K.
STRUBECKER
CASI LIMITI DI GEOMETRIE NON-EUCLIDEE
(*)
I. - GEOMETRIA DELLO SPAZIO ELLITTICO.
1. La geometria ellittica dello spazio possiede come assoluto
una quadrica di equazione
(1.1)
*J+*»+*«+*J=0 .
(x0 : xi : x.2 : x.ò) ^ (0 : 0 : 0 : 0) sono in essa coordinate cartesiane
omogenee. xQ = 0 rappresenta il piano improprio. L'equazione della
quadrica assoluto in coordinate omogenee di piano (u0 : u± : u% : u9) ^
(0:0:0:0) è
(1.2)
u* + u\+ul + ul=0
.
Di qui segue che la geometria dello spazio ellittico è perfettamente autoduale. La polarità rispetto alla quadrica assoluto
trasforma due punti P, P/ dello spazio ellittico in due piani TI, n,
dove la distanza ellittica PP' dei punti e l'angolo ellittico jm'
dei piani sono tra loro uguali.
Se P(xQ, x,L, x2, x3) è un punto, che non si trova sulla quadrica assoluto, è possibile normalizzare le sue coordinate omogenee,
mediante la condizione
^l.oj
XQ-\-X^-\-X2-\-X^
=
1
.
(*)• Da un Corso di lezioni tenuto (nel 1958) all'Università di Roma.
— 142 —
Nello stesso modo è possibile normalizzare le coordinate omogenee del piano ir (u(h uu u2, u-A) con la condizione
(1.4)
^0-+-^1 + ^1 + ^ =
1
•
Due punti P e P' di coordinate tali che Sx\ = \,
possiedono una distanza ellittica s, per la quale si ha
(1.5)
3
COS 5 = X0XQ + XiXì ' + X.yXo -f X.ÒX./ = I Xfil
Zx'^—1
.
0
Dualmente due piani n e n di coordinate normalizzate, cioè
per cui £u?—l, Zui = \, formano un angolo ellittico a, per il
quale si ha :
3
(1.6)
COS 0==UQUQ -\-U[ll\/-\-UilLz
-\-U%U%= £ U>jU>{ 0
2. Un movimento dello spazio ellittico è definito come una
collineazione che trasforma in sé la quadrica.assoluto. La quadrica
assoluto possiede due schiere rigate {si}, {s 2 }, di generatrici complesse. Ognuna di queste due schiere di rette viene trasformata in
sé per un movimento ellittico continuo. In tal modo le singole generatrici vengono scambiate proiettivamente fra loro.
Fra i movimenti ellittici sono da distinguersi quelli particolari
nei quali vengono scambiate proiettivamente solo le generatrici di
una schiera, mentre le generatrici dell'altra restano fìsse. Questi
movimenti, studiati per primo da CLIFFORD, sono denominati
scorrimenti di CLIFFORD dello spazio ellittico, giacché, per ogni
loro sottogruppo continuo ad un parametro, ogni punto P descrive
una traiettoria rettilinea. A differenza delle traslazioni di uno
spazio euclideo, le traiettorie rettilinee di questi scorrimenti di
CLIFFORD nello spazio ellittico, sono fra loro sghembe. Secondo
che per questi scorrimenti di CLIFFORD rimane fissa l'una o l'altra
delle due schiere di generatrici della quadrica assoluto, si parla
di uno scorrimento destro o sinistro dello spazio ellittico.
Il più generale movimento dello spazio ellittico si può decomporre poi in uno scorrimento di CLIFFORD sinistro ed in uno destro,
che sono univocamente individuati e fra loro permutabili.
3. La più semplice rappresentazione analitica dei movimenti
dello spazio ellittico si fa ricorrendo ai quaternioni di HAMILTON.
— 143 —
Si indica con tale nome il sistema di numeri ipercomplessi
(1.7)
x = xQe0 -{•xie[ -f
x2e2+#3e3
con coordinate omogenee reali o complesse x09 xl9 x%9 x3, e quattro
unità e 0 , el, e2, e 3 , per le quali vale la seguente tabella moltiplicativa
(1.8)
.e2
• e8
• e0
•ei
e0 .
e0
C|
*i •
Ci
-e
e
e
2
- e8
-e
0
^i
*8
— e2
-Cj
- eo
-2«
e8 .
e
e
2
— e2
*s
0
*
Poiché la prima unità e0 per moltiplicazione si comporta come
il numero 1, si può porre e 0 = l . Il prodotto dei quaternioni è
associativo
(1.9)
{xy)z = x(yz)
,
ma non commutativo, p. es. è
C\> — 6 1 6 9
-y-~ C Q C J —
~ C^
Precisamente ad es., per i prodotti
(1.10)
x = a .#
x' =
x-b
del quaternione .# con i quaternioni e e è si ottengono i quaternioni
aventi le seguenti coordinate
fljj ==0/iXr\ —\~ aQ.xt — a^x.-) —\- a?Xo
(ì.n)
x = a .x •
H'o — tt.jA/n ~~y- a^Xj,
-["• Un^i/9
fliXo
— 144 —
(
(1.12)
x'=x • b
(
xQ'=x0b0 — x^
— x2b2 — a 3 ò 3
xì,=x()bì
+ A ; ^ -f #263 - xl}b2
x2'=x0b2
—xfiz + x.2b0 + ^ A
tfa'=*A
+ xj>% — XJÌL + xBb0
Per il prodotto di due quaternioni
coniugati
x=x0e0 + xìei + #2e2 + A;3e3
X
XnCn
" Ai .1 6.1 ~ "" A/969
' A/.>6-.;
3°3
si ottiene, avendo posto e0 = 1,
(1.13)
^ = ^ = ^ + x] + :ii + *J = N(x) = N(x) .
Si indica tale prodotto come norma del quaternione x. Vale
in generale, come per i numeri complessi ordinari, il teorema della
norma
(1.14)
N(ax) = N(a)-N(x)
.
Perciò si può anche risolvere ogni equazione nei quaternioni
come x'=ax,
rispetto ad x. Si trova cioè, poiché N(a) = aa è
uno scalare, da x'=ax
o
x'=xb
axc'=(ad)
x/b = xbb
cioè, se aa = N(a) ^ 0,
(1.15)
x
a
N(a) x
(N(a)^0)
X =
X
N{b)
(N(b) * 0)
Se a e b sono quaternioni normalizzati,
(1.16)
N(a) = 1
cioè se
N(b) = l
— 145 —
le soluzioni delle equazioni (10) sono semplicemente
(1.17)
x=axf
x^x'b
.
4. Questi richiami sono sufficienti per dare la rappresentazione analitica degli scorrimenti di CLIFFORD e dei movimenti
dello spazio ellittico.
Vogliamo far corrispondere univocamente ad ogni punto
P(x(h xux2,x->) dello spazio ellittico, che non giaccia sulla quadri ca assoluto, un quaternione normalizzato
(1.18)
x = x0e0 + xìe[ + x2e2 + %e 3 ,
con
N(x) = xl + x> + xl + x* = l .
Parliamo allora brevemente del «punto x». Se poi anche a e b
sono quaternioni normalizzati, cioè se
(1.19)
N(a) = aà=l,
N(b)--bb = l ,
allora le formule (11) e (12) rappresentano un autoniorfismo
proiettivo della quadrica assoluto. Più esattamente la relazione
(1.20)
x=ax
fornisce il gruppo £3 degli scorrimenti sinistri e la relazione
(1.21)
x'=xb
il giuppo cft3 degli scorrimenti
Il prodotto commutativo
(1.22)
destri.
x' = axb
rappresenta allora Vintero gruppo gf} dei movimenti dello spazio
ellittico, che dipende in modo continuo da 6 parametri.
Per dimostrarlo formiamo la norma di x e troviamo, secondo
— 146 —
il teorema della norma,
(1.23)
i V « ) =N(a) • N(x) • N(b) =N(x)
=1
=T
.
Da N(%)~0
segue quindi N(x) = Q, cioè la quadrici
assoluto N(x) — 0 è trasformata in sé dalle trasformazioni del
gruppo <§6.
Gli scorrimenti di CLIFFORD 23 ed Sig formano a sé gruppi
continui a tre parametri con composizione bilineare dei parametri
ai, e rispettivamente 6 i . Per il prodotto elei due scorrimenti sinistri
(1.24)
xf =ax
e
x" = a'x'
si ha
(1.25)
x' — a' (ax) = (afa) x = a"x
(1.26)
con
a"—a! a
ed.d.
5. Consideriamo ora quel sottogruppo
tici, che lascia fisso il punto (origine)
(1.27)
0(1,0,0,0),
o
dei movimenti ellit-
aj = e 0 = l ,
cioè studiamo le rotazioni & dello spazio ellittico intorno all'origine 0.
Poiché il punto x=l
deve essere trasformato in sé
(x'=x=l),
segue da (22) per questi movimenti
e.
(1.28)
l = a - l - ò = aò,
o
b = ~à,
cioè la loro rappresentazione è
(1.29)
x'=axa
.
Questa semplice relazione nei quaternioni stabilita da CAYLEY
caratterizza il gruppo delle rotazioni dello spazio ellittico intorno
al punto 0, le quali risultano identiche alle rotazioni dello spazio
euclideo intorno all'origine.
Esplicitamente queste espressioni per mezzo delle coordinate
— 147 —
si scrivono:
(1.30)
V = K + of + «2 + «s) a"o = ^o
^ / = ( a o + a\ ~~ al ~~ al)
x
\ + 2 («!% + Q>QCÌ»Ò) ®2 + 2 (fti^
.%' = 2 ( a ^ — ^0¾) #1 + ( a o ~ a i + at ~~ at)
,T
— ^0¾)
«'a
2+ 2 (02as + a o tt i) ^3
^ / = 2 (a^g + «oa2) ^i + 2 (%«3 — a o a i) ,T 2+ (a() — aì -— al •+- a§) #3 •
Queste espressioni risalgono già ad EULERO. L'asse fisso in
questa rotazione & congiunge il punto 0 ( # = e 0 = l ) ed il punto
x = a di coordinate (a 0 : a1: a.,\ a 3 ). Per Yangolo di rotazione 99 vale
la relazione
(1.31)
cos<p/2= aQ.
La composizione di due rotazioni a ed a' intorno a 0, espresse da
(1.32)
xf=axa
e
x" =afx'af
dà una nuova rotazione.
(1.33)
a?" = a' (aira) a' = {afa) x (a a') = af'xa"
,
ove, essendo (a'a) = aa' per i quaternioni della rotazione, vale
la semplice formula del prodotto
(1.34)
a"=a'a .
Questa è la stessa formula del prodotto come nella composizione delle traslazioni sinistre. Se cioè si rappresenta lo scorrimento sinistro % = ax, relativo al quaternione a sulla rotazione
x = axa, espressa dallo stesso quaternione, allora questa rappresentazione di scorrimenti sinistri e rotazioni è un isomorfismo.
Nello stesso modo si possono naturalmente rappresentare gli
scorrimenti destri x = xb sulle rotazioni % = bxb, con analoga
formula, del prodotto b" = b b'. Anche questa rappresentazione è
un isomorfismo.
Riassumendo, un qualunque movimento dello spazio ellittico
— 148 —
rappresentato nella forma
xf=axb
(1.35)
è isomorfo a due rotazioni tra loro indipendenti
(1.36)
x'—axa
e
x'=bxb
.
Otterremo subito anche una semplice costruzione geometrica
per questa rappresentazione dei movimenti dello spazio ellittico
con due rotazioni simultanee.
