Teorema di Bernoulli - Alessandro Dal Maso

Teorema di Bernoulli
alessandro dal maso1
Studiamo il moto di un volume limitato V di fluido in una condotta, dal tratto A del tubo (delimitato
dalle superfici 1 e 2, di lunghezza lA , e posto alla quota yA rispetto una certo livello di riferimento) al tratto
B (delimitato dalle superfici 3 e 4, di lunghezza lB e posto all’altezza yB ), sapendo che il condotto muta la
propria sezione da SA (tratto A) a SB (tratto B) e che il fluido muta la propria velocit`a da v~A a v~B .
Si supponga, inoltre, che
1. la corrente sia stazionaria;
2. il fluido sia incomprimibile;
3. non vi siano attriti;
4. il condotto sia indeformabile.
La quantit`
a di fluido compresa tra le superfici 1 e 3 `e soggetta al proprio peso, a FA = pA SA verso
destra (dovuta alla pressione del fluido che `e a sinistra del nostro volume limitato, e causa del moto) e a
FB = pB SB verso sinistra (dovuta alla pressione del fluido che `e a destra, crea resistenza al moto). Dopo
un certo tempo, la medesima quantit`
a di fluido si trova tra le sezioni 2 e 4. Se la corrente `e stazionaria
(1) e il fluido `e incomprimibile (2), il movimento di fluido nella zona A deve spostare un eguale volume (e
di conseguenza eguale massa m) di fluido ∆V nella zona B. Si pu`o considerare il volume compreso tra le
sezioni 2 e 3 invariato, e dunque trascurabile.
Per l’ipotesi (3), non agiscono forze d’attrito, allora l’energia si conserva, cio`e la variazione di energia
meccanica ∆E deve essere pari al lavoro W fatto dalle forze esterne al sistema (F~A e F~B )
∆E = W
W `e dato da
W = FA lA − FB lB = pA SA lA − pB SB lB = pA ∆V − pB ∆V = (pA − pB )∆V
∆E `e data dalla differenza dell’energia meccanica (pari alla somma di energia cinetica e potenziale) del
fluido nel tratto B e nel tratto A.
∆E = (K + EP )B − (K + EP )A
1
1
2
2
mvB
+ mgyB −
mvA
+ mgyA
=
2
2
1 2
1 2
=m
vB + gyB − vA + gyA
2
2
Ne consegue che, sapendo anche che m = ρV , dove ρ `e la densit`a del fluido in esame,
ρ∆V
∆E = W
1 2
1 2
v + gyB − vA + gyA = (pA − pB )∆V
2 B
2
da cui si pu`
o eliminare il termine comune ∆V giungendo alla relazione
1 2
1
2
pA + ρgyA + ρvA
= pB ∆V + ρgyB + ρmvB
2
2
nota come equazione di Bernoulli e avente la forma di una legge di conservazione. La si trova pure scritta
nella forma
1
p + ρgy + ρv 2 = cost
2
1 Universit`
a
degli Studi di Padova; e-mail: [email protected]

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