DODICI PROBLEMI MATEMATICI ANCORA - Sito

DODICI
PROBLEMI MATEMATICI ANCORA
IRRISOLTI
(I NOSTRI CONTRIBUTI E OSSERVAZIONISU CINQUE DI ESSI)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
Abstract
In this paper we show “ twelve mathematical problems” (by Ian
Stewart, recent book “ The Great Mathematical Problems –Marvels
and Mysteries of Mathematics” © 2013 Joat Enterprises) with our
some proposal of proofs and contributes about five of them
Riassunto
In questo lavoro riepilogativo, divulgativo e anche di ricerca (con i
nostri contributi), parliamo dei dodici problemi matematici ancora
irrisolti (a parte i sei Problemi del Millennio) ed esposti nel recente
libro di Ian Stewart “I grandi problemi della matematica” (Einaudi) ,
Rif. 1 (nostra recensione)
°°°°°°°°°°°°°°°°
Per i dodici problemi non ancora risolti, rimandiamo al capitolo
diciassettesimo del volume di Ian Stewart , e proseguiamo con i nostri
1
Riferimenti finali nel caso che li avessimo già trattati sul nostro sito, e
qualche osservazione nel caso di eventuali e recenti nuovi risultati
ricercati appositamente per questo lavoro, al fine di rendere più
completa la panoramica su questi dieci problemi , sebbene
limitatamente a soli cinque di essi, i più abbordabili dalle nostre
competenze e capacità matematiche di semplici dilettanti.
Riferimenti a precedenti lavori, nuovi e recenti contributi,
eventuali osservazioni, nell’ordine in cui i dodici
problemi sono riportati da Ian Stewart nel diciassettesimo
capitolo del suo libro.
1) Il problema di Brocard
(Rif.2)
Osservazioni
Le sette soluzioni note sono ovviamente del tipo n^2 -1, mentre la
forma n^2 +1 è quella dei numeri di Landau, anche questa da noi
trattata in Rif. 3. La forma n^2 -1 interessata al problema di Brocard,
2
(quando n è un numero fattoriale, e quindi n! -1) è connessa ai numeri
gemelli: se n è un multiplo di 36 -1, e quindi n = 36k -1, è in generale
un prodotto di due numeri a e b che differiscono di 2 unità, e quindi
spesso anche di due numeri primi gemelli, e quindi i numeri n^2 +1
sono facilissimi da fattorizzare: basta sottrarre e aggiungere 1 alla sua
radice quadrata ed avere p e q primi e gemelli.
Per es. 120 = 5! È il prodotto 120=10*12, Se aggiungiamo 1 abbiamo
121, con √121 = 11, . Per l’algoritmo di fattorizzazione alla Fermat, ci
basta calcolare 11-1 = 10 e 11+1= 12 e la fattorizzazione è fatta. Per
questo sconsigliamo l’uso di enormi numeri gemelli per costruire
numeri RSA da usare nella omonima crittografia . Infatti, se
prendiamo 36*4 =144, con √144 =12, abbiamo p = 12-1 = 11 e 12 +1 =
13, , con prodotto 11*13 =143 = 144 -1 = 36*4-1, e con 11 e 13 numeri
gemelli. Per prodotti tra due gemelli enormi = numeri RSA di
centinaia di cifre , la faccenda è identica al nostro esempio di 143. Per
fare un altro esempio 7! +1 = 5041 = 71^2, e 5041 -1 = 5040 = 70*72,
numeri composti con differenza 2 anche se composti e non primi
gemelli, la costante è in ogni caso la differenza 2 nei fattori di n^2 -1
2) Numeri perfetti dispari (Rif. 4)
3
Osservazioni.
In questo lavoro dimostriamo l’inesistenza dei numeri perfetti dispari
basandoci sul noto concetto matematico di “abbondanza”Ma anche
perché tutti i numeri perfetti pari hanno forma (tranne il 6 iniziale)
6k-2 , che riportiamo qui sotto, da Rif. 4):
“Una nostra scoperta è la forma 6k-2 di tutti i numeri perfetti ad
eccezione del numero perfetto iniziale 6, poiché di forma 6k, per k
= 1, poiché 6*1 = 6.
