Prestazioni di capitale caso sopravvivenza

Legge di equivalenza finanziario-demografica
Prestazione di capitale caso sopravvivenza
La scindibilità attuariale
Prestazioni di capitale caso sopravvivenza
Giovanni Zambruno e Asmerilda Hitaj
Bicocca, 2014
G. Zambruno e A. Hitaj
Legge di equivalenza finanziario-demografica, e scindibilità attuar
Legge di equivalenza finanziario-demografica
Prestazione di capitale caso sopravvivenza
La scindibilità attuariale
Outline
1
Legge di equivalenza finanziario-demografica
2
Prestazione di capitale caso sopravvivenza
3
La scindibilità attuariale
G. Zambruno e A. Hitaj
Legge di equivalenza finanziario-demografica, e scindibilità attuar
Legge di equivalenza finanziario-demografica
Prestazione di capitale caso sopravvivenza
La scindibilità attuariale
Valutazione contratto
La legge di equivalenza intertemporale su cui si basa
l’approccio attuariale ’tradizionale’ consiste in:
Un ipotesi finanziaria: una legge esponenziale con tasso
annuo i ≥ 0 fissato (tasso tecnico);
Un ipotesi demografica; un modello probabilistico
’tradizionale’ basato su una funzione di sopravvivenza S
fissata.
La coppia (i, S), che determina la legge equivalenza
intertemporale, si chiama base tecnica.
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Legge di equivalenza finanziario-demografica, e scindibilità attuar
Legge di equivalenza finanziario-demografica
Prestazione di capitale caso sopravvivenza
La scindibilità attuariale
Valutazione contratto cont...
Fissato una base tecnica (i, S) un istante di valutazione t, un
importo Xs pagabile in s ≥ t
1
XV
V(t, XV ) =?
0.5
s
s
0
Età t
−0.5
−1
1
2
s
3
4
5
6
7
8
9
10
Il valore attuale attuariale
V (t, Xs ) =
E(X )
| {z s}
v s−t
speranza matematica
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Legge di equivalenza finanziario-demografica, e scindibilità attuar
Legge di equivalenza finanziario-demografica
Prestazione di capitale caso sopravvivenza
La scindibilità attuariale
Valutazione contratto cont...
Fissato una base tecnica (i, S) un istante di valutazione t, un
importo Xs pagabile in s ≥ t
1
XV
V(t, XV ) =?
0.5
s
s
0
Età t
−0.5
−1
1
2
s
3
4
5
6
7
8
9
10
Il valore attuale attuariale
V (t, Xs ) =
E(X )
| {z s}
v s−t
speranza matematica
G. Zambruno e A. Hitaj
Legge di equivalenza finanziario-demografica, e scindibilità attuar
Legge di equivalenza finanziario-demografica
Prestazione di capitale caso sopravvivenza
La scindibilità attuariale
Valutazione contratto cont...
Fissato una base tecnica (i, S) un istante di valutazione t, un
importo Xs pagabile in s ≥ t
1
XV
V(t, XV ) =?
0.5
s
s
0
Età t
−0.5
−1
1
2
s
3
4
5
6
7
8
9
10
Il valore attuale attuariale
V (t, Xs ) =
E(X )
| {z s}
v s−t
speranza matematica
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La scindibilità attuariale
Valutazione contratto cont...
Criterio della speranza matematica
Il prezzo (premio), del contratto, è il valore attuale della
speranza matematica della prestazione aleatoria futura Xs
V (t, Xs ) = E(Xs ) v s−t .
Dove V (t, Xs ) è il premio unico puro del contratto assicurativo.
Premio: prezzo
Unico: pagato in un unica soluzione
Puro: non tiene conto dei caricamenti espliciti.
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Tipologie contratti
Assicurazioni o contratti caso vita.
Assicurazioni o contratti caso morte.
Assicurazioni miste.
La prestazione dell’assicuratore dipende dalla durata aleatoria
di vita di un’unica testa assicurata.
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Prestazione di capitale caso sopravvivenza
La scindibilità attuariale
Contratti assicurativi elementari
Assicurazione elementare caso vita
1
YV
V
V(x, Yx+n ) = ?
0.5
x+n
0
Età x
−0.5
−1
1
2
x+n
3
4
Dove.
V
Yx+n
=
5
6
7
8
9
10
1 n px
0 altrimenti.
V
V
V (x, Yx+n
) = E(Yx+n
) v n = 1 ∗n px ∗ v n .
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La scindibilità attuariale
Contratti assicurativi elementari cont...
Assicurazione elementare caso morte.
1
0.8
0.6
0.4
V(x,YV
x+n
YM
)=?
x+n
0.2
0
−0.2
−0.4
Età x
x+n−1
x+n
−0.6
−0.8
Dove.
M
Yx+n
=
1 n−1| qx
0 altrimenti.
M
M
V (x, Yx+n
) = E(Yx+n
) v n = 1 ∗n−1| qx ∗ v n .
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La scindibilità attuariale
Assicurazioni Caso vita
Caso vita
Le prestazioni dipendono dall’evento che l’assicurato sia in
vita ad una certa data
Pagamento di un capitale se la testa assicurata raggiunge
in vita una certa età o di una rendita da una certa età
Finalità: coprire il rischio di scarse disponibilità finanziarie
in caso di sopravvivenza ad una certa epoca (costituire
una disponibilità finanziaria in caso di vita ad un’epoca
stabilita).
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La scindibilità attuariale
Assicurazioni Caso Vita cont...
Assicurazioni caso vita
Capitale differito
Rendita vitalizia
Rendita vitalizia differita
Rendita vitalizia temporanea
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La scindibilità attuariale
Capitale differito
Assicurazione elementare caso vita
Capitale differito di n anni su una testa di età x è
l’impegno, considerato all’epoca in cui l’individuo compie
l’età x, di corrispondere dopo n anni, se la testa sarà in
vita, un capitale stabilito C.
