergeometriche confluenti (Roma, Cremonese, 1954)
Cap. IV.
(6) A. ERDÉLYI, Bulla generalizzazione di una formula di Tricomi, Rend.
R. Acc. Naz. Lincei (6) 29, 347·350 (1936). V. pure Sitzungsber. AIrad. d.
Wiss. zu Wien TI", Bd. 147, 5~3·520 (19,38), formo (3) a p. 514.
,
(1) Per altre dimostrazioni V. op. cit. (") § 6.5 e G. SANSONE (e G. VITAL!)
Model'na teoria d. funz. di varo reald Pte. II (3" Ed. Bologna, Zanichelli (1952)
pp. 351·383.
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