Infatti:
6*5-2 = 28
6*83 -2 = 496
... ...
E così via. La nostra dimostrazione è la seguente:
Poiché essendo il prodotto (2^n*2^(n+1 ) di una potenza dispari di
2 per una potenza pari di 2 , ed essendo le potenze p
ari di forma 6k-2 (per esempio 4=2^2 =6-2, 16 =2^4=18-2 ecc.) e
le potenze dispari di forma 6k +2, per es. 8 =2^3 =6 + 2, 32=2^5=
30 + 2, abbiamo che (6k+2) * (6k’-2) = 36k*k’ -26k +26k’ -2 =
6k’’- 2, essendo la somma dei tre termini precedenti un multiplo
k’’ di 6)
Esempio, per 28 = 4*7 = (6 -2)* (6+2 -1) = 48 – 6 -12-2 = 28
3) La congettura di Collatz (Rif. 5)
Osservazioni.
In questa dimostrazione (Rif. 5) aggiungiamo un’estensione alla forma
4n+5 connessa alle potenze di 3 e quindi con sequenza finale
3
4
...9, 3, 1 , mentre nella versione classica la connessione era con le
potenze pari di 2 , e quindi con sequenza finale ...4, 2. 1
Sarebbero possibili altre estensioni connesse a potenze di numeri k
ancora più grandi, come 4, 5, 6 ecc. ma in tal caso i relativi numeri di
Collatz sarebbero sempre più distanziati tra loro, e quindi il relativo
ciclo numerico diventa sempre più lungo prima di incontrarne uno e
quindi collassate verso la relativa sequenza finale . Conclusione: nella
versione classica, 3n +1 , i numeri di Collatz ( di forma 4^k -1 )sono i
2
3
più frequenti sulla retta numerica e quindi i suoi cicli sono i meno
lunghi possibili, con qualche eccezione riportata nel libro: per n = 27,
la sequenza sale fino a 9.232, anche se poi arriva a 1 in 111 passi. Ciò
significa che al passo precedente, il 112°, si trova un numero di Collatz,
dal qual inizia sempre la discesa continua verso la sequenza finale
...4, 2, 1 . Lo stesso accadrebbe in tutte le estensioni possibili, uno per
ogni potenza di k , Nella versione classica k=2, nella nostra
estensione k = 3, ed i numeri k sono infiniti. Quindi, infinite possibili
estensioni della congettura di Collatz, con infiniti numeri di Collatz
per ognuna di esse, e infinite sequenze, mediamente sempre più
5
lunghe al crescere di k.
4) Esistenza di parallelepipedi perfetti
Nessun riferimento diretto a nostri lavori precedenti
Osservazione
Abbiamo però un lavoro basato sulle terne pitagoriche dove, invece di
costruire quadrati sui tre lati del triangolo rettangolo, costruiamo cubi
(il problema riguarda invece i parallelepipedi perfetti, i nostri cubi
potrebbero essere un caso particolare e più semplice del medesimo. Si
dimostrerebbe più semplicemente anche in questo modo l’ultimo
Teorema di Fermat, già dimostrato da Wiles ricorrendo ai più
complicati risultati basati sulle curve ellittiche.
Il nostro suddetto lavoro sui tre cubi costruiti sui tre lati del triangolo
equilatero (Rif. 8 è reperibile sul sito http://www.atuttoportale.it,
sezione Articoli, sottosezione Matematica, al quali rimandiamo i
ricercatori che volessero collegare questo lavoro al problema dei
parallelepipedi perfetti, trovando una qualche connessione che per il
momento ci sfugge. Così scrive Stewart, a pag. 287:
“Eulero trovò formule per i suoi mattoni, analoghe alla formula per le
terne pitagoriche, che non danno tutte le possibili soluzioni.”