6. Si indichino le quattro coordinate (<z0, a19 a2, a3) del
quaternione a = 2aiei,
normalizzato da N (o) = l , come i para-
ACao^.a^)
Fig. 1
metri di EULERO della rotazione d . Se si interpretano questi
parametri come coordinate omogenee di un punto A(aQ, ax, a2, a3),
allora ogni rotazione d dello spazio ellittico è rappresentata su
un punto A nello spazio dei parametri delle rotazioni. Il punto
— 149 —
immagine A giace così sull'asse di rotazione ed ha dall'origine 0
una distanza ellittica s = OA , che dipende dall'angolo di rotazione
99 mediante la semplice relazione
m=»=i
(1.37)
Per la distanza euclidea d~OA
mula
(1.38)
segue allora (fig. 1) la for
OA = d = ^ \ .
Questa formula risale al matematico greco STEPHANOS, che ha
per primo studiato la geometria dello spazio dei parametri delle
rotazioni (euclidee).
7. I punti % ed x dello spazio sono permutati dagli scorrimenti sinistri di CLIFFORD X = ax in modo semplicemente transitivo, e parimenti dagli scorrimenti destri x = xb. C'è allora soltanto uno scorrimento sinistro che trasforma x in x e parimenti
soltanto uno scorrimento destro che muta x in x . Per i quaternioni
a e b normalizzati di queste traslazioni da
(1.39)
x =ax
segue
a= x x ,
xf=xb
segue
b = xxf
e da
(1.40)
X
Se
P o i Pik =
X
i
X
i
X
k
sono le coordinate pliickeriane della retta
k
p = \xx'], congiungente i punti x ed x', e se s è la distanza ellittica,
data dalla (5), di x da x\ allora questi quaternioni a e b che
figurano nelle (39) e (40) si esprimono esplicitamente :
(1.41)
a= (cos s)e0+(p0i
-\~p2S) ei + (p02+p3i)
e 2 + (pos+Piz) e8
(1.42)
ò = (coss)e 0 +(p 0 1 —P 2 3) e i + (Po2— />aiK+(/><>8— P12) e3 •
150
Da ciò segue che con uno scorrimento sinistro x = ax, relativo
al quaternione normalizzato a, tutti i punti x dello spazio sono spostati dello stesso segmento s con
(1.43)
cos s = a o
dove le loro traiettorie p = [xx] appartengono ad una congruenza
ellittica lineare (una congruenza sinistra) di equazioni
a.
a.
a.
/>01+7>28
Pto + P*i
P02 + Pl2
(1.44)
= 0
Queste traiettorie si dicono parallele a sinistra fra loro, nel
senso di CLIFFORD. Parimenti con una traslazione destra x = xb,
relativa al quaternione normalizzato b, tutti i punti x dello spazio
sono spostati dello stesso segmento s, con
(1.45)
COSS:
ove le traiettorie p = [xx'] parimenti formano una congruenza ellittica lineare (una congruenza destra) di equazione
= 0
(1.46)
Poi
-Pn
Po2—Pai
Po* — P12
Queste traiettorie si dicono parallele a destra fra loro nel senso
di CLIFFORD.
Gli assi delle congruenze lineari (44) e (46) sono generatrici
della quadrica assoluto. Segue così che ogni coppia di rette parallele nel senso di CLIFFORD incontra la quadrica assoluto in punti
che appartengono alla stessa coppia di generatrici.
Ogni retta dello spazio p, di coordinate pik è contenuta —
in base alle (44), (45) — in una sola congruenza sinistra ed in
una sola congruenza destra. Nelle stesse due congruenze giace
anche la polare assoluta p di p. Viceversa per ogni retta p dello
— 151 —
spazio passante per un punto fisso ; p. es. Vorigine 0, c'è una
ed una sola retta parallela a sinistra pt = | OA], nel senso di
CLIFFORD, ed una ed una sola parallela a destra
pr=\OB].
r\(OtQvQz,Qò)
0(1,0,0,0)
Fig. 2
Queste rette congiungono il punto 0 = (1,0,0,0) rispettivamente
con i punti A =(0,aua2,a-s)
(coniugato rispetto all'assoluto di O),
e B = (0, b\, b2, 6S) e sono rappresentate (fig. 2) dai quaternioni
(1.47)
pz= a—a/oo,
pr=b=xx'
.
Abbiamo così trovato una rappresentazione della retta p dello
spazio ellittico sulla coppia di rette {pz, pr} di un fascio di rette
di centro 0, rappresentazione trovata da FUBINI nella sua tesi di
laurea (1900) e, quasi contemporaneamente e indipendentemente,
da H J E L M S L E V e STUDY. Questa rappresentazione è di fondamentale importanza per la geometria differenziale ed algebrica dello
spazio ellittico.
Questa rappresentazione di FUBINI ha ora una proprietà molto
importante in teoria dei gruppi. Se si applica alla retta p = [x, x']
relativa alle due rette immagini
Pi=x'' x
e
pr = xx/
un arbitrario scorrimento sinistro a, si hanno dai punti x ed x \
nuovi punti
X=ax
e
X' = a%' .
— 152 —
Mediante lo scorrimento sinistro a si ottiene perciò dalla retta
p—[%x']
la nuova retta P=[XX'],
relativa, alle due rette immagini di FUBINI
P^X'X
e
Pr = XX'
,
per le quali è
Ì
Pj =X'X—
1
_
a%' . Xa = a (di'ce) a = ap,a
__
__
Pr = XX' = x a . ax' = x (aa) x/ = pr .
Se si sottopone invece la retta p ad un qualsiasi scorrimento
destro relativo al quaternione /?, si ha per le sue due rette immagini Pt e Pr
(1.49)
Pl=Pl
,
Pr=hrP
•
Da ciò il teorema fondamentale
della rappresentazione di
FUBINI della retta p sulla coppia di rette {pL, pr)
di due fasci:
ì ) Con uno scorrimento sinistro a della retta p il fascio
immagine sinistra subisce una rotazione, relativa al quaternione a,
(Pl = aploì), e il fascio destro resta fisso (P r = J p r ).
2) Con uno scorrimento destro fi della retta p il fascio
immagine destra subisce una rotazione (Pr = /?jpr/J), il fascio sinistro
resta fisso (Pl=pl).
Con un arbitrario movimento ellittico dello spazio delle rette
jp| di rappresentazione
(1.50)
X=axft
,
i /asci immagine
simultanee
di FUBINI j pl , jo^. j subiscono due
(1.51)
Pi=rxp~a
e
rotazioni
P r = ft0riff .
I due scorrimenti di CLIFFORD che intervengono in un movimento
ellittico e le due rotazioni dei fasci immagine di FUBINI sono
— 153 —
perciò legate da isomorfismo. Tra le lunghezze di scorrimento
ellittico sl , sr e gli angoli di rotazione cpt , cpr intercedono le
semplici relazioni
(1.52)
sl=^,
v - lr
8.
Vogliamo ora indicare l'effetto degli scorrimenti di
CLIFFORD sui piani n
3 ) . Se il piano n non è isotropo,
cioè se non tocca la quadrica assoluto Zu\ = 0, possiamo fargli
corrispondere il quaternione normalizzato
(1.53)
u = uoe0 -+- uiei -f u2e2 -\- used ,
uu = ul
con
-f u\ + M| -h ^1 = 1 •
Uequazione del piano n
(1.54)
^o^o+ ^ i ^ i + u%oc%~\- usx%= 0
si può scrivere con i quaternioni nelle due forme
(1.55)
ux-\- xu — 0
o
ux-\-xu=0
Così si ottengono facilmente le seguenti rappresentazioni:
1) degli scorrimenti sinistri di CLIFFORD
(1.56)
x'=ax,
u'=au
2) degli scorrimenti destri di CLIFFORD
(1.57)
x'=xb,
u'=ub
.
9. Un elemento di superficie, composto del piano u e del
punto x è rappresentato da una coppia normalizzata di quaternioni
(x;u) che soddisfa alla relazione di incidenza (55).
C'è allora uno ed un solo scorrimento sinistro u' = au, mediante
il quale il piano u dell'elemento di superficie (u, x) è trasformato
nel piano improprio u' = e 0 ; il cui quaternione a si ottiene da
12
154
u = e0 — au ed è
(1.58)
a= u
Parimenti vi è uno ed un solo scorrimento destro u = ub, mediante il quale il piano u dell'elemento di superficie (u, x) è
trasformato nel piano all'infinito u = e 0 ; il cui quaternione b segue
da u = en — ub ed è
(1.59)
b=u
Il punto x dell'elemento di superfìcie
(u, x) è trasformato
Fig. 3
(fig. 3) mediante questi due scorrimenti nei due punti
(1.60)
xl = xu
oor = ux
del piano improprio. Chiamiamo xl il punto immagine sinistro ed
xr il punto immagine destro 'dell'elemento di superficie (u, x).
Questa rappresentazione dell'elemento di superficie (u,x) dello
spazio su una coppia di punti {xv xr) del piano all'infinito la si
— 155 —
deve essenzialmente a FUBINI. Anche per questa rappresentazione
vale il teorema fondamentale: se si sottopongono gli elementi di
superficie (u, x) ad uno scorrimento sinistro di CLIFFORD
(1.61)
X=ax,
U=au,
allora i loro punti immagine sinistra Xi nel piano e0 subiscono una
rotazione ellittica, i punti immagine destra xr restano fissi, cioè:
(1.62)
Xl=axla
,
Xr=xr
Viceversa, per uno scorrimento
(1.63)
X=xfi
.
destro
,
U=up ,
restano fisse le immagini sinistre xl e le immagini destre subiscono
in e0 una rotazione ellittica, cioè
(1.64)
Xl = xl ,
Xr = ~pxJ.
Per un qualsiasi movimento dello spazio ellittico le due immagini
Xi, xr nel piano e0 subiscono rotazioni ellittiche simultanee.
Tra le lunghezze di scorrimento sz e sr e gli angoli ellittici
di rotazione (pt e cpr sussistono di nuovo le formule
(1.65)
s,= %,
,r=f.
Dalle formule (60) segue
(1.66)
u = xxl = xrx ,
e da ciò
(1.67)
xr = xxlx
.
Gli elementi di superficie (x, u) di un punto fisso x hanno perciò punti immagine Xi,xr che sono legati da una rotazione del
piano ellittico.
Inversamente ad ogni rotazione (67) del piano ellittico appar-
— 156 —
tiene soltanto un punto x come punto immagine nello spazio ellittico, cioè quel punto x, le cui coordinate omogenee coincidono con
i parametri di EULERO della rotazione ellittica. Lo spazio è perciò
di nuovo lo spazio dei parametri dei movimenti del piano ellittico.
Del resto eliminando x da (60) si ottiene anche
(1.68)
xr = uxtu .
Se l'elemento di superfìcie (u, x) descrive un piano fisso u, allora
i suoi punti immagine xx,xr sono parimenti legati da una rotazione
ellittica.
I movimenti (67) e (68) sono identici quando è x—u, cioè
quando il punto x e il piano u sono fra loro polari rispetto alla
quadrica assoluto.
Quest'ultima rappresentazione è di particolare importanza per
lo sviluppo della geometria differenziale ellittica. Mediante essa
una striscia di superficie nello spazio ellittico (u(t),x(t))
è rappresentata su un'arbitraria coppia di curve {xi(t), xr(t)} del piano
ellittico (fìg. 4), o una superficie su una corrispondenza di campi
Fig. 4
— 157 —
piani (xi) e (x,), e con ciò la geometria differenziale ellittica delle
strisce e delle superficie si riflette in proprietà ellittiche di queste
coppie di curve e, rispettivamente, di questi campi.
Per esempio vale, secondo FUBINI, il teorema, che i campi
immagini (xi) e (x,) di una superficie x sono sempre fra loro equivalenti (in senso ellittico).
Non ho l'intenzione di sviluppare in queste lezioni la geometria differenziale dello spazio ellittico, i cui risultati fondamentali
si devono a BIANCHI e FUBINI, e la cui elegante rappresentazione
analitica mediante quaternioni si deve prima di tutti a BLASCHKE.
Questa introduzione dovrebbe soltanto richiamare i fondamenti
classici della teoria dei gruppi della geometria dello spazio ellittico.