L’aleatorietà è indotta dall’incertezza su eventi relativi alla
vita umana.
1
YV
V
V(x, Yx+n ) = ?
0.5
x+n
0
Età x
−0.5
−1
1
2
x+n
3
4
5
6
7
8
9
10
V
è:
dove, la prestazione contrattualmente prevista, Yx+n
C n px
V
Yx+n
=
0 altrimenti.
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La scindibilità attuariale
Capitale differito
Assicurazione elementare caso vita
Capitale differito di n anni su una testa di età x è
l’impegno, considerato all’epoca in cui l’individuo compie
l’età x, di corrispondere dopo n anni, se la testa sarà in
vita, un capitale stabilito C.
L’aleatorietà è indotta dall’incertezza su eventi relativi alla
vita umana.
1
YV
V
V(x, Yx+n ) = ?
0.5
x+n
0
Età x
−0.5
−1
1
2
x+n
3
4
5
6
7
8
9
10
V
è:
dove, la prestazione contrattualmente prevista, Yx+n
C n px
V
Yx+n
=
0 altrimenti.
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La scindibilità attuariale
V ) in senso demografico e finanziario
Il Valore attuale V (x, Yx+n
all’età x di un capitale C esigibile all’età x + n in caso di vita, è
dato da:
V ) = E(Y V ) ∗ v n
V (x, Yx+n
x+n
= (C ∗n px + 0 ∗/n qx )(1 + i)−n = C v n n px
L’aleatorietà di questo contratto riguarda il pagamento o
meno della prestazione, che se pagata sarà C.
Per indicare il valore di una prestazione di capitale differito
unitario dopo n anni riferito ad una testa di età x, si usa la
seguente notazione:
n Ex
= v n n px .
Si ha che:
V
V (x, Yx+n
) = C n Ex .
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La scindibilità attuariale
V ) in senso demografico e finanziario
Il Valore attuale V (x, Yx+n
all’età x di un capitale C esigibile all’età x + n in caso di vita, è
dato da:
V ) = E(Y V ) ∗ v n
V (x, Yx+n
x+n
= (C ∗n px + 0 ∗/n qx )(1 + i)−n = C v n n px
L’aleatorietà di questo contratto riguarda il pagamento o
meno della prestazione, che se pagata sarà C.
Per indicare il valore di una prestazione di capitale differito
unitario dopo n anni riferito ad una testa di età x, si usa la
seguente notazione:
n Ex
= v n n px .
Si ha che:
V
V (x, Yx+n
) = C n Ex .
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La scindibilità attuariale
V ) in senso demografico e finanziario
Il Valore attuale V (x, Yx+n
all’età x di un capitale C esigibile all’età x + n in caso di vita, è
dato da:
V ) = E(Y V ) ∗ v n
V (x, Yx+n
x+n
= (C ∗n px + 0 ∗/n qx )(1 + i)−n = C v n n px
L’aleatorietà di questo contratto riguarda il pagamento o
meno della prestazione, che se pagata sarà C.
Per indicare il valore di una prestazione di capitale differito
unitario dopo n anni riferito ad una testa di età x, si usa la
seguente notazione:
n Ex
= v n n px .
Si ha che:
V
V (x, Yx+n
) = C n Ex .
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n Ex
si chiama anche fattore di sconto demografico
Il montante in senso demografico e finanziario all’età x + n
di un capitale unitario versato all’età x è dato da n E1 x .
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La scindibilità attuariale
m+n Ex
=m Ex n Ex+m
→ scindibilita′
La valutazione all’epoca 0 (età x) di una prestazione
relativa ad una fissata epoca può essere eseguita
valutando anzitutto la prestazione in un’epoca m (età
x + m) e portando quindi il valore così ottenuto all’epoca 0.
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La scindibilità attuariale
Esercizio 1
Calcolare il valore della prestazione e il premio unico di una
polizza capitale differito di 1000 euro, durata 10 anni stipulata
all’età di 25. Sapendo che il tasso di interesse è di 2%.
Esercizio 2
Considerando un tasso di interesse del 2% e sapendo che:
Il valore della prestazione di una polizza capitale differito di
1000 euro, stipulata all’età di 30 con durata 20 è di
631, 3528 euro.
Il valore di una capitale differito unitario stipulata all’età di
35 anni e con durata 10 è di 0, 797301.
Il valore di una capitale differito unitario stipulata all’età di
45 anni e con durata 5 è di 0, 881811.
Trovare il valore della prestazione di una polizza capitale
differito di 2500 euro stipulata all’età di 30 con durata 5.
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La scindibilità attuariale
Esercizio 3
Considerando un tasso di interesse del 2% e sapendo che:
Il valore di una polizza capitale differito di 250 euro
stipulata all’età di 40 anni e con durata 2 è di 238, 8626.
Il valore di una polizza capitale differito di 500 euro
stipulata all’età di 42 anni e con durata 6 è di 432, 7839.
Il valore di una polizza capitale differito di 700 euro
stipulata all’età di 48 anni e con durata 7 è di 575, 4818.
Calcolare:
La probabilità che una persona di 48 anni sopravvive per
ulteriori 7 anni?
La probabilità che una persona di 42 anni arriva in vita
all’età di 48 anni?
La probabilità che una persona di 40 anni sopravvive per
ulteriori 15 anni?
Il valore della prestazione di una polizza capitale differito di
1000 euro stipulata all’età di 40 con durata 15.
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La scindibilità attuariale
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C.PACATI, ’Appunti IMAAV’ (disponibile in .pdf sul sito web
dell’insegnamento)
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