Corsi di laurea in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche e Farmacia Prova scritta di Matematica – 24 Aprile 2014 1. Sia data la funzione f ( x ) = 3 x − x ln( x ) a. Trova il dominio di f b. Scrivi, esplicitamente e per esteso (non sono sufficienti “disegnini”), quali sono gli intervalli in cui f è positiva e quelli in cui è negativa c. Determina le eventuali intersezioni con gli assi d. Studia il comportamento di f agli estremi del suo dominio, scrivendo l’equazione di eventuali asintoti; (giustificare i risultati dei limiti) e. Calcola la derivata prima e scrivi, esplicitamente e per esteso (non sono sufficienti “disegnini”), quali sono gli intervalli in cui f è crescente e quelli in cui è decrescente, trovando le coordinate di eventuali massimi o minimi relativi o flessi a tangente orizzontale f. Calcola la derivata seconda e scrivi, esplicitamente e per esteso (non sono sufficienti “disegnini”) quali sono gli intervalli in cui f è convessa e quelli in cui è concava, trovando le coordinate di eventuali flessi g. Disegna un grafico approssimativo di f scegliendo opportunamente il sistema di riferimento. 2. Data la funzione f ( x ) = 2e x sin( x ) a. Si trovi una primitiva di f b. Detta r la retta tangente ad f nel punto di ascissa π , trovare l’equazione della retta s ortogonale 4 ad r e passante per il punto P(1,2). 3. Secondo un dato modello matematico, il numero y di una colonia di batteri (espresso in migliaia) è funzione del tempo x (espresso in secondi), a partire dal quale durante un esperimento essa viene sottoposta ad un certo medicinale, secondo la legge y = ( x 2 − 2 x + 1)e 2 x − x 2 Quali sono i valori massimi del numero di batteri riscontrati durante l’esperimento? 4. Si ha motivo di ritenere che il farmaco in sperimentazione Calvix, contro la caduta dei capelli, abbia come effetto collaterale un innalzamento dei livelli di ansia. In 4 pazienti volontari viene iniettata é una certa quantità di Calvix in maniera regolare e alla fine del trattamento viene poi registrato il corrispondente livello di cortisolo [l’ormone dello stress, ndr]. I risultati sono illustrati nella seguente tabella: Dose di Calvix Livello di ansia (cortisolo) 10 18 13 23 14 21 19 26 a. Calcola il coefficiente di correlazione constatando che vi è correlazione lineare tra le due variabili. b. Attraverso la retta di regressione, esprimi il livello di cortisolo dei pazienti in funzione della dose di Calvix assunta.
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