Vedremo come le rappresentazioni trovate per le rette e,gli elementi di superficie nei due casi limiti dello spazio ellittico, cioè
nello spazio quasi ellittico e nello spazio isotropo presentano precise analogie, che sono ricche di significato anche per questioni
di geometria euclidea.
IL - GEOMETRIA DELLO SPAZIO QUASI ELLITTICO.
1.
Lo spazio quasi ellittico, introdotto da BLASCHKE e da
GRUNWALD, è un caso limite dello spazio ellittico e possiede un
assoluto autoduale, consistente nei punti della coppia assoluta di
piani
(2.1)
xl + 4 = 0 ,
e nei piani della coppia di punti assoluti
(2.2)
u\ + u\ = 0 .
È utile introdurre coordinate cartesiane non omogenee (x, y, z) e
porre quindi
(2.3)
xQ : x i : oc2 : # 3 = z : ce : y : 1 ,
cosicché il piano improprio sarà ora rappresentato da x$ = 0. La
— 158 —
coppia assoluta di punti (2) è ora costituita dai punti assoluti di
PONCELET (fig.
(2.4)
5)
/± = (0:l:±i:0)
del piano z = 0 e la coppia di piani assoluti (.1) sono costituiti dai
Fig. 5
due piani complessi coniugati
(2.5)
i ± ... z= ±i
.
La retta di intersezione dei due piani assoluti coincide con la congiungente dei due punti assoluti. Indichiamo questa retta
(2.6)
«=[i + »_]=-[/ + /J
come la retta assoluta dello spazio quasi ellittico.
Parimenti, come la quadrica assoluto dello spazio ellittico possiede come generatrici due schiere di rette, anche l'assoluto dello
spazio quasi ellittico possiede due schiere di generatrici rettilinee
cioè due coppie di fasci di rette.
La prima coppia {destra) (fig. 6 r) è costituita dalle rette del
fascio di centro / + del piano i + , e del fascio di centro /_ del
piano i_. La seconda coppia (sinistra) (fig. 6 1) consiste delle rette
del fascio ( / + , i_) e del fascio (/_, i + ) ,
Un'arbitraria retta p dello spazio (che non interseca la retta
assoluta u) incontra poi una ed una sola coppia di generatrici della
159 —
u
Fig. 6r
Fig. 6 /
— 160 —
schiera sinistra ed una ed una sola coppia di generatrici della
schiera destra.
Con ciò anche nello spazio quasi ellittico si può definire un
parallelismo di CLIFFORD.
Due rette dello spazio p, q che incontrano la stessa coppia di
generatrici sinistre, si chiamano fra loro parallele a sinistra. Due
rette p, q che incontrano la stessa coppia di generatrici destre si
chiamano fra loro parallele a destra.
Mediante l'assoluto si può anche definire nello spazio quasi
ellittico una metrica proiettiva.
È utile per ciò introdurre le coordinate omogenee del punto
P(xo,x19X2,xs)9
che non deve appartenere all'assoluto, normalizzandole con la condizione
(2.7)
4 + wl=l .
Si devono allora distinguere, per la distanza quasi ellittica di due
punti P , P\ due casi. La retta congiungente i due punti p = \PPf |
può cioè 1) non intersecare la retta assoluta u = [J+ J_\ ovvero
2) intersecarla.
Nel caso 1) si ottiene per la distanza quasi ellittica s = PPr
la semplice formula
2.8
COS S ~
XQX$
- j - XZX%
.
Punti PP\ tali che c o s s = 0 , cioè s = nj2 si chiamano punti
ortogonali; essi sono una coppia di punti coniugati rispetto
all'assoluto.
Nel caso 2) la distanza quasi ellittica è nulla : s •= 0. Perciò
le rette che incontrano u si chiamano rette quasi isotrope. Si ottiene
invece la grandezza S —PPf mediante la formula
(2.9)
S*=(xi—xi'Y+(x%-x%'y
.
Uangolo quasi ellittico di due piani n9 ri si definisce in modo
duale. Questi segmenti e angoli sono invarianti per tutti gli automorfismi proiettivi dell'assoluto, che si possono essenzialmente
rappresentare come prodotti di scorrimenti di CLIFFORD.
— 161 —
2. Lo spazio ellittico può essere considerato, secondo STEPHANOS, come lo spazio dei parametri del gruppo delle rotazioni dello
spazio intorno ad un punto 0. Parimenti il gruppo dei movimenti
del piano possiede come spazio dei parametri lo spazio quasi
ellittico.
Si possono cioè rappresentare anche i movimenti piani secondo
STUDY con quattro parametri omogenei composti
bilinearmente.
Sia z=x-\-iy
un punto del piano di GAUSS. Ogni movimento
piano si può rappresentare mediante parametri complessi a, /5 con
una trasformazione lineare
(2.10)
3f=az + p,
N(a) = aa = l ,
o, se introduciamo coordinate
omogenee,
(2.11)
Z
con la trasformazione
lineare
°°'ò
0
omogenea
zi/=aQZi+PQZ0
(2.12)
z
o
=
,
Qzo '
Il fattore di proporzionalità complesso Qy^O può perciò essere
scelto in modo che il determinante
D = a.Q2
(2.13)
sia reale. Si può per es. scrivere
(2.14)
z / = (a 0 — ia3) zì-\-2i(ai-\zQ'=
(aQ + ia.ò)zQ ,
con il determinante reale
(2.15)
i<%) ^o
D = a20 + al .
— 162 —
Il movimento si esprime allora, se si separano reali e immaginari
(2.16)
(a* + ai) 00/= (aj — af) ^ + 2a 0 a 8 ® 2 + 2 ( f l l a 8 - a0a^) 00,
(a20 + ai) x%'=-
200¾^ + (aj - oj) a2 + 2 ( c ^ + a 2 a 3 ) a;3
(aJ + oS)<=
(flj + al)»..
Il movimento è regolare se Z > = a § - f - o | ^ 0 . Le quattro grandezze
omogenee (a 0 : a x : o 2 : a 3 ) si chiamano parametri di STUDY del
Fig. 7
movimento del piano. Il loro significato geometrico è molto
semplice. Se M(xm, ym) indica il centro di rotazione e <p Vangolo
di rotazione, si ha cioè (fig. 7)
(2.17)
a0:ai
:az:a3
=
ct
gf
:a?
m : :Km : 1
Per a3 = 0 si ottiene uno scorrimento con il vettore di scorrimento
(2.18)
a-
—2-*,
a0
2-i
a
163 —
Dai parametri aL e a/ di due movimenti piani si ottengono i parametri a" del movimento prodotto con le formule bilineari
(2.19)
a0
=a0a0
~
«3«3
a / ' = a 0 a / + a^aj -f a 2 a 3 '— tt3a./
tt ft
a 2 " = a 0 a 3 '4- a 2 a 0 ' +
3 /—
a a
i ;/
a3"=a0a3' + < W
Ciò si ottiene subito mediante la composizione delle trasformazioni
lineari relative (14), ossia con la moltiplicazione di matrici della
forma :
(2.20)
a=
a, — ia.ò
2i (ftj H- ia.zy
0
a0 + ia3
3. Si possono identificare queste matrici con i numeri ipercomplessi a quattro unità,
(2.21)
a = «0e0 + o^i + a 2 e 2 + a 3 e 3 = 2 a&i
»
che denominiamo quaternioni di STUDY. Per le quattro unità et
deve valere la tabella moltiplicativa
•Co
(2.22)
. e.z
• Ci
•c8
ca
e0 .
.eo
«i
e
e1 .
Ci
0
0
-e2
e2 .
c2
0
0
Ci
e3 .
c3
Co
-i
-Ci
~ c0
La prima unità e0 funge da unità 1. Ogni movimento piano corrisponde allora univocamente ad un quaternione di STUDY. La composizione (2.19) di due movimenti piani a e a' porta ad un movimento risultante a", ottenuto semplicemente per moltiplicazione
dei loro quaternioni di STUDY, cioè
(2.23)
aa/ = a"
— 164 —
Se si fa corrispondere ora al punto (xim. x2'-xH) del piano il quaternione vettoriale di STUDY
(2.24)
x = aj^-f a?ge2 -f a?3e8 ,
allora si possono esprimere anche le equazioni (16) del movimento
nell'unica semplice formula quaternionale
x/=a~1xa
(2.25)
9
ove è
(2 26\
a~} — a°e°
^
1
a
2 e 2~" a 3 e 3 _
a§ + al
a
_
aa
a
N(a)
il quaternione di STUDY reciproco di a, per il quale aa~l = a~l
a = e0.
Inoltre è
(2.27)
a = aQeQ — alei — a.ze2 — o 3 e 3
il quaternione coniugato ad a e
(2.28)
N(a) = aa = al + a*
la norma di a.
N(a) 7^ 0 caratterizza i movimenti regolari e N(a) = 0 quelli
singolari. All'identità x' = x corrisponde la prima unità CL = CQ.
I punti x, che non appartengono all'assoluto, devono sempre
esser rappresentati con un quaternione normalizzato x, per cui
(2.29)
iV(aj) = ^ + a?5 = l
parimenti movimenti regolari a con quaternione
per il quale
(2.30)
normalizzato
a,
iV(a) = o§ + ol = l .
La formula (25) per i movimenti piani si scrive allora semplicemente
(2.31)
x'=axa
.
— 165 —
4. Giungiamo allo spazio dei parametri
piani, se i parametri di STUDY (a 0 : a i : a2\ a3)
piano indicano coordinate omogenee di punto in uno
ciamo nello spazio anche coordinate cartesiane
(x, y, £,), ponendo
(2.32)
dei movimenti
del movimento
spazio. Introdunon omogenee
aQ: a^. a%: a$ = z: tv: y :1 .
Agli scorrimenti piani (a 3 = 0) corrispondono allora nello spazio
dei parametri punti impropri e alle rotazioni ( « 3 ^ 0 ) punti propri.
All'identità a^O, a1 = a2 = a3~0
(relativa al quaternione normalizzato a=e0) corrisponde il punto fondamentale
( 1 : 0: 0 : 0),
cioè il punto improprio dell'asse z. I movimenti singolari (N(a)
= al~{- al =0) hanno come immagini i punti della coppia di piani
(2.33)
z2+l = 0
cioè
' .z=±i
,
che precedentemente abbiamo indicato come coppia di piani assoluti dello spazio quasi ellittico.
Questa rappresentazione dei movimenti piani sui punti di uno
spazio, ha importanza essenziale nella più recente geometria descrittiva. Ivi essa è chiamata rappresentazione
cinematica.
Per indagare la struttura dello spazio dei parametri ricordiamo
la formula di composizione di due movimenti piani a e, a in un
movimento risultante a" che è rappresentato con la formula quaternionale
(2.34)
a"=aa'
.
Da N(a) = 1, N(a') = 1 segue per il teorema della norma
(2.35)
N(a") =N(a).N(a')
.
Se facciamo seguire al movimento regolare fissato di quaternione a un movimento variabile x •= a\ si ottiene come prodotto il
movimento % = d\ relativo al quaternione
(2.36)
x'=ax
.
Nello spazio dei parametri ai punti x corrispondono perciò i nuovi
.._ 1G6 —
punti x \ per le coordinate omogenee di questi punti si ha quindi
(2.37)
# 0 '=a 0 a? 0
— a$x%
x/= a%xQ+ « 3 ^ + a0a?2 — a,# 3
3
==
3 0
Questa è una trasformazione
(2.38)
' ^0^3 *
lineare regolare di determinante
4 = ^ ( a ) ) « = (flJ + aS)« = l .