6
Per cui pensiamo che una qualche ancora oscura connessione tra
terne pitagoriche, teorema di Pitagora, il nostro lavoro sui cubi e
ipercubi e il problema dei parallelepipedi perfetti potrebbe esserci, e
potrebbe portare in qualche modo alla sua soluzione.
5) La congettura del corridore solitario
Nessun riferimento nessuna osservazione
6) La congettura di Conwuay sui trhackle.
Nessun riferimento nessuna osservazione
7) Irrazionalità della costante di Eulero – Mascheroni
Nessun riferimento a nostri diretti lavori precedenti
Osservazione
La costante di Eulero - Mascheroni è coinvolta, insieme al noto
concetto matematico di abbondanza σ(n), nella ipotesi RH
equivalente chiamata RH1. Su tale ipotesi equivalente RH1 abbiamo
invece pubblicato due lavori, proponendo una sua dimostrazione
basate sulla costante di Eulero Mascheroni, l’abbondanza σ(n) , i
numeri abbondanti colossali e i fattoriali . Dimostriamo che hn
cresce più veloce dell’abbondanza, e quindi L(n) = hn - σ(n) cresce
7
sempre non diminuendo mai ne tanto meno tocca il valore zero, o un
valore negativo, contro esempi della RH1. Vedi Rif. 6, un lavoro
riepilogativo, con la RH1 al secondo capitolo e anche al Rif. 7 .
La costante di Eulero - Mascheroni è connessa alla formula di Hn o
serie armonica
Hn = 1 + ½ + 1/3 + ¼+ 1/5 +... 1/n tramite l’approssimazione : al
crescere di n, Hn tende a ln n + γ
8) Campi quadratici reali
Nessun riferimento
Osservazione con nostro possibile piccolo contributo
Osservazione
Abbiamo notato una similitudine iniziale tra la serie di numeri :
2 3 5 6 11 13 14 17 19 21 22 23 29 31 33 37 38 41 ....
Con la serie dei numeri di partizione:
1 1 2 3 5
7 11
15
22
30
42 ....
Come possiamo vedere, i numeri in rosso 2, 3, 5, 11 e 22 coincidono
nelle due serie, mentre i numeri di partizione in colore marrone 7, 15,
8
30 e 42 sono immediatamente successivi ai numeri della prima serie
6, 14, 29 e 41. Insomma nove numeri (rossi + marrone) di
partizione su diciotto numeri iniziali connessi ai campi quadratici
esattamente la metà, non considerando le due unità iniziali nei numeri
di partizione.
Questo farebbe sospettare una sia pur debole correlazione tra i
numeri iniziali riguardanti i campi quadratici e i numeri di
partizione. Proponiamo ai matematici eventualmente interessati
questa nostra osservazione, per approfondire tale eventuale
correlazione iniziale tra le due serie numeriche che però sembra finire
qui, perché non si verifica più così bene nei numeri successivi di
entrambe le serie.
Ricordiamo che la serie numerica delle partizioni è la seguente:
Piccolo contributo per il problema dei campi quadratici reali
Rapporti successivi tra i numeri con d positivo:
TABELLA 1
Numeri d
Rapporti successivi r
9
Osservazioni su
possibile progressione
geometrica (r tende
ovviament a 1)
2
3
5
6
7
11
13
14
17
19
21
22
23
29
31
33
37
38
41
43
46
47
3/2= 1,50
1,66
1,20
1,16
1,57
1,18
1,07
1,21
1,11
1,10
1,04
1,04
1,26
1,06
1,06
1,12
1,02
1,02
1,07
1,06
1,02
...
...
Media aritmetica
24,53/22= 1,11
...
Il rapporto tra n = 50 e il numero dei numeri d(50) = 22 è, in questo
caso, e cioè fino a 50,
50/22= 2,27 circa 2, mentre per numeri più
grandi, risulta che tale rapporto risulta, dai relativi calcoli, circa
100/d(n) = 110/(3/4) = 1,333333...., Ciò significa che il rapporto iniziale
2,27 scenderebbe gradualmente fino a 1,33333...e qui si
10
stabilizzerebbe. Ma non c’è ancora alcuna prova in merito.
