Bonus Renzi, una norma che funziona

1 BIRDCAGE RF COIL
Scegliamo il rifermento in modo che la corrente n–esima sia in
rn = (R cos n∆φ, R sin n∆φ)
con
∆φ =
2π
N
essendo R il raggio del birdcage coil.
Cominciamo ad analizzare la struttura supponendo assenza di mutua induttanza tra le
varie sezioni della struttura. Il circuito equivalente `e allora quello di Fig. 2, in cui
1
Zs (ω) = j ω L −
Zp = jω M
(1)
ωC
Dai principi di Kirchhof segue poi1
Vn = (In − In+1 ) Zp (ω)
Vn = Vn+1 + In+1 Zs (ω)
(2)
Per la simmetria della struttura, la corrente e la tensione debbono essere costanti con
φ, oppure variare in maniera regolare. Deve cio`e essere
VN
=
V0
V1
V0
N
e analogamente per la corrente. Ma, d’altra parte, VN = V0 (sono la stessa sezione) per cui il
rapporto tra tensioni (e correnti) di due strutture successive deve essere pari a una delle radici
complesse dell’unit`a:
Vn+1
2π
= Vn exp jm
N
ovvero
2πn
Vn = V0 exp jm
N
e In+1
2π
= In exp jm
N
2πn
e In = I0 exp jm
N
m = 0, 1, . . . , N − 1
(3)
m, n = 0, 1, . . . , N − 1
(4)
La (3) mostra che sono possibili esattamente N configurazioni di tensioni e correnti.
Dalle (3) segue anche
πm i
m 2π h
2π
−2j sin
In − In+1 = In 1 − exp jm
= In exp j
N
2 N
N
1
(5)
A parte i valori di Zs e Zp , l’analisi che viene sviluppata si pu´
o applicare anche a strutture
low–pass e band–pass.
1
e sostituendo nelle (2) si ha
πm i
m 2π h
Zp (ω)
−2j sin
Vn = In exp j
2 N
N
2π
2π
Vn = Vn exp jm
+ In exp jm
Zs (ω)
N
N
La seconda relazione fornisce
2π
2π
Vn − Vn exp jm
= In exp jm
Zs (ω)
N
N
πm i
2π
m 2π h
= In exp jm
−2j sin
Vn exp j
Zs (ω)
2 N
N
N
(6)
e sostituendo Vn dalla prima delle (6) si ottiene
m 2π
In exp j
2 N
h
−2j sin
πm i
N
πm i
m 2π h
Zp (ω) exp j
−2j sin
2 N
N
2π
= In exp jm
Zs (ω)
N
Poich`e In 6= 0, segue allora la condizione di risonanza
h
πm i2
Zp (ω) = Zs (ω)
N
Per una struttura passa–alto, le impedenza sono date dalle (1). Si ottiene cos`ı
1
2 πm
−4 sin
jω M = j ω L −
N
ωC
πm i
h
1
M
= ω L + 4 sin2
ωC
N
ovvero le varie frequenza di risonanza
comprese tra
ωm = r
−2j sin
1
C
h
L + 4 sin
ωN/2 = p
2
πm N
M
1
C [L + 4M ]
m = 0, 1, . . . , N − 1
i
e
ω0 = √
(7)
(8)
(9)
1
C L
Il campo pu`
o essere ottenuto dalla legge di Biot–Savart. Tuttavia, in prima approssimazione, il campo al centro della struttura pu`
o essere calcolato come campo di N fili indefiniti.
Si trova allora
H=
N
−1
X
n=0
In
iϕ
2πR n
(10)
in cui i versori iϕn sono ortogonali ai rispettivi vettori posizione rn . Quindi iϕn = sin n∆φ ix −
cos n∆φ iy . Sostituendo nella (10) assieme alla corrente data da (4) segue
2
N −1
2πn
I0 X
exp jm
sin n∆φ ix − cos n∆φ iy
H=
2πR n=0
N
N −1
I0 X jmn∆φ ejn∆φ − e−jn∆φ
ejn∆φ + e−jn∆φ
=
ix −
iy
e
2πR n=0
2j
2
avendo usato le formule di Eulero.
Raggruppando i termini segue
I0
H=−
2πR
"N −1
X
j(m+1)n∆φ
e
(jix + iy ) +
N
−1
X
j(m−1)n∆φ
e
#
(−jix + iy )
n=0
n=0
La prima somma ´e pari a N se m + 1 = 0. Per tutti gli altri valori di m la somma ´e
nulla in quanto ´e la somma di N numeri complessi di modulo unitario, e con le fasi equispaziate.
Rappresentandoli sul piano di Gauss, si trovano equispaziati sul cerchio unitario, e quindi la loro
somma (che coincide con il loro baricentro, moltiplicato per N ) ´e nulla. Analogamente vale per
la seconda somma, che ´e diversa da zero, e pari a N , solo per m − 1 = 0.
Pertanto i soli modi di interesse sono quelli per cui m = 1, oppure m = N − 1 (i valori