Se viceversa facciamo seguire ad un movimento variabile di
quaternione x—a un movimento (regolare) fisso di quaternione
b = a', si ottiene come prodotto un movimento x = a'' di quaternione
(2.39)
xf=xb
e di coordinate
(2.40)
<=& 0 a>o
-¾%
# / = 6^0¾ + ÒQÌCJ + bsoc2 — b2oc3
x2'= b2x0~- bzx± + ò0a?2 + 64a?3
Questa è una trasformazione
(2.41)
lineare regolare con determinante
5=(JV(&))* = ( ^ + ò ! ) 2 = l -
Le formule (37) e (40) rappresentano nello spazio due gruppi continui a tre parametri di collineazioni, che sono commutativi ed
insieme generano un gruppo a sei parametri di collineazioni con la
rappresentazione
(2.42)
xf=axb
— 167 —
e di determinante
(2.43)
AB=(N(a)N(b)y
= ((«J + a J ) (è02 + / ¾ ) 2 = 1 .
Si chiamano nella più recente cinematica secondo STUDY sistemi
di movimenti \x\ e j#'J, quelli che dipendono fra loro dalla (42)
e sono fra loro equivalenti in modo naturale. Questo concetto naturale di equivalenza della cinematica piana appare nello spazio dei
parametri come la nozione di equivalenza del gruppo proiettivo (42).
5. Con le collineazioni (42) resta invariante oltre alla coppia
di piani assoluti x\ + x\ = 0 anche la coppia, di punti .assoluti
u>i+ul = 0. Lo spazio dei parametri è perciò uno spazio quasi
ellittico e il gruppo (42) è costituito dai movimenti quasi
ellittici.
Le trasformazioni proiettive (37) e (40) sono poi identiche
agli scorrimenti di CLIFFORD dello spazio quasi ellittico, che sono
fra loro commutativi. Più esattamente x = ax rappresenta gli scorrimenti quasi ellittici sinistri e x= xb gli scorrimenti quasi ellittici destri. Ogni movimento x = axb dello spazio quasi ellittico è
il prodotto commutativo di un ben determinato scorrimento sinistro
e di un determinato scorrimento destro.
Con un tale scorrimento di CLIFFORD tutti i punti x dello
spazio descrivono le rette p = [x, x'] di una congruenza lineare.
Se adoperiamo quaternioni di STUDY normalizzati N(a) = al -f- al = 1,
N(x) = xl -f #3 = 1, segue per il quaternione a dello scorrimento
sinistro x1— ax, che porta il punto x nel punto x'
(2.44)
a=afx
Se pijc=xixk/~xkxi/
sono le coordinate pliickeriane della traiettoria
p = [x, xf\ del punto x, segue esplicitamente da (41)
(2.45)
Poi~ì~P%a
p0Z~ì~Pu
jP03
Parimenti si ha per il quaternione normalizzato b dello scorri-
— 168 —
mento destro x = xb, che porta il punto x nel punto x,
(2.46)
b = xx'
donde segue
(2.47)
b.
K
= 0
Poi " P23
7½
Pu
Pos
Le equazioni (45) e (46) dicono che le traiettorie di uno scorrimento di CLIFFORD sinistro o destro formano congruenze lineari
dello spazio quasi ellittico. Con gli scorrimenti sinistri x = ax le
traiettorie formano le congruenze sinistre (45) e con gli scorrimenti destri x' = xb le congruenze destre (47).
Quando, secondo il caso 1), è
(2.48)
a3 ^ 0
e
6,5*0
queste congruenze sono ellittiche e le loro linee focali (assi) giacciono nell'una o nell'altra schiera di generatrici dell'assoluto.
Quando, secondo il caso 2), è
(2.49)
as = 0
ò3 = 0 ,
le traiettorie dello scorrimento giacciono in congruenze lineari
paraboliche, che possiedono come asse comune la retta assoluta u
dello spazio quasi-ellittico.
In tutti i casi, i punti x dello spazio sono spostati dello stesso
segmento s, o S nei punti x, ove nel caso 1), secondo la (2.8), è
(2.50)
COS 5 =
X0XQ
' + X%XS'= — ((VX* +
x'x)
e nel caso 2) dalla (2.9)
(2.51)
S= (x.L - < ) 2 + (x2 - x%y = (x-x')
. (x-x')
.
Le traiettorie di uno scorrimento sinistro o destro si chiamano
rispettivamente parallele a sinistra o parallele a destra.
— 169 —
6. Su ogni retta p, che non incontra la retta assoluta u
(JP 03 ^ 0) c'è un'involuzione di punti ortogonali (x, %'); per essa
è S = JI!2, cioè
(2.52)
xx'+o/x=0
.
Lo scorrimento sinistro x = ax, che porta x in #', porta poi il
punto fondamentale x=e()
(punto improprio E0 dell'asse z) nel
punto ad esso ortogonale
(2.53)
aeQ= a=so'x = xl .
Le rette p = \x, x'] e p ? = [ e 0 , xt\ sono poi, come traiettorie dello
stesso scorrimento sinistro, fra loro parallele a sinistra e giacciono
nella stessa congruenza sinistra (45). Parimenti lo scorrimento
destro x' = xb, che porta il punto x in x\ muta il punto fondamenta/e x = e0 nel punto ad esso ortogonale
(2.54)
e0b=b=mx'={cr
.
Le rette p = |:*;, a;'] e p r = |e 0 , xr\ sono allora, come traiettorie della
stessa traslazione destra, parallele a destra fra loro.
I due punti ortogonali ad e0
(2.55)
xl = x'x=(p0i
+ p2d)ei +
(p0i+pBl)e2+p03eìi=pl
^ = ^ = ( ^ 0 1 - ^ : 0 ^ + ( ^ 0 2 - ^ 3 1 ) ^ + /^0363==^
giacciono nel piano e0(x0 = 0) ed individuano viceversa univocamente la retta p = \x9 x'] nello spazio. Indichiamo xL come il punto
immagine sinistra della retta p, e xr come il punto immagine
destra di p.
Questa rappresentazione delle rette p dello spazio mediante i
due punti immagine pz e pr del piano z = 0 si dice la rappresentazione cinematica delle rette p.
Dalla nostra costruzione segue che tutte le rette p, che tra loro
sono parallele a sinistra nel senso di CLIFFORD, possiedono lo stesso
punto immagine sinistra p z , parimenti tutte le rette p parallele a
destra hanno lo stesso punto immagine destra pr.
Le due immagini cinematiche (pt, p r ) di una retta p, che
interseca la retta assoluta u(pQ?i = 0), sono punti impropri.
13
— 170 —
Se si congiunge il punto fisso x dello spazio con tutti i suoi
punti ortogonali x\ si ottengono tutte le rette p = \x x'] del fascio
di centro x. Per i punti x' segue da (55)
(2.56)
x'=xlx
= xxr .
Donde segue
(2.57)
xr — xxxx
,
cioè, secondo (31) :
Le immagini cinematiche (xi,x,) delle rette del fascio x si
corrispondono in un movimento piano (fig. 8). Viceversa le coppie
Fig- 8
di punti (xifX,) di un movimento piano sono immagini cinematiche
delle rette di un fascio, il cui centro x (nello spazio dei parametri)
è il punto immagine di STUDY del movimento piano x.
Da ciò segue per es., che due rette p e p che si intersecano in
un punto x, possiedono coppie di immagini sinistre e destre equidistanti, cioè i segmenti xt x{ e xrXr hanno uguali lunghezze
(2.58)
xlx{ = xrx/
.
— 171 —
Di qui segue inoltre che anche le rette p hanno immagini cinematiche piane Xi,xn i cui campi sono fra loro congruenti. Questa congruenza dei campi {xi } e {xr} deve essere inversa, poiché una congruenza diretta è un movimento che porta alle rette di un fascio.
La rappresentazione cinematica fornisce anche un principio di
trasporto, mediante il quale le trasformazioni congruenti dirette
(movimenti) del piano sono rappresentate sui punti e le trasformazioni congruenti inverse (simmetrie) sui piani dello spazio quasi
ellittico.
Si può svolgere quindi nel piano euclideo la geometria quasi
ellittica spaziale in cui si considerino 1) i movimenti piani {x^-+
{xr} come "punti", 2) le simmetrie piane {xj)-*{xr} come "piani",
e 3) le coppie ordinate di punti (xl9 xr) come "rette".
Fra questi tre enti geometrici sussistono allora tutte le relazioni
della geometria proiettiva spaziale. Valgono anche tutti i teoremi
metrici dello spazio quasi ellittico. Alla distanza quasi ellittica p{p%
di due punti dello spazio corrisponde per es. la semidifferenza
— (<Pi~~(P2) dell'angolo di rotazione delle rotazioni corrispondenti
ai punti P19 P2.
Questa rappresentazione cinematica data da BLASCHKE ha una
proprietà molto importante di teoria dei gruppi. Se si applica alla
retta dello spazio p — [#,#'], con i due punti immagini cinematiche
(2.59)
xl = x'x
e
xr = xx/
un arbitrario scorrimento sinistro di quaternione a, si ottengono
dai punti x ed x i nuovi punti
(2.60)
X=ax
e
X' = ax' ,
e da p si ottiene una nuova retta P = [X, X'] parallela a sinistra
rispetto a p, relativa ai punti immagini cinematiche :
(2.61)
Xl = X/X=
a x' . ,T a = a(x'x) a — axla ,
Xr = XX' — X a . ax' = x(au) X = xr .
Se si a.ssoggetta viceversa la retta dello spazio p = [x, x~\ ad uno
— 172 —
scorrimento destro di quaternione /?, si ottiene una retta P = [X, X'],
parallela a destra rispetto a p, e si ha per le immagini cinematiche
di p e P
(2.62)
Xl = xl ,
Xr=~pxrp
.
Riassumendo segue da (61) e (62) il
TEOREMA FONDAMENTALE DELLA RAPPRESENTAZIONE CINEMATICA:
1) Per uno scorrimento sinistro quasi ellittico a di tutte le
rette dello spazio p il piano ^ dei punti immagini sinistre {ASJ
subisce un movimento (relativo al quaternione a), e il piano nr
dei punti immagini destre [x^ resta fisso.
2) Per uno scorrimento quasi ellittico destro (ì di tutte le
rette p dello spazio il piano nr dei punti immagini destre {xr}
subisce un movimento (relativo al quaternione /5'), il piano 7ix dei
punti immagini sinistre {^} resta fisso.
7. Si può presentare molto intuitivamente la rappresentazione cinematica della geometria dello spazio, se ci si riferisce
all'idea di STUDY.
Pensiamo il piano n ricoperto da <due fogli : il piano ^ dei
punti immagini sinistre {xt} ed il piano nr dei punti immagini
destre {#,.} delle rette p dello spazio. Pensiamo il piano immagine sinistra ut} fermo e il piano immagine destra nr mosso
con continuità su TZ1. La posizione del piano fermo JIX può
allora essere fissata in modo quanto mai semplice per mezzo di
un fissato elemento lineare e0 orientato, che può essere scelto
arbitrariamente in TT^ e deve essere indicato come elemento fondamentale. Le diverse posizioni del piano nr, mosso su nt, sono
allora individuate biunivocamente dall'elemento lineare orientato
e di nr, in cui si muta l'elemento fondamentale e0 mediante
questi movimenti (fìg. 9). Per esempio in tal modo al movimento
identico in nr corrisponde l'elemento fondamentale e0 stesso.
Ad ogni movimento xr = xxlx del piano nr sul pia/io TT^ corrispondente biunivocamente, mediante la rappresentazione cinematica, un punto x dello spazio quasi ellittico.
Riassumendo, con la scelta dell'elemento fondamentale e{) nel
piano fisso nx ogni elemento lineare orientato e del piano mosso nr
- - 173 —
è rappresentato biunivocamente su un punto x dello spazio quasi
ellittico (fig. 10). In particolare all''elemento fondamentale e0 di nf
/ i e
<
o
>
e0
Fig. 9
Fig. 10
corrisponde il punto fondamentale e0 dello spazio (punto improprio dell'asse z).