Possiamo inoltre considerare la serie dei numeri d come una
progressione geometrica quasi perfetta, simile a quella di Fibonacci
con rapporto medio iniziale 1,11 . Per i numeri di Fibonacci, sappiamo
4
già che tale rapporto è 1,618. r ≈ √1,1618 =1,12 ≈ 1,11.
Prendendo, una terna di tali numeri , il prodotto tra i due valori
esterni è circa il quadrato del valore centrale:
Per esempio, la terna 38, 41, 43:
38*43 = 1634 ≈ 1681 = 41^2, con differenza 1681 – 1634 = 47 un
numero d poco maggiore di 43, mentre √1634 = 40, 42 ≈ 41 valore
centrale.
Altro esempio, la terna 29, 31, 33:
29*31= 899 ≈ 961 =31^2, con differenza 62 =2*31, doppio del valore
centrale, con √ 899 = 29,98 ≈ 31 valore centrale.
Per i prodotti N =p*q con p e q numeri primi, succede la stessa cosa,
(il termine centrale è n = √N , solo che non conosciamo a priori il
rapporto q/p e quindi nemmeno √q/p, poiché p, n e q fanno parte di
una progressione geometrica quasi perfetta (è perfetta soltanto
quando r^2 = q/p è un quadrato perfetto, e quindi r è intero). Vedi
Rif. 11, sul nostro Teorema fondamentale della fattorizzazione.
11
Concludiamo brevemente che questo nostro modesto contributo
possa in futuro confermare in qualche modo la stima di Cohen e
Lenstra , e cioè d(n) ≈ ¾ n (qui n non è una radice quadrata, ma il
numero fino al quale ci interessa conoscere d(n), per esempio n = 10^k,
in modo simile a p(n) per i numeri primi fino ad
9) La formica di Langton
Nessun riferimento , nessuna osservazione
10) La congettura delle matrici di Hadamard
Nessun riferimento
Osservazione con nostro possibile contributo
Contributo per problema delle matrici di Hadamard
La formula affinché per una dimensione n abbia una matrice di
Hadamard, è 2^a (p^b +1)
Possiamo cominciare costruendo una tabella per le prime cinque
potenze di 2 da , e poi moltiplicarne i valori per ogni analoga tabella
per ogni numero primo dispari, per i primi cinque numeri primi 3, 5,
7, 11 e 13.
In questo modo otteniamo una serie di numeri n, molti dei quali
appartengono alle due serie di numeri citate da Ian Steward, e
12
possibilmente anche 668, ancora in forse
2 4
92
8
12
116
16 20
156
24
172
28
prima serie
184 188
seconda serie
232
236
269
268
428 668
Tabella 1 delle prime sei potenze di 2, e quindi 2^a con a da 0 a 5
a
0
1
2
3
4
5
2^a
1
2
4
8
16
32
Tabella 2 per p = 3 (la formula funziona solo se p è dispari, quindi 2
escluso.
b
1
2
3
4
5
p^b
3
9
27
81
243
p^b+1
4
10
28
82
244
Ora moltiplichiamo i valori della tabella 1 con quelli della tabella 2
13
Tabella 3
2^a
p^b+1 per p = 3
1 per 2^0 =1
4
1
1
10
28
1
1
1
Per 2^1 =2
2
82
244
2
10
2
2
2
Per 2^2=4
4
28
82
244
4
4
4
4
Per 2^3 = 8
8
8
8
8
8
10
28
82
244
16 numero della
prima serie
40
102
328
976
4
10
28
82
244
32
80
224
328
1952
4
Prodotti 2^a*
(p^b+1)
Numeri n con matrice
di Hadamard
(compresi nelle due
serie)
4 numero della prima
serie
10
28 numero della
prima serie
82
244
8 numero della prima
serie
20 numero della
prima serie
56
164
488
4
14
Nessun numero n per
2^3=8
Per 2^4 =16
16
16
16
16
16
4
10
28
82
244
64
160
448
1312
3904
Nessun numero n per
n^4= 16
Per 2^5^32
32
32
32
32
32
4
10
28
82
244
128
320
896
2624
7808
Nessun numero n per
n^4= 16
Tabella 4 per n = 5
b
1
2
3
4
5
6
...
