Il montaggio

8
Piastre ortotrope
L’acciaio ed il calcestruzzo hanno un comportamento isotropo, anche se, nelle
strutture in cemento armato, le armature possono introdurre un certo grado di
anistropia. Esistono tuttavia diversi materiali per i quali non si pu`
o usare il modello di comportamento isotropo; tra questi in particolare si notano i materiali fibrosi,
sia naturali, come il legno, sia artificiali, come le resine fibro-rinforzate, che hanno un comportamento spiccatamente anisotropo o, pi`
u precisamente, ortotropo¶.
Nelle piastre tuttavia una frequente causa di ortotropia `
e data dalla diversa geomeria della piastra secondo due direzioni ortogonali, come nel caso rappresentato
in Fig. 31. In questo caso, pur essendo il materiale isotropo, il comportamento globale della piastra pu`
o essere assimilato a quello di una a sezione piena di
spessore uniforme, ma realizzata con un materiale di natura anisotropa.
¶I
materiali ortotropi si caratterizzano per il fatto di possedere tre piani di simmetria ortogonali.
In direzione ortogonale a ciascun piano il comportamento `
e simmetrico (cio`
e non cambia se si
esegue una rotazione di 180 gradi intorno ad uno degli assi di un riferimento che ha questi come
piani coordinati). Nei materiali fibrosi una direzione di ortotropia `
e determinata da quella delle
fibre, mentre le altre sono ortogonali a questa.
8.1
Legge costitutiva dei materiali ortotropi
Per un materiale iperelastico ortotropo, la relazione tra tensioni e deformazioni
ha la forma:
⎡
⎤
⎡
⎤⎡
⎤
εx
G11 G12 G13 0
0
0
σx
⎢
⎥ ⎢
⎥⎢
⎥
⎢ εy ⎥ ⎢G12 G22 G23
0
0
0 ⎥ ⎢ σy ⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥⎢
⎥
⎢ εz ⎥ ⎢G13 G23 G33
⎥ ⎢ σz ⎥
0
0
0
⎢
⎥ ⎢
⎥⎢
⎥
⎢γ ⎥ = ⎢ 0
⎥
⎢
0 ⎥ ⎢τ yz ⎥
0
0 G44 0
⎢ yz ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥⎢
0
0
0 G55 0 ⎦ ⎣τ xz ⎥
⎣γ xz ⎦ ⎣ 0
⎦
γ xy
0
0
0
0
0 G66 τ xy
(98)
Nel caso delle piastre, essendo per ipotesi σ z = 0, e γ xz = γ yz = 0, la relazione
costitutiva si pu`
o ridurre alle sole tre componenti, sia della tensione sia della
deformazione, contenute nel piano x, y e l’equazione precedente diviene
⎡
⎤
⎡
1
εx
⎢ Ex
⎢ ⎥
⎢ −ν
⎣εy ⎦ = ⎢ yx
⎣ Ex
γ
0
−ν xy
Ey
1
Ey
0
⎤
0 ⎡σ x⎤
⎥
⎥⎢ ⎥
⎣σ y ⎦
0⎥
⎦
τ
1
G
(99)
dove, per la simmetria della matrice (99):
ν yx
ν xy
=
Ey
Ex
(100)
Per le tensioni piane di un materiale ortotropo si hanno cinque costanti elastiche
(Ex, Ey , ν xy , ν yx e G) ma solo quattro sono indipendenti, in virt`
u della (100).
Invertendo la (99) si ottiene la legge costitutiva tra deformazioni e tensioni:
⎡
In altra forma
⎤
⎡
Ex
σx
⎢ 1−ν xy ν yx
⎢ ⎥
⎢
⎣σ y ⎦ = ⎢ ν yxEy
⎣ 1−ν xy ν yx
τ
0
ν xy Ex
1−ν xy ν yx
Ey
1−ν xy ν yx
0
⎤
⎡
⎤
0 ⎥ εx
⎥⎢ ⎥
⎣εy ⎦
0⎥
⎦
γ
G
Ex
σx =
(εx + ν xy εy )
1 − ν xy ν yx
Ey
σy =
(εy + ν yxεx)
1 − ν xy ν yx
τ = Gγ
(101)
(102a)
(102b)
(102c)
Poich´
e anche la (101) `
e simmetrica, si ha
ν xy Ex
ν yxEy
=
1 − ν xy ν yx
1 − ν xy ν yx
(103)
come segue immediatamente dalla (100).