Secondo il teorema fondamentale corrisponde perciò nello spazio al movimento % che trasporta Velemento fondamentale e0 di nx
nell'elemento lineare orientato e di nr, lo scorrimento destro che
muta il punto fondamentale e{) nel punto immagine x di e.
Questa rappresentazione dei punti x dello spazio sugli elementi
lineari orientati e del piano nr è interessante in geometria per più
ragioni.
Vogliamo dapprima studiare come si mutano gli elementi immagine e dello spazio di punti x per uno scorrimento destro x = xp
dello spazio. Secondo il teorema fondamentale della rappresentazione cinematica il piano immagine sinistro 7ix 9 cioè Yelemento
fondamentale e0, resta fisso e il piano immagine destra nr subisce
un movimento %r'=f}xrp.
Ciò significa che per uno scorrimento
destro quasi ellittico gli elementi immagine di tutti i punti dello
spazio in nr subiscono uno stesso movimento.
Con uno scorrimento sinistro x' = ax dello spazio si muove
perciò solo il piano immagine sinistra Jin (xtf =axla), cioè il vecchio elemento fondamentale e0 di n^ è sostituito con un nuovo
elemento fondamentale e / = a e 0 = a, e il piano immagine destra nr
—
]74 —
resta fisso. Il primitivo movimento che porta il vecchio elemento
fondamentale e0 di nt nell'elemento immagine e di x, trasforma
perciò il nuovo elemento fondamentale ej di nx nell'elemento
immagine e' di %''. Poiché nello spazio scorrimenti destri e sinistri sono permutabili, anche nel piano i movimenti di nr rispetto
a 71¾ sono permutabili con lo scambio dell'elemento fondamentale
in nr Ciò equivale a dire che le figure degli elementi lineari
(e, e') in nr e (e0, e0') in 7i% sono fra loro congruenti (fig. 11).
Fig. 11
Molto semplicemente si può esporre questo effetto degli scorrimenti sinistri sugli elementi lineari come un'esercitazione militare sotto un comando unitario, in cui gli elementi fondamentali e
in TI,, imitano esattamente i movimenti dell'elemento fondamentale
e0 (del «caposquadra»). Tali movimenti di esercitazione comuni
degli elementi lineari sono per es. «ruotare a sinistra» (fig. 12a),
o «indietreggiare a destra» (fig. 126), o, più in generale, «ruotare intorno ad un punto centrale, con coordinate relative fissate,
dell'angolo cp" (fig. 12c), o movimenti comuni anche pia complicati
secondo l'esatta istruzione dell'elemento fondamentale e0 in ni -
--
175 —
Fi a. 12 a
-4-
Fig, 12 6
In ogni caso seguono da ciò i due
Fig. 12 e
risultati:
1) I movimenti delle esercitazioni militari nel piano formano un gruppo.
2) I movimenti qualunque e i movimenti delle esercitazioni
militari sono fra loro permutabili.
Questi due risultati valgono inoltre per un qualunque numoro di dimensioni.
Riassumendo si ottiene per la nostra rappresentazione cinematica dello spazio di punti x sugli elementi lineari orientati e del
piano il seguente
: 1) Due sistemi di punti {x}, {x'} dello
spazio quasi ellittico, che sono legati da uno scorrimento destro
x' = xf$, hanno come immagini cinematiche due sistemi di elementi
lineari orientati {e}, {e'}, che dipendono fra loro da un movimento piano.
2) Due sistemi di punti {#}, {x'} dello spazio quasi ellittico,
che dipendono fra loro per uno scorrimento sinistro x'=ax, hanno
TEOREMA FONDAMENTALE
— 17G —
come immagini cinematiche due sistemi di elementi lineari orientati {e}, {e'}, che dipendono in un movimento piano di esercitazione.
Nel piano i movimenti e i movimenti di esercitazione militare
dipendono in modo continuo da tre parametri. Il loro prodotto
commutativo è perciò un gruppo continuo a sei parametri G«.
Due sistemi di elementi lineari orientati, che constano di una
trasformazione del gruppo G«, cioè dell'applicazione successiva
(commutativa) di un arbitrario movimento e di un movimento di
esercitazione, sono equivalenti fra loro nel senso della più recente
cinematica. A due sistemi di elementi lineari orientati siffatti corrispondono mediante l'immagine cinematica due sistemi di punti
nello spazio quasi ellittico, che separatamente costituiscono un
movimento quasi ellittico. Si deve questo naturale concetto di equivalenza della cinematica ad E. STUDY.
8. Con una determinata scelta dell'elemento fondamentale e0
nel piano fisso TZZ una schiera continua di elementi lineari orientati {e} in nr rappresenta una schiera continua di movimenti
piani. L'immagine cinematica di essa nello spazio quasi ellittico
è una curva continua o una superficie (a seconda del numero
dei parametri della schiera).
Le più semplici configurazioni di elementi lineari orientati {e}
in nr si ottengono, quando si rappresentano cinematicamente i punti
di una retta p o di un piano e. Indaghiamo dapprima, circa gli
elementi immagine dei punti P di una retta p, con i due punti
immagini cinematiche pt e pr propri. La retta p allora non incontra la retta assoluta u.
La retta p può essere considerata nello spazio quasi ellittico
come traiettoria di uno scorrimento sinistro continuo di CLIFFORD.
In questo scorrimento sinistro i punti dello spazio descrivono
rette p parallele a sinistra rispetto a p, cioè rette con punti immagini cinematiche sinistre pt == px comuni. Queste rette parallele
sinistre sono permutate fra loro mediante gli scorrimenti destri.
Perciò si scambiano i loro punti immagini cinematiche destre
pr e p,.. Secondo il teorema fondamentale, le rette p, p fra loro
parallele sinistre hanno quindi come immagini cinematiche dei
loro punti sistemi di elementi lineari orientati congruenti.
Fra queste rette parallele sinistre della data retta p figura
anche una retta (perpendicolare) che contiene il punto fondamen-
— 177 —
tale e0 (punto improprio dell'asse z), i cui due punti immagini
cinematiche secondo la (55) coincidono (pi = pr). I punti P di
questa retta p si rappresentano cinematicamente su una rotazione
di iTr rispetto a nv il cui centro di rotazione è il punto Pi=prGli elementi immagini e dei punti P della retta p si ottengono
perciò dall'elemento fondamentale e0 per rotazione intorno al punto
Pt^pr.
Essi formano nel piano nr una schiera di rotazione di
elementi lineari orientati o (nel senso di KASNER) una turbina
per l'elemento eQ di centro il punto pL = pr (fig. 13).
Fig. 13
Ogni retta p parallela sinistra di p ha allora come immagine
cinematica una turbina congruente ad essa, il cui centro è il suo
punto immagine destra pr.
Con ciò abbiamo conseguito il seguente risultato (fig. 14):
Gli elementi immagini orientate e del punto P di una arbitraria retta p formano in generale (poa^O) una turbina, il cui
centro è il punto immagine cinematica destra pr di p, e che è congruente alla turbina, che descrive Velemento fondamentale e0 nella
rotazione attorno al punto immagine sinistra pt di p.
Quando in caso particolare la retta p interseca la retta asso-
Fig. 14
Pl-Pl^Pr
Fig. ]5
Fig. 16
— 179 —
luta u (p 03 = 0) i suoi punti immagini cinematiche p { e p,. sono
impropri. Come immagine di questa particolare retta p si ha una
turbina rettilinea, costituita dagli elementi lineari paralleli di una
schiera di traslazione rettilinea (fig. 15).
Due rette che si intersecano p, p hanno un punto P dello spazio
comune; le loro due turbine immagine hanno allora comune l'elemento immagine e di P. Tali turbine si dicono tangenti fra loro
(fig. 16).
9. Le turbine più interessanti sono i cerchi orientati (cicli)
(fig. 17) e (nel caso particolare delle turbine rettilinee) le rette
Fig. 17
Fig. 18
orientate (frecce) (fig. 18). Questi cerchi e rette orientate sono le
immagini di quelle rette p dello spazio i cui punti immagini cinematiche sinistre pl giacciono sulle normali dell'elemento fondamentale e0 scelto in nx.
Quando l'elemento fondamentale e0 è scelto nell'origine 0 di
jr,t ed ha la direzione dell'asse x positivo (fig. 19), allora i citati
punti immagini sinistre/^ in 7it giacciono sulla retta # = 0 . Infatti
per la (55) è
(2.63)
/>oi-r-/>88 = 0.
Le rette p dello spazio, i cui punti P si rappresentano sugli eie-
— 180 —
menti lineari di un cerchio orientato o di una retta orientata, giacciono così in un complesso lineare (regolare) di equazione (63),
che indicheremo brevemente come complesso fondamentale.
Jy
Pr
Pi
o
Fig. 19
Nel caso delle rette orientate pl sta all'infinito e accanto alla
(63) vale anche la relazione
(2.64)
Po-s
0
Poiché il complesso fondamentale (63) contiene la retta assoluta u
come retta complessa, tutte le rette p dello spazio che soddisfano
le equazioni (63) e (64) individuano una congruenza lineare parabolica di rette, che chiameremo congruenza fondamentale.
Le rette p dello spazio, i cui punti si rappresentano sugli elementi lineari di una retta orientata, appartengono alla congruenza
fondamentale parabolica
(2.65)
/>01+^23=0
POS
0.
Se per la retta p dello spazio si ha
(2.66)
/\)i+J>g8=0,.
P02 + PSÌ=Q >
il suo punto immagine sinistra pt giace in e0 (nell'origine di ^ ) .
Mediante la rotazione di e<, intorno a p z , si ottengono poi gli elementi lineari orientati del punto pt, che formano un punto orientato (fig. 20). Le equazioni (66) rappresentano una congruenza
181
ellittica lineare di rette contenuta nel complesso fondamentale (63),
che brevemente indichiamo come congruenza fondamentale ellit-
tica. Di qui segue infine:
Le rette p dello spazio i cui punti si rappresentano sugli elementi lineari di un punto orientato, formano la rete ellittica fondamentale.
Le rette p, p del complesso fondamentale che si intersecano in
un punto P, hanno come immagini cinematiche due cerchi orientati,
che si toccano nell'elemento immagine e del punto d'intersezione P
(fig. 21).
Fig. 21
— 182 —
La rappresentazione cinematica del punto P dello spazio quasi
ellittico sull'elemento lineare orientato e del piano TI,, è così una
realizzazione costruttiva molto semplice della famosa trasformazione di contatto stabilita da S. LIE, per mezzo della quale le rette g
di un complesso lineare sono rappresentate sui cerchi orientati (cerchi di LIE) di un piano.
Ogni complesso lineare regolare ammette un gruppo di automorfismi proiettivi, che dipende in modo continuo da 10 parametri.
Al gruppo §10 degli automorfismi del complesso fondamentale corrisponde nella nostra rappresentazione cinematica nel piano nr
il gruppo G10 delle trasformazioni circolari di L I E . In esse gli
elementi lineari orientati sono trasformati in elementi lineari orientati in modo che ogni cerchio orientato è trasformato in un cerchio
orientato (in particolare in una retta orientata o in un punto
orientato).
Il gruppo @10 degli automorfismi proiettivi del complesso fondamentale comprende due importanti sottogruppi.
1) Il gruppo § 7 degli automorfismi proiettivi della congruenza parabolica fondamentale e
2) il gruppo % degli automorfismi proiettivi della congruenza ellittica fondamentale.
Mediante la rappresentazione cinematica si ottengono due importanti sottogruppi del gruppo d o delle affinità circolari di L I E ,
cioè:
1) il gruppo G7 delle trasformazioni circolari di LAGUERRE,
per il quale a rette orientate corrispondono nuovamente rette orientate, e
2) il gruppo G(} delle trasformazioni circolari di M Ò B I U S , pelle quali ai punti orientati corrispondono di nuovo punti orientati.
10.
Applicazioni :
1) Ci occupiamo dapprima dell'immagine cinematica del
punto P di un piano e. In ogni piano E giace un fascio di rette del
complesso fondamentale che si tagliano nell'origine P* del piano e.