2^a
p^b
5
25
125
625
3125
15625
...
p^b+1
6
26
126
626
3126
15626
...
p^b+1 per p = 5
15
Prodotti 2^a*
(p^b+1)
Numeri n con matrice
di Hadamard
(compresi nelle due
serie)
1 per 2^0 =1
1
1
1
1
1
Per 2^1 =2
6
26
126
626
3126
15626
2
6
2
2
2
2
26
126
626
3126
15626
6
26
126
626
3126
15626
Nessun numero n per
2^0 =1
12 numero della
prima serie
52
252
1252
6252
Nessun numero n per
2^1=2
Per 2^2=4
4
6
4
4
4
4
4
26
126
626
3126
15626
Per 2^3 = 8
8
8
8
8
8
8
6
26
126
626
3126
15626
24 numero della
prima serie
104
504
2504
12504
62504
48
208
1008
5008
25008
125008
Nessun numero n per
16
2^3=8
Per 2^4 =16
16
16
16
16
16
Per 2^5^32
32
32
32
...
6
26
126
626
3126
15626
96
416
2016
10016
50016
250016
Nessun numero n per
2^4=16
6
26
126
...
192
832
4032
...
Nessun numero n per
2^5=32
Tabella 5 per p=7
b
1
2
3
4
p^b
7
49
343
2401
p^b+1
8
50
344
2402
Tabella 6 per p = 7
2^a
p^b+1 per p = 7
1 per 2^0 =1
4
1
1
10
28
17
Prodotti 2^a*
(p^b+1)
Numeri n con matrice
di Hadamard
(compresi nelle due
serie)
4 numero della prima
serie
10
28 numero della
1
1
1
Per 2^1 =2
2
82
244
2
10
2
2
2
Per 2^2=4
4
28
82
244
4
4
4
4
Per 2^3 = 8
8
8
8
8
8
10
28
82
244
prima serie
82
244
4
8 numero della prima
serie
20 numero della
prima serie
56
164
488
4
16 numero della
prima serie
40
102
328
976
4
10
28
82
244
32
80
224
328
1952
Nessun numero n per
2^3=8
Per 2^4 =16
16
16
16
16
16
4
10
28
82
244
64
160
448
1312
3904
Nessun numero n per
n^4= 16
Per 2^5^32
32
4
128
18
32
32
32
32
10
28
82
244
320
896
2624
7808
Nessun numero n per
n^4= 16
Tabella 4 per n = 5
b
1
2
3
4
5
6
...
p^b
5
25
125
625
3125
15625
...
p^b+1
6
26
126
626
3126
15626
...
2^a
p^b+1 per p = 5
Prodotti 2^a*
(p^b+1)
Numeri n con matrice
di Hadamard
(compresi nelle due
serie)
1 per 2^0 =1
1
1
1
1
1
Per 2^1 =2
6
26
126
626
3126
15626
2
6
6
26
126
626
3126
15626
Nessun numero n per
2^0 =1
12 numero della
19
2
2
2
2
prima serie
52
252
1252
6252
26
126
626
3126
15626
Nessun numero n per
2^1=2
Per 2^2=4
4
6
4
4
4
4
4
26
126
626
3126
15626
Per 2^3 = 8
8
8
8
8
8
8
6
26
126
626
3126
15626
48
208
1008
5008
25008
125008
Nessun numero n per
2^3=8
6
26
126
626
3126
15626
96
416
2016
10016
50016
250016
Nessun numero n per
2^4=16
6
192
Per 2^4 =16
16
16
16
16
16
Per 2^5^32
32
24 numero della
prima serie
104
504
2504
12504
62504
20
32
32
...
26
126
...
832
4032
...