8.2
Equazione delle piastre ortotrope
Sostituendo le (11) nelle (102) si ottiene:
Ã
∂ 2w
∂ 2w
!
−Ex
+ ν xy 2 z
2
1 − ν xy ν yx ∂x
∂y
Ã
!
2
2
−Ey
∂ w
∂ w
+ ν yx 2 z
σy =
2
1 − ν xy ν yx ∂y
∂x
∂ 2w
τ = −2G
z
∂x∂y
σx =
(104a)
(104b)
(104c)
Quindi, sostituendo queste ultime nelle (2), si ottengono le risultanti delle sollecitazioni in funzione delle derivate di w:
Z h/2
Ã
Z h/2
Ã
−Ex
σ xzdz =
mx =
1 − ν xy ν yx
−h/2
−Ey
my =
σ y zdz =
1 − ν xy ν yx
−h/2
∂ 2w
∂ 2w
∂ 2w
∂ 2w
!
h3
+ ν xy 2
=
2
∂x
∂y
12
Ã
!
2
2
∂ w
∂ w
+ ν xy 2 (105a)
− Dx
∂x2
∂y
!
h3
+ ν yx 2
=
2
∂y
∂x
12
Ã
!
2
2
∂ w
∂ w
+ ν yx 2 (105b)
− Dy
2
∂y
∂x
Z h/2
∂ 2w h3
∂ 2w
mxy =
τ zdz = −2G
= −C
(105c)
∂x∂y 12
∂x∂y
−h/2
in cui le costanti di rigidezza Dx, Dy e C dipendono dalle costanti elastiche Ex,
Ey , ν xy , ν yx e G mediante le relazioni
Exh3
Dx =
12 (1 − ν xy ν yx)
Ey h3
Dy =
12 (1 − ν xy ν yx)
Gh3
C=
6
(106)
Ovviamente se Ex = Ey = E, ν xy = ν yx = ν e G = E/2 (1 + ν), le (105)
coincidono con le (16), valide per i materiali isotropi.
Sostituendo le (105) nella equazione di equilibrio (5) risulta:
Dx
Ã
∂ 4w
∂x4
+ ν xy
∂ 4w
∂x2∂y 2
!
+ 2C
∂ 4w
∂x2∂y 2
+ Dy
Ã
∂ 4w
∂y 4
+ ν yx
∂ 4w
∂y 2∂x2
!
= p (107)
Tenendo presente che, per le (103), Dxν xy = Dy ν yx, la precedente si semplifica
nella
∂ 4w
∂ 4w
∂ 4w
(108)
Dx 4 + Dy 4 + 2 (C + ν xy Dx) 2 2 = p
∂x
∂y
∂x ∂y
che si pu`
o riscrivere
∂ 4w
∂ 4w
∂ 4w
Dx 4 + 2H 2 2 + Dy 4 = p
∂x
∂x ∂y
∂y
(109)
H = C + ν xy Dx = C + ν yxDy
(110)
in cui
8.3
Ortotropia geometrica
Quando l’ortotropia dipende dalla natura del materiale le costanti Dx, Dy e H
si determinano a partire dalle caratteristiche del materiale, che possono essere
misurate sperimentalmente mediante apposite prove. Quando, al contrario, il
materiale `
e isotropo e l’anisotropia dipende dalla diversa geometria di due sezioni
ortogonali della piastra, come nel caso mostrato in Fig. 31, le relazioni costitutive
sono ancora quelle del materiale elastico espresse dalle (15), ma nel calcolo della
risultante si dovr`
a tener conto delle specifiche caratteristiche geometriche della
piastra.
Per una piastra come quella in Fig. 31, simmetrica rispetto al piano medio, le
relazioni cinematiche (11) sono ancora valide. Tuttavia il contributo alla tensione
2
normale σ y del termine legato alla contrazione ortogonale ν ∂∂xw2 si manifesta solo
all’interno dello spessore h della piastra, non negli irrigidimenti. Tenendo conto
di ci`
o, applicando le (15), si avr`
a dunque
mx =
Z h/2
−E
´
σ xzdA = ³
−h/2
1 − ν2
−Eh3
³
´
2
12 1 − ν
my =
12 1 − ν 2
∙
µ
b
´ h3 1 −
s
¶
∂ 2w
∂ 2w
+ν 2
∂x2
∂y
∂ 2w
∂x2
1
−E
´
σ y zdA = ³
sy Ax
s 1 − ν2
−E
³
Z
Ã
Ã
+ν
"Ã
∂ 2w
∂y 2
∂ 2w
!