Questo punto P* si rappresenta cinematicamente su un elemento
lineare orientato e*. Tutte le rette del complesso fondamentale
giacenti nel piano e hanno così come immagini cerchi orientati
per e* (fig. 22).
I punti P di un piano e hanno anche come immagini cinema-
- - 183 —
Fig. 22
Fig. 23
tiche gli elementi lineari conciclici con un fissato elemento lineare e*
(che indichiamo con campo conciclico). È valido anche il viceversa.
Si può evidentemente interpretare l'intera geometria proiettiva
dello spazio come una geometria degli elementi lineari orientati
nel piano. Ai punti, rette e piani dello spazio corrispondono così
nel piano gli elementi lineari orientati, le turbine e i campi conciclici.
2) Tre arbitrari punti dello spazio Plf P2, P* stanno sempre
per es. in un piano e. Per mezzo della rappresentazione cinematica
segue da ciò un noto
: Tre arbitrari elementi lineari orientati e\, e-y, eH del piano sono sempre conciclici ad un quarto elemento lineare e* (fig. 23).
Anche la metrica quasi ellittica si può trasportare cinematicamente nel piano.
3) Il problema dei contatti di APOLLONIO richiede di trovare
i cerchi orientati, che toccano tre dati cerchi orientati el5 e2, e;}.
TEOREMA DI STEPHANOS
— 184 —
Mediante la rappresentazione cinematica a questi cerchi orientati corrispondono rette del complesso fondamentale. Il problema
di APOLLONIO acquista allora la seguente forma proiettiva.
Date nello spazio tre rette arbitrarie gu g<>, gn del complesso
fondamentale, si cerchino le rette del complesso che le intersecano.
La soluzione proiettiva è semplice. Le tre rette g\, g2, g* determinano una schiera rigata {g} di una quadrica, di cui tutte le
rette appartengono al complesso fondamentale. Nella schiera delle
generatrici della quadrica vi sono allora due e soltanto due generatrici hu ho, che sono contenute nel complesso fondamentale. Ad
esse corrispondono i due cerchi di contatto di APOLLONIO relativi
ai tre cerchi dati.
1 1 . La rappresentazione con i cerchi fa corrispondere agli
elementi lineari orientati e del piano nr delle rette g, che rispetto
al piano immagine nr sono inclinate a 45° e si innalzano «da
sinistra in alto» (guardando da e) (fig. 24). I punti impropri di
queste rette g giacciono su una conica k, che possiamo considerare
come conica assoluto di uno spazio pseudoeuclideo. Le anzidette
rette a 45° sono allora rette pseudoisotrope.
Fig. 24
— J85 —
Le sfere di questo spazio hanno poi le equazioni
(2.67)
^ - a)2 + (y -bf
-(z -c)2= r2 .
Una sfera orientata è poi tale che su di essa è distinta una delle
due schiere di generatrici (pseudoisotrope). Le sfere nulle (r = 0),
cioè le sfere pseudoeuclidee minimali, hanno soltanto una sola
schiera di generatrici (pseudoisotrope).
Anche i piani
(2.68)
ux -f vy + wz = cost
possiedono, quando è
(2.69)
H*+U*-U;25*0
due schiere di rette pseudoisotrope. Se si contrassegna una di
queste due schiere, si ottiene un piano orientato dello spazio pseudoeuclideo. Soltanto i piani pseudoisotropi con
(2.70)
ui + v2-w2
=0
(piani tangenti della conica assoluta k) hanno soltanto una ed una
sola schiera di generatrici pseudoisotrope.
Mediante la rappresentazione con i cerchi, ad una sfera orientata (rv^O) corrisponde una turbina (fig. 25) e ad una sfera minimale (sfera di raggio nullo) un cerchio orientato (fig. 24). Sfere
orientate tangenti sono quindi quelle che hanno una generatrice
comune.
Inoltre ad un piano orientato corrisponde, nella rappresentazione con i cerchi, una turbina rettilinea e ad un piano minimale
una retta orientata. Queste corrispondenze sono biunivoche.
Si può far seguire alla rappresentazione cinematica delle rette
dello spazio quasi ellittico sulle turbine del piano nr la rappresentazione mediante cerchi delle turbine di nr sulle sfere orientate,
dello spazio pseudoeuclideo. Si ottiene allora una realizzazione
geometrica molto semplice di quelle note trasformazioni di contatto
di S. L I E che mutano rette in sfere (orientate) e rette che si incontrano in sfere che si toccano. Lo spazio delle rette ha perciò una
struttura quasi ellittica e lo spazio delle sfere quasi euclidea.
u
— 186 —
Fig. 25
Segue facilmente che, p. es., alle rette del complesso fondamentale corrispondono le sfere isotrope dello spazio. A due rette
che sono mutuamente polari rispetto al complesso fondamentale,
corrispondono due sfere orientate tra loro supplementari, cioè
sfere distinte per lo scambio di una schiera di generatrici nell'altra.
12. Vorrei con ciò chiudere la mia esposizione della teoria
e applicazioni dello spazio quasi ellittico. Ci siamo occupati soltanto di questioni di geometria algebrica.
La geometria differenziale dello spazio quasi ellittico è stata sviluppata molto elegantemente da W. BLASCHKE. Essa costituisce un
adeguato mezzo sussidiario per lo studio delle proprietà differenziali dei movimenti del piano ad uno o a due parametri.
— 187 —
III. — GEOMETRIA DELLO SPAZIO ISOTROPO.
1. Anche il così detto spazio isotropo è un più estremo caso
limite dello spazio ellittico. Il suo assoluto è costituito da un fascio
di rette contato due volte, il cui piano £ sia il piano improprio e il
cui centro Z sia il punto improprio dell'asse z (asse # 3 ). Anche
nello spazio isotropo vi sono due gruppi commutativi di scorrimenti
di CLIFFORD, che insieme individuano un certo gruppo di movimenti isotropi.
Potremmo considerare lo spazio ellittico come spazio dei parametri dei movimenti di un piano ellittico, e parimenti potremmo
considerare lo spazio quasi ellittico come spazio dei parametri dei
movimenti del piano euclideo. Lo spazio isotropo può essere considerato come spazio dei parametri dei movimenti di un piano
isotropo.
Un piano isotropo possiede come piano tangente della conica
assoluta soltanto un unico punto assoluto, che sceglieremo come
punto impròprio dell'asse y. Tutte le direzioni isotrope del piano
sono così parallele all'asse y. La y - direzione isotropa è ortogonale a tutte le direzioni del piano (anche a se stessa).
Come movimenti del piano isotropo (brevemente detti movimenti isotropi) definiamo poi il gruppo continuo Gs delle affinità
equivalenti (cioè che conservano le aree o equiaffinità), rappresentato da
x'
=bì-{-x
(3.1)
Si può molto semplicemente rappresentare questo gruppo GA mediante i così detti numeri duali. Poniamo
(3.2)
z = so-\-sy ,
ove per Vunità duale e deve valere la regola di calcolo
(3.3)
«2 = 0 .
188
Se anche
(3.4)
a=
$ = ^ + 80,
1 + ECLc
sono numeri duali, si possono scrivere i movimenti isotropi
più brevemente nella forma di trasformazioni lineari duali
(3.5)
z'=az+fi
(1)
.
In effetti da
a?'+ a / = (1 + ea2) (x + sy) + (ò 4 + sb2) = (64 + aj) + fi(64 + a 2 # + y)
seguono le (1) separando le quantità reali e duali.
Possiamo ora anche rappresentare i movimenti isotropi per
mezzo di quattro parametri omogenei (a 0 : av: a2: a») composti bilinearmente. Si può cioè scrivere la trasformazione lineare (5) nella
seguente forma omogenea
,
(a0+ea2)z + (c^ + ec^)
z =
(a 0 — ea2)
(3.6)
a determinante
reale
(3.7)
(a 0 + ea2) (a 0 — ea2) = aj ^ 0 .
La composizione di due movimenti isotropi (a 0 : o^: a2: a 3 ) e
(o' 0 : a\: a'2: a' 3 ) si ottiene allora mediante la moltiplicazione
delle matrici di trasformazione
(3.8)
a0'+ea/
a{ + za2
0
OQ'
gOg'
a0 + ea3
ax + ea2
0
a 0 —ea 3
e dà luogo alle formule bilineari del prodotto
r
a "=ana/
o n- "o^o
(3.9)
a 3 " = a 0 a 3 ' + a 3 a 0 ' + ava^ — a2ai'
— 189 —
Si possono interpretare queste formule (9) come legge di moltiplicazione di un sistema di numeri ipercomplessi
(quaternioni
isotropi)
(3.10)
a= a 0 e 0 + aìei+a2e2+
a.se.ò
per le cui unità è :
(3.11)
•e8
.e0
•Ci
e0 .
e0
Ci
«2
«3
^1 •
Ci
0
«3
0
e2 •
e
2
— c3
0
0
e.ò.
6
3
0
0
0
. e2
Le formule (9) si scrivono allora semplicemente
(3.12)
a" = aa!
e0 è Yunità principale, in modo che si può porre e 0 = 1. Il quaternione coniugato ad a è
(3.13)
a —
tt060
O'ì^i — #2^2
^3^3
e la norma di a è
(3.14)
N(a) = aa = a\e§ = aj .
Per i movimenti isotropi regolari si può normalizzare il quaternione a con la condizione
(3.15)
N(a) = a20=--1 .
2. Si ottiene ora lo spazio dei parametri dei movimenti
isotropi (6), se si interpretano le grandezze (a 0 : axi a2: a3) come
coordinate omogenee di un punto a nello spazio. Più tardi useremo
anche coordinate non omogenee (x, y, z) scrivendo
(3.16)
x0 : xx : x2 : xd = 1 : x : y : z .
— 190 —
Abbiamo con ciò conseguito la rappresentazione cinematica relativa al piano isotropo.
Nello spazio immagine cinematica esistono di nuovo due scorrimenti di CLIFFORD. Se si fa cioè seguire al fissato movimento
isotropo, rappresentato dal quaternione a, un moviménto variabile
x = a, si ottiene da (12) come prodotto un movimento x, relativo
al quaternione
(3.17)
x = ax .
Nello spazio dei parametri si ottiene così il gruppo di collineazioni
X.K '—=- a.iXr\~J"
UriXi
(3.18)
•
% '
=
a
'òX0 — a 2 ^ i +
a
i
X
2+
a
0X2
che permuta i punti dello spazio in modo semplicemente transitivo.
Questo è il gruppo a tre parametri degli scorrimenti sinistri di
CLIFFORD dello spazio dei parametri.
Viceversa, se facciamo seguire ad un movimento variabile del
piano isotropo, rappresentato dal quaternione % = a il movimento
fissato b == a', si ottiene come prodotto un movimento, relativo al
quaternione
x/ = xb
(3.19)
Nello spazio dei parametri si ottiene perciò il gruppo di collineazioni
b 0x 0
X„
Xi
(3.20)
X%
— O.i XQ~|~
r==
- OOXQ
UQX.I
I UQX^
a?3' = bsx0 + b^x^ — 6 ^ 2 + hx% >
che permuta i punti dello spazio in modo semplicemente transitivo.
191
Questo è il gruppo a tre parametri degli scorrimenti
destri di
CLIFFORD.
Il prodotto dei gruppi (17) e (18) è il gruppo
xf = axb
(3.21)
che tuttavia non dipende da sei, ma soltanto da cinque parametri
essenziali, poiché i due scorrimenti di CLIFFORD (18) e (20) hanno
in comune il gruppo ad un parametro
^o — c o^o
xì =
(3.22)
a? a =
c0xl
CQ#2
+ c0#3
(C,s — c 3 0 / 0
Indichiamo il gruppo (21) a cinque parametri come gruppo
dei movimenti isotropi dello spazio. In questi movimenti il piano
x0 = 0 (piano improprio o assoluto £) è invariante, così come il
punto assoluto in esso giacente Z (0, 0, 0, 1). Sono inoltre invarianti tutte le rette del fascio (Z, £). Lo spazio dei parametri dei
movimenti (6) del piano isotropo ha quindi la struttura di uno
spazio isotropo.
