Aprile 2014 - I blog di Unica

Corsi di laurea in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche e Farmacia
Prova scritta di Matematica – 24 Aprile 2014
1. Sia data la funzione
f ( x ) = 3 x − x ln( x )
a. Trova il dominio di f
b. Scrivi, esplicitamente e per esteso (non sono sufficienti “disegnini”), quali sono gli intervalli in
cui f è positiva e quelli in cui è negativa
c. Determina le eventuali intersezioni con gli assi
d. Studia il comportamento di f agli estremi del suo dominio, scrivendo l’equazione di eventuali
asintoti; (giustificare i risultati dei limiti)
e. Calcola la derivata prima e scrivi, esplicitamente e per esteso (non sono sufficienti “disegnini”),
quali sono gli intervalli in cui f è crescente e quelli in cui è decrescente, trovando le coordinate
di eventuali massimi o minimi relativi o flessi a tangente orizzontale
f. Calcola la derivata seconda e scrivi, esplicitamente e per esteso (non sono sufficienti
“disegnini”) quali sono gli intervalli in cui f è convessa e quelli in cui è concava, trovando le
coordinate di eventuali flessi
g. Disegna un grafico approssimativo di f scegliendo opportunamente il sistema di riferimento.
2. Data la funzione
f ( x ) = 2e x sin( x )
a. Si trovi una primitiva di f
b. Detta r la retta tangente ad f nel punto di ascissa
π
, trovare l’equazione della retta s ortogonale
4
ad r e passante per il punto P(1,2).
3. Secondo un dato modello matematico, il numero y di una colonia di batteri (espresso in migliaia)
è funzione del tempo x (espresso in secondi), a partire dal quale durante un esperimento essa
viene sottoposta ad un certo medicinale, secondo la legge
y = ( x 2 − 2 x + 1)e 2 x − x
2
Quali sono i valori massimi del numero di batteri riscontrati durante l’esperimento?
4. Si ha motivo di ritenere che il farmaco in sperimentazione Calvix, contro la caduta dei capelli,
abbia come effetto collaterale un innalzamento dei livelli di ansia. In 4 pazienti volontari viene
iniettata é una certa quantità di Calvix in maniera regolare e alla fine del trattamento viene poi
registrato il corrispondente livello di cortisolo [l’ormone dello stress, ndr]. I risultati sono illustrati
nella seguente tabella:
Dose di Calvix
Livello di ansia (cortisolo)
10
18
13
23
14
21
19
26
a. Calcola il coefficiente di correlazione constatando che vi è correlazione lineare tra le due
variabili.
b. Attraverso la retta di regressione, esprimi il livello di cortisolo dei pazienti in funzione della dose
di Calvix assunta.

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