Nessun numero n per
2^5=32
2^a
p^b+1 per p = 7
Prodotti 2^a*
(p^b+1)
Numeri n con matrice
di Hadamard
(compresi nelle due
serie)
1 per 2^0 =1
1
8
1
1
1
50
344
2402
8 numero della prima
serie
50
344
2402
Per 2^1 =2
2
8
2
2
2
2
50
344
2402
16 numero della
prima serie
100
688
4804
8
50
344
...
32
200
1376
...
Per 2^2=4
4
4
4
...
21
Per 2^3 = 8
8
8
8
...
8
50
344
...
64
400
2752
...
Per 2^4 =16
16
16
16
...
8
50
344
...
128
800
5504
...
8
50
344
256
1600
11008
Per 2^5^32
32
32
32
...
Al crescere dei numeri primi, i numeri in blu si fanno sempre più
rarefatti. Per trovare 668 , numero ancora in dubbio, occorre
continuare la ricerca, forse con altri numeri primi p. Lasciamo questo
tentativo a i lettori più volenterosi e più interessati al problema, oltre
che esperti di matrici di Hadamard.
11) L’equazione di Fermat - Catalan
22
Nessun riferimento , nessuna osservazione
12) La congettura ABC ,
Rif. 9, e Rif. 10 sulla
Nuova congettura ABC.
Conclusioni
Possiamo brevemente concludere questa panoramica sui dodici
problemi ancora irrisolti scelti da Ian Stewart nel suo libro, con
l’invito ai lettori eventualmente interessati di migliorare e
approfondire, ove ritenessero il caso, le nostre due dimostrazioni sui
numeri perfetti dispari e la congettura di Collatz, nonché i nostri
contributi sul Problema di Brocard e sulla congettura ABC.
Per gli altri problemi rimasti, ritorneremo possibilmente in futuro su
qualcuno di essi, con qualche eventuale nostro contributo.
Invece per altri problemi non compresi tra questi dodici, come per
esempio le congetture forte e debole di Goldbach e molte altre,
rimandiamo direttamente al nostro sito, con lavori anche in inglese.
Segnaliamo in modo particolare anche il nostro Teorema
Fondamentale della Fattorizzazione veloce (TFF)
23
Napoli, 13.9.2014
Riferimenti (Tutti sul nostro sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/ salvo diversa
indicazione)
1) Ian Stewart, “I grandi problemi della matematica” (Einaudi)
2) Sul Problema di Brocard (versione estesa n!+k = m^2 quadrato
perfetto)
Gruppo “B. Rieman”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
3) I PROBLEMI DI LANDAU Congettura e infinità dei Numeri di
Landau di forma n^2+1 (dimostrazione ed estensione a forme
numeriche simili)
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
4) I NUMERI PERFETTI DISPARI (proposta di dimostrazione della
loro inesistenza)
Gruppo “B. Riemann”
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
24
5) PROPOSTA DI DIMOSTRAZIONE DELLA CONGETTURA DI
COLLATZ ( Con estensione a 4n + 5 )
3
Gruppo “B.Riemann*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
6) Ipotesi RH equivalenti, le funzioni σ(n), φ(n), µ(n) e le forme
numeriche 6k +1 (Accenno finale alla relazione Fattorizzazione veloce
– RH)
Gruppo “B. Riemann”* , e relativi riferimenti finali
7) P R O P O S T A D I D I M O S T R A Z I O N E D E L L A V A
R I A N T E R I E M A N N D I L A G A R I A S ( RH1) (Ed
equivalente all’ipotesi di Riemann RH, con RH1 = RH)
Francesco Di Noto e
Michele Nardelli
Sul sito empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/nardelli.pdf
8) L’Ultimo teorema di Fermat e le terne Pitagoriche - Aspetto
aritmetico e geometrico
A cura di Francesco Di Noto ,Eugenio Amitrano
(http://www.atuttoportale.it, sezione Articoli, sottosezione Matematica
9) Appunti sulla congettura abc
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
10) PROOF OF FERMAT-CATALAN CONJECTURE
THROUGH NEW ABC CONJECTURE
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, Francesco Di Noto
11) IL TEOREMA FONDAMENTALE DELLA TTORIZZAZIONE
Gruppo “B.Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
25

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