Mediante gli scorrimenti sinistri di CLIFFORD X — ax e gli
scorrimenti destri x = xb, i punti dello spazio sono permutati
in modo semplicemente transitivo. Le traiettorie p = [xx~\ di questi
scorrimenti giacciono perciò nelle congruenze lineari paraboliche
di rette di equazioni
(3.23)
(3.24)
a*
a.
a.
Poi
JP02
P0S+P12
bi
b2
POI
P02
= 0
= 0
Pm—Pn
Gli assi di queste congruenze paraboliche appartengono al fascio
(Z, C) del piano assoluto.
— 192
Ogni retta p — [xx"\ dello spazio isotropo può essere considerata, viceversa, secondo le (23) e (24), come traiettoria tanto di
uno scorrimento sinistro, che di uno scorrimento destro. Per i quaternioni di questi scorrimenti si trova
(3.25)
a = x'x = x0oc0'e0+poiei + p02e2+(p0.ò+pi2)e.ò
b = xx' = x0(o0'e0+p0iei+p0ie2+
»
Q?03—pi2) e3 .
Naturalmente, come è accaduto specificatamente nel caso del piano
euclideo, si può sviluppare ora la cinematica del piano isotropo,
in corrispondenza alle idee di STUDY. Come rappresentanti delle
singole posizioni del piano isotropo è perciò sufficiente assumere
i suoi elementi lineari non orientati. Con la scelta di un elemento
fondamentale e„ come immagine del punto fondamentale e0 (origine 0 = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) dello spazio), ogni ulteriore elemento lineare e
del piano isotropo individua esattamente un movimento (1), che
porta e0 in e, e perciò esattamente un punto immagine x = e nello
spazio isotropo dei parametri.
La rappresentazione degli elementi lineari del piano (isotropo)
sui punti dello spazio (isotropo) risale già a S. LIE. Alle rette dello
spazio corrispondono in essa turbine paraboliche del piano isotropo. Ma non ci vogliamo addentrare in questo argomento.
3. Similmente agli ordinari scorrimenti paralleli, anche le due
specie di scorrimenti di CLIFFORD determinano due distinte specie
di parallelismo fra gli elementi di superficie E (x, y, z, p, q) dello
spazio isotropo.
Precisamente : elementi di superficie paralleli a sinistra dello
spazio isotropo sono quelli che si ottengono gli uni dagli altri mediante uno scorrimento destro. Elementi di superficie paralleli a
destra sono quelli che si ottengono uno dall'altro mediante uno scorrimento sinistro.
Poiché anche i piani dello spazio isotropo sono permutati fra
loro in modo semplicemente transitivo dai due gruppi di scorrimenti, esistono uno ed uno solo scorrimento sinistro, ed uno ed uno
solo scorrimento destro che trasformano il piano e dell'elemento
superficiale E(x, j , z, p, q) nel piano immagine TI fissato di equazione
(3.26)
2= 0,
cioè
o? 3 =0 .
193
Si ottengono così in n due elementi immagine
punti possiedono le seguenti coordinate
(3.27)
E7
xx = x + q
Et ed Er, i cui
xr = x — q
Er
{
yr=y+p
Chiamiamo El ed Er rispettivamente punto immagine cinematica
sinistra e destra dell'elemento di superfìcie E (fìg. 26).
Inversamente mediante questi due punti immagini cinematiche
(Ev £,.) l'elemento di superficie E è individuato soltanto a meno
di scorrimenti nella direzione dell'asse z (scorrimenti isotropi).
Da (26) segue cioè
x =
(3.28)
y=
p
2
yi+yr
Jr
•Ji
2
xr
Xx
2
z = arbitrario.
Da ciò segue: la proiezione E (%, y) dell'elemento di super-
Fig. 26
— 194 —
ficie E è il punto medio dei due punti immagini cinematiche
Ev Er di E.
Gli scorrimenti di CLIFFORD (18) e (20) dello spazio isotropo
appaiono in proiezione (proiezione normale sul piano z=0) come
traslazioni Tt e Tr, e ciò si riconosce dalla loro rappresentazione
non omogenea; questa è per gli scorrimenti sinistri
x,=Ai-^-x
(3.29)
p'= — A2 + p
y'=A2
+y
q'=~hA.L + q,
Z'=A3 — AjX + Atf + Z ,
e per gli scorrimenti
destri,
xf = Bì-\- x
(3.30)
p'=+Ba + p
y' = B2
+y
z'=B.s-{-B2x
-Bj+z
q
-Bi + q
.
Se l'elemento di superficie E è portato dallo scorrimento (29)
o (30) nell'elemento di superficie E\ le sue due immagini cinematiche dipendono fra loro mediante le relazioni
(3.31)
xl'-=2Ai + xl
y{=2A%+yx
x/=2B^xr
,
yr' = 2B.2-\-yr .
Di qui segue il
TEOREMA FONDAMENTALE
della rappresentazione
cinematica dello
spazio isotropo :
Per uno scorrimento sinistro (29) dello spazio isotropo le
immagini sinistre Ex dell'elemento di superficie E subiscono una
traslazione 2T Z , le immagini destre Er restano fisse. Per uno scorrimento destro (30) le immagini sinistre Ex restano fisse e quelle
destre Er subiscono una traslazione 2Tr (fig. 2 7 ) .
Tutti gli elementi di superficie paralleli a sinistra fra loro hanno
lo stesso punto immagine sinistra. I loro punti e piani sono punti
— 195 —
Fig. 27
nulli e piani nulli in un sistema nullo Nt di equazione
(3.32)
Z-z = +
X
Y
1
x
y
1
X
yi
i
Parimenti tutti gli elementi di superficie E paralleli a destra fra
loro hanno lo stesso punto immagine destra Er; essi formano gli
elementi di superficie di un sistema nullo Nr di equazione
(3.33)
Z~z
= -
X
Y
1
x
y
1
xr
yr
1
4. Prima di dare alcune applicazioni di questo concetto, vogliamo fare alcune osservazioni sulla geometria dello spazio iso-
— 196 —
tropo. Nello spazio isotropo è privilegiata la direzione dell'asse z,
che è indicata dal punto assoluto z. Ci sono inoltre da distinguere,
fra le infinite rette improprie uscenti da z, due rette fisse come rette
assolute. Scegliamo nel piano improprio t = 0 la coppia di rette
assolute di equazioni
(3.34)
^+/=0,
* = 0,
Questa coppia di rette può poi considerarsi come la conica
assoluta spezzata dello spazio isotropo, e può essere scelta come
assoluto di una metrica.
Uelemento d'arco ds di questa metrica isotropa ha allora la
semplice forma:
(3.35)
ds2 = dx2-\-dy2
.
Per i piani si ha la forma normale
(3.36)
z=ux-\- vy 4- w
e per Velemento angolare si ha dualmente
(3.37)
do2 = du2-j- dv2 .
La coppia di rette assolute (34) è invariante rispetto al gruppo
a sei parametri delle affinità
x' =a-\- x cos cp — y sin <p
(3.38)
y' =b-\-x
sin 99 -j- y cos 9?
z' — e -f- cxx -f- c2y + z
che contiene gli scorrimenti di CLIFFORD (29) e (30) come sottogruppi invarianti. Indichiamo queste affinità (38) che conservano
i volumi come movimenti generali dello spazio isotropo. I loro più
semplici invarianti sono Yelemento d'arco ds nella (35) e Velemento angolare do nella (37).
Per piani paralleli (u, v, w) e (u, v, w-\-dw) svanisce l'angolo do; in compenso esiste l'invariante dw.
Per punti paralleli (x, y, z) e (x, y, z-{-dz) svanisce la distanza
ds; ma si ha l'invariante dz.
— 197 —
Se si sottopone Velemento di superficie E dello spazio isotropo
ad un movimento generale (38), le sue immagini sinistre Et e
destre Er subiscono nel piano n un generico movimento piano,
cioè oltre a scorrimenti paralleli anche rotazioni, che tuttavia hanno lo stesso angolo di rotazione cp.
5. È ora facile sviluppare
curve e delle superficie, relativa
tropi generali. Abbiamo bisogno
mule.
La curva dello spazio riferita
la geometria differenziale delle
al gruppo G« dei movimenti isosoltanto eli alcune semplici foral proprio arco isotropo s
X=x(s)
(3.39)
y=-y(s)
X = X (s)
z = z (s)
possiede la curvatura isotropa,
(3.40)
V.
X
y
x"
y"
=
che coincide con la curvatura della sua proiezione ortogonale sul
piano z = 0, e possiede torsione isotropa
X
y
X
?
f
(3.41)
x"
/"
X
y
X
y'
z"'
Nello spazio isotropo c'è il vettore costante diretto secondo il punto
assoluto z
(3.42)
3 = (0,0,1)
ortogonale a tutte le altre direzioni e a tutti gli altri piani. Ogni
curva dello spazio possiede così in tutti i suoi punti lo stesso vet-
198 --
tore binormale b = 3 e d ogni superficie possiede ovunque lo stesso
vettore normale U = 3«
Le formule di FRENET assumono per la curva (39) la forma
seguente :
t' =
y-h
b'=
o
(3.43)
La striscia
(3.44)
x = x(s) ,
y = y{s) ,
z = 2(5) ,
p=p(s)
,
q=*q(s)
possiede anche nello spazio isotropo tre invarianti, che si possono
rappresentare mediante «, r e l'angolo isotropo «9, fra il piano
tangente della striscia ed il suo piano osculatore. Si trova:
(3.45)
0 =
/> v + qY
La striscia (44) può allora (a meno di movimenti isotropi) essere
individuata univocamente mediante le tre grandezze «(s), T(S), &(S)
o mediante gli invarianti della striscia dedotti da quelli
N— ufi =p'w' -\- q'y* (curvatura normale),
(3.46)
G=
v.
=rx'y"—x"yf
T=T—f)> —q'x' —p'y'
(curvatura geodetica),
(torsione geodetica).
G = 0 (cioè x=0) caratterizza le strisce geodetiche. Se x^O, allora
7V= 0 (cioè # = 0) caratterizza le strisce asintotiche. T--=0 caratterizza le strisce di curvatura isotropa.
Se la striscia (44) appartiene ad una superficie
(3.47)
z = z(x,y)
— 199
—
si trovano, per i suoi invarianti (46), le espressioni
(3.48)
rdx2 + 2sd,vdy + tdy2
N-.
dx2+dy2
(3.49)
sd.r2 -+- (t — r) dxdy — sdy2
T=
dx2 4- dy2
II
I
1
R
IV
I
Siano
(3.50)
l = dx2 + dy2
II = rc/.r2 + 2sd.rdy + fcfyr
III = d!p~ 4 d^r- = (j-d.r -f- sdy)~ + (sdr -f- £<iy):\.
IV = sd.r2 + (£ — r) dWy — s<iy~
le quattro forme fondamentali della teoria delle superficie isotrope.
I è il quadrato dell''elemento d'arco. II i== 0 caratterizza le asintotiche della superficie. IV — 0 caratterizza le linee di curvatura isotropa; queste linee sono contemporaneamente coniugate sulla superficie e ortogonali rispetto alla metrica isotropa. Nella proiezione
ortogonale sul piano z = 0 le linee di curvatura isotropa appaiono
come reti ortogonali.
(3.51)
Ul = dp2 + dq2 = dS2
rappresenta infine il quadrato dell'elemento d'arco dell'immagine
sferica della superficie, che si ha quando si ricercano sulla sfera
isotropa
(3.52)
, = ì (*«+/)
gli elementi di superficie paralleli agli elementi della superficie (47).