!Z
−h/2
= −Dx
∂ 2w
+ν 2
2
∂y
∂x
¸
b 3 ∂ 2w
+ h1
−
s
∂y 2
h/2
z 2dz =
Ã
∂ 2w
∂x2
! Z
h/2
s
−h/2
+ν
∂ 2w
∂y 2
z 2dz + 2
νEh3 ∂ 2w
³
´
+ = −Dy
2
2
∂x
12 1 − ν
Ã
!
(111a)
Z h /2
1
∂ 2w
∂y
b
2
h/2
∂ 2w
z 2dz
Dx ∂ 2w
−ν
∂y 2
Dy ∂x2
!
(111b)
Per il momento torcente, trascurando il contributo degli irrigidimenti, si pu`
o
#
assumere
Z h/2
Z
E
∂ 2w h/2 2
τ xy zdz = −
z dz =
mxy = mxy =
(1 + ν) ∂x∂y h/2
−h/2
Eh3
∂ 2w
∂ 2w
−
= −Dx (1 − ν)
(111c)
12 (1 + ν) ∂x∂y
∂x∂y
Sostituendo le (111) nella (5) si ha
Dx
Ã
∂ 4w
∂ 4w
!
∂ 4w
∂ 4w
∂ 4w
+ ν 2 2 + 2Dx (1 − ν) 2 2 + Dy 4 + νDx 2 2 = p
∂x4
∂x ∂y
∂x ∂y
∂y
∂y ∂x
(112)
ovvero
∂ 4w
∂ 4w
∂ 4w
Dx 4 + 2Dx 2 2 + Dy 4 = p
∂x
∂x ∂y
∂y
dove
Dx =
Eh3
³
12 1 − ν 2
´
(
Dy = Dx 1 +
b
s
"µ
¶
h1 3
h
(113)
#)
−1
(114)
La (113) coincide con la (109) se si pone
H = Dx
(115)
I coeﬃcienti di un materiale ortotropo che dia luogo a caratteristiche equivalenti
a quelle della piastra irrigidita si ottengono confrontando le (111) con le (105), e
si trova che
(
¶
h1 3
#)
Dx
h
Dy
(116)
Inoltre, poch´
e C = H − ν xy Dx, tenendo conto delle (106) e della (115) risulta
Ex = E
ν xy = ν
Ey = E
Dy
b
=E 1+
Dx
s
"µ
−1
6Dx
E
6
G = 3 (H − νDx) = 3 (1 − ν) =
h
h
2 (1 + ν)
ν yx = ν
(117)
Un caso pi`
u complesso `
e quello illustrato in Fig. 32, che rappresenta una piastra
irrigidita in modo asimmetrico rispetto al piano medio. Il problema `
e complicato
dal fatto che i baricentri delle due sezioni ortogonali non giacciono pi`
u sullo stesso
x
h h1
y
z
b
s
Figura 31: Piastra irrigidita simmetricamente
x
h
y
h1
z
b
s
Figura 32: Piastra irrigidita in modo asimmetrico.
piano. Una formulazione approssimata si pu`
o ancora ottenere rappresentando
la piastra come ortotropa. Con tale approssimazione, se si assume ν = 0, si
ottengono i seguenti valori per i coeﬃcienti della piastra[1]:
Dx =
½
Eh3
∙
´3¸¾
12 1 − sb 1 − hh
1
³
EJ
Dy =
s
Eh3 Kt
H=C=
+
12
s
(118)
e
in cui J `
e il momento d’inerzia della sezione a T (tratteggiata in Fig. 32) e Kt `
la rigidezza torsionale di un irrigidimento. Per il modello di materiale equivalente,
avendo posto ν = 0, si avr`
a ν xy = ν yx = 0 e quindi
E
∙
Ex = ½
³ ´3¸¾
1 − sb 1 − hh
1
12J
Ey = E 3
sh
µ
6C
E
12Kt
G= 3 =
1+ 3
h
2
sh E
¶
(119)

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