di m sono periodici di periodo N ), che garantiscono un campo costante nella zona di interesse.
In particolare, per m = 1 si ha
B = jµ0
N I0
(ix + jiy )
2πR
(11)
che nel dominio del tempo diventa
B(t) = BRF cos ωL t ix − sin ωL t iy
con
BRF = µ0
N |I0 |
2πR
2 EFFETTO DELLA MUTUA INDUTTANZA
L’analisi svolta sin qui ha trascurato l’effetto di mutua induttanza tra i leg della struttura. Il loro effetto ´e quello di aggiungere una ulteriore caduta di tensione sui leg, e quindi la
prima delle (2) diventa
Vn = (In − In+1 ) Zp (ω) + V Mn
dove, dette Mij le mutue induttanze tra i leg i e j, risulta
X
V Mn = jω
Mnp (Ip − Ip+1 )
p6=n
essendo Ip − Ip+1 la corrente nel leg p–esimo. Se indichiamo con Mnn la auto–induttanza (finora
indicata con M ), la prima delle (2) diventa
3
Vn = jω
N
−1
X
p=0
Mnp (Ip − Ip+1 ) = jω
N
−1
X
p=0
= 2ω sin
m 2π
Mnp Ip exp j
2 N
πm N
m 2π
exp j
2 N
h
−2j sin
NX
−1
πm i
N
Mnp Ip
p=0
avendo usato anche la (5). La geometria periodica fa si che Mnp dipenda solo dalla differenza
n − p: Mnp = Mn−p,0 . Usando poi la (4) si ottiene
N
−1
X
Mnp Ip =
p=0
N
−1
X
p=0
= I0
2πm
Mn−p,0 I0 exp jp
N
n−N
X+1
2πm
exp j(n − q)
N
Mq,0
q=n
2πm
= I0 exp jn
N
n−(N −1)
X
Mq,0
q=n
2πm
exp −jq
N
sono
La sommatoria va da q = n fino a q = n − (N − 1). Ma sia Mq,0 , sia exp −jq 2πm
N
periodiche in q di periodo N . Quindi la sommatoria pu´
o essere fatta da q = 0 fino a q = N − 1,
e pertanto l’ultimo termine ´e la trasformata (discreta) di Fourier della sequenza delle mutue
induttanze. Posto cio´e
ˆm =
M
N
−1
X
Mq,0
q=0
segue
N
−1
X
p=0
e la prima delle (2) diventa
Vn = 2ω sin
2πm
exp −jq
N
2πm ˆ
Mnp Ip = I0 exp jn
Mm
N
πm N
m 2π
exp j
2 N
a cui va aggiunta la seconda delle (2), che diventa
2πm ˆ
Mm
I0 exp jn
N
πm i
2πn
2π
m 2π h
= I0 exp jm
−2j sin
exp jm
Zs (ω)
Vn exp j
2 N
N
N
N
Sosttuendo una nell’altra, ed eliminando termini comuni, segue
2ω sin
πm N
m 2π
exp j
2 N
ˆm
M
πm i
m 2π h
−2j sin
exp j
2 N
N
2π
Zs (ω)
= exp jm
N
4
(12)
ovvero, ricordando l’espressione di Zs
2
−4jω sin
πm 1
ˆ
Mm = j ω L −
ωC
πm ˆm
M
N
(13)
che ´e la nuova equazione di risonanza cercata. Confrontando la (13) con la (8) si trovano come
frequenze di risonanza
ωm = r
1
C
h
L + 4 sin
2
m = 0, 1, . . . , N − 1
i
(14)
N
Ancora una volta interessa la frequenza corrispondente a m = 1 (oppure a m = N − 1).
Tuttavia, al contrario della (0), questa frequenza non ´e necessariamente la penultima. Anzi, in
genere, risulta essere la terzultima.
APPENDICE 1:
INDUTTANZA
ESPRESSIONI
DI
INDUTTANZA
E
MUTUA
I valori di auto–induttanza L e mutua induttanza Mij di fili sono espressi da integrali1 ,
che vanno risolti numericamente. Tuttavia, sono state sviluppate diverse espressioni empiriche
semplici, che sono di largo utilizzo. Per quanto riguarda l’auto–induttanza di un filo di raggio a
e lunghezza ℓ, si ha2
µ0
2ℓ
L=
−1 ℓ
(15)
log
2π
a
in cui, qui e nel seguito, il logaritmo `e in base e.
Per una sbarra quadrata, di lato w, si ha analogamente
2ℓ 1
µ0
+
log
ℓ
(16)
L=
2π
w
2
Per due fili paralleli, entrambi lunghi ℓ, posti a distanza d, si ha invece
 

 s
s
2
2

ℓ
d
µ0
ℓ
− 1+ ℓ
log  + 1 +
ℓ
(17)
+
Mij =
2π 
d
d
d
ℓ
1
Si veda, ad esempio, J. Jin, Electromagnetic Analisys and Design of MRI, CRC Press, sez. 2.8
e appendice 2D.
2
Questa e le espressioni successive sono tratte da F.W. Grover, Inductance Calculation, Dover.
5

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