La grandezza R—l/N si chiama il raggio normale di curvatura
isotropa della superficie. Se si pone « = 1/r, la formula
(3.53)
ÌV=*0
o
4 = K
r
contiene il teorema di MEUSNIER per lo spazio isotropo.
— 200 —
La curvatura normale 1/jR assume in ogni
una superficie nelle due direzioni isotrope dì
estremi 1/RV ed ljR2 • Si trovano così per la
media H e per la curvatura relativa isotropa
le semplici formule
punto regolare di
curvatura i valori
curvatura isotropa
K della superficie
2H= — + ~-=r-\-t
R1 R2
(3.54)
K =
R,R,
rt
Dalla grandezza K deve essere distinta la curvatura assoluta Ka
dell'elemento d'arco ds2 = dx2 + dy1 della superficie, che, per tutte
le superficie dello spazio isotropo, svanisce identicamente :
(3.55)
*«-0
.
6. Vogliamo ora sviluppare alcune applicazioni della rappresentazione cinematica degli elementi di superficie E dello spazio
(isotropo) sulle coppie di punti (EhE.,) del piano.
Gli elementi di superficie di una striscia
•
x = w(t)
,
p=p(t)
q = q(t)
(3.56)
z = z(t) =
pdx -\- qdy
le cui coordinate soddisfano alle condizioni della striscia
dz =pdx + qdy ,
si rappresentano mediante le formule (27) sui punti El9 Er di
due curve Q e Cr (fig. 28), mediante le relazioni
(3.57)
C,
x%=x(t) + q(t)
yi=y(t)-p(t)
a
•xr=x(t)-q(t)
jr-y(t) +/)(0
201
Fìe. 28
Inversamente ogni tale coppia di curve, riferita parametricamente
nella forma
(3.58)
C
yr=yr(t)
secondo la (28) rappresenta una striscia nello spazio, per le cui
coordinale si trova
7r(f)~yl{t)
2
,^(*)+.<v(0
(3.59)
y-
7l(0+7r(0
</ =
^»(0-jy(0
2
z = / pd.r -f </<Ìy •
Esplicitamente si ottiene per z il valore
(3.60)
1.5
2 = - [.rzyr — -rryj]J) + / ( ^ ^ y r - - y ^ . r z ) — / (.rrrfjr — 3^c/.rr).
— 202 —
Da ciò segue, che la
e soltanto allora che
chiuse ed abbiano lo
2) racchiudono uguali
striscia nello spazio (59) è chiusa allora
le due curve immagini Ct e Cr 1) sono
stesso periodo (rispetto al parametro t) e
aree superficiali'.
(3.61)
F, - F, .
Dalle formule (59) segue per la curvatura normale isotropa
N=p'x'+qfy'
della striscia la formula
(3.62)
iV=pV +
g
y = ì
yi
y:
ove gli apici indicano derivazione rispetto all'arco s della curva
spaziale. Da ciò si ottiene (fig. 29) il
una striscia asintotica (N= 0) possiede curve immagini
cinematiche (C z , Cr), che sono riferite fra loro per parallelismo
di tangenti.
Se poi
TEOREMA:
(3-63)
;\ = ~ (x, + Xr) = (.' ; ,y)
Fig. 29
— 203 —
è il vettore della curva C, media fra le due curve immagine,
che coincide con la proiezione della curva della striscia sul
piano z-=0, segue da (59) per i vettori tangenti ,\/, \ / , \' di
queste tre curve Cl, Cr, C la
(3.64)
X , ' - ( 1 + T)X',
Per i loro elementi d'arco
(3.65)
X/-(1-T)X'
.
dsl, clsr, ds - ds è
dsi ~ ( 1 + T) ds ,
c ? 5 r = ( l — T ) ds .
Infine per le loro curvature xL, *,,., x = x è
x
(3.66)
V
7
«i= ^ - - ,
1 -f- T
x
*r - ^
.
1 — T
Le curve Ct e C,., immagini di una striscia asintotica, sono cioè
allora e soltanto allora riferite per parallelismo concorde delle tangenti, se e
(3.67)
- 1 < T < + 1 ..
Da (64) segue che per le strisce sviluppabili con la torsione isotropa x = — 1 fissa il punto immagine sinistra E, è un punto fisso.
Tutti gli elementi di superficie della striscia sono allora paralleli
a sinistra e giacciono nel sistema nullo Nt di equazione (32). Similmente le strisce asintotiche con torsione isotropa T = + 1 fissa sono
costituite da elementi di superfìcie paralleli a destra con punti
immagine destra fissi Er, che giacciono in un sistema nullo fissato,
Nn di equazione (33).
Le curve immagini CL e Cr della striscia sviluppabile possiedono in base alla (66), la stessa curvatura xL = xr in due punti
corrispondenti, se % = 0, cioè se la striscia sviluppabile possiede un
piano osculatore stazionario.
Come applicazione di questi semplici risultati si può facilmente
dimostrare il seguente teorema:
Su due ovali piani Ct, Cr, racchiudenti superficie di uguale
area, riferiti per parallelismo di tangenti, esistono almeno quattro
coppie di punti corrispondenti con uguale curvatura xt = xr.
— 204 —
Dimostrazione.
Le linee Ct e Cr sono in tal caso immagini cinematiche di una striscia asintotica chiusa, che giace sul cilindro
avente per direttrice la curva ovale media C. Una tale striscia
asintotica possiede, secondo un teorema di MOHRMANN almeno
quattro piani osculatori stazionari (t = 0), che conducono a quattro
punti di ugual curvatura di Ct e Cr.
Si può da ciò facilmente dedurre il noto teorema dei quattro
vertici per le ovali piane.
Calcoliamo ora l'elemento d'arco dsl e dsr delle curve immagini Cl e Cr di una striscia arbitraria. Si ha, in forza della (57)
dsl = d,r'f + dy2 = (d,v + dq)2 + (dy — dp)2
= (d.ir + dy) + 2 (dqdx — dpdy) + (dp2 + dq2)
(3.68)
= : 1 + 2 • IV+III.
c/5^ = dx2r + dy* = (dx — d</)2 + (dy + dp)2
= 1 — 2 -IV + III.
Da ciò segue il teorema :
Le due curve immagini Cl e Cr sono isometriche
(ds2=dsr2),
allora e soltanto allora che I V = 0 , cioè se la relativa striscia è
una striscia di curvatura dello spazio isotropo.
Se poi le tangenti corrispondenti \ / , \ / delle curve immagini Ct e Cr formano l'angolo co, si ottiene per la curvatura
normale N—xd = \R della striscia di curvatura la semplice formula
(3.69)
yJ> = N =
tgw
1
R
Per la curvatura x della curva media C fra
perciò
(3.70)
X =
X
=
Ct e Cr si ottiene
2 cos co
Inoltre si ha la formula
(3.71)
Nf
y,r— xt = 2(»' ' cosca =
(1+/V 2 ) ;J ' 2 '
— 205 —
Come applicazione di questa formula si può facilmente conseguire
il teorema dimostrato per primo da B. S E G R E :
Su due linee ovali Ct, Cr isometriche, esistono almeno quattro
coppie di punti corrispondenti con uguale curvatura xl = xr.
7. La rappresentazione cinematica la corrispondere agli elementi di superficie E(x,y,z,p,q)
di una superficie a curvatura
continua
(3.72)
z = z(*,y)
dello spazio isotropo le coppie di punti immagini (E,, E,)
(3.73)
,rt = .r + q(.r, y)
E7
M
s
\yi =
y—p(*>y)
,vr^x
— q(x., y)
yr=*y +
p(*,y)
Per i determinanti funzionali di queste formule di rappresentazione
si trovano gli uguali valori
1+ s
3(,-, y)
t
— 7"
= l + r É - $ 2 ~ l + À:
1-5
(3.74)
K*>yY
1-5
/*
—t
1+5
= 1+/7-.s"2-l+£ .
Se studiamo dapprima le superficie con
(3.75)
l + rJ- s-=l + /C^0,
cioè
K^~
1
segue da (74) il teorema:
Le due immagini cinematiche di una superficie a curvatura
continua dello spazio isotropo con K—rt — s2 ^ 1 sono legate fra
loro da una trasformazione equivalente.
Inversamente ogni rappresentazione del piano Et^Er che conserva le aree rappresenta la immagine cinematica di una superficie
nello spazio isotropo (più esattamente: una doppia infinità di elementi di superficie E « in posizione unita » secondo LiE, « Lieschr
Verein»).
— 206 —
Con ciò si può 1) identificare la teoria delle rappresentazioni
equivalenti del piano con la teoria delle superficie dello spazio
isotropo, o 2) illustrare questa teoria delle superficie isotrope mediante le proprietà delle rappresentazioni equivalenti del piano.
Come esempio, segue che le linee asintotiche della superficie
si rappresentano su quelle coppie di curve della corrispondenza
equivalente, che,possiedono tangenti parallele. Similmente le coppie di curve isometriche della corrispondenza sono le immagini delle
linee di curvatura isotrope della superficie.
8. Resta infine ancora il caso particolare
z — z(x, y) con
(3.76)
K=rt-s* =
della
superficie
-l
In questa superficie le immagini cinematiche (Et, Er) degli elementi di superficie E formano solamente due curve (CL, Cr)
Fig. 30
(fig. 30). Se iì punto El su Ct resta fisso e il punto Er su Cr
si muove, allora l'elemento di superficie E descrive sulla superficie una striscia sviluppabile, che è contenuta nel sistema nullo iVz
di equazione
X Y
1
(3.77)
Z
+
X
y
i
•'•i
yi
i
207
Inversamente se resta fisso il punto Er su Cr e il punto Et su C, si
muove, l'elemento di superficie E descrive sulla superficie una striscia asintotica che è contenuta nel sistema nullo Nr dì equazione
(3.78)
Z-z
—
X
Y
1
.r
y
1
•''r
Jr
1
Dal teorema fondamentale della rappresentazione cinemalica segue
poi che :
Se si sposta nel primo caso il punto fisso Et lungo la curva immagine Ci, la relativa striscia asintotica subisce uno scorrimento
sinistro di CLIFFORD. Similmente le singole strisce sviluppabili dell'altra schiera si mutano fra loro mediante uno scorrimento destro.
Per le torsioni delle linee asintotiche della nostra superficie si
ha, secondo il teorema di BELTRAMI
(3.79)
- £ = + 1,
cioè
= dr 1 = COSt.
Riassumendo segue poi il
TEOREMA:
Le superficie con curvatura isotropa relativa
(3.80)
K = rt-
costante
s2 = ~l
possiedono due schiere di strisce asintotiche con la torsione costante
r = ±1> che giacciono in complessi lineari. La superficie può
essere generata, se si spostano le linee asintotiche di una schiera
lungo le linee asintotiche dell'altra schiera mediante uno scorrimento di CLIFFORD. ÌJ immagine cinematica di queste superficie
consta di due curve (C,, C,).
Dalla semplice generazione delle superficie (80) come superficie di scorrimento di CLIFFORD segue anche la loro più semplice rappresentazione analitica, mediante due arbitrarie funzioni
Ù=U(u)'e
V=V(v):
il =
(3.81)
V —
li
y=U' - V
z = 2(U-
V)-(u
+ v) ( £ / ' - V)
— 208 —
In queste formule (già trovate da DARBOUX) U e v sono parametri asintotici della superfìcie.
9. Inoltre anche le superficie con curvatura continua e con
curvatura relativa fissata positiva
(3.82)
£--=rt-/= + 1 ,
che sono sempre analitiche, conducono a rappresentazioni equivalenti molto interessanti. Queste particolari rappresentazioni equivalenti sono connesse con le geometrie complesse delle curve analitiche piane studiate da C. SEGRE e da STUDY.
Ogni punto complesso P (£, ?/) della curva analitica piana
k di equazione
(3.83)
, -/(f)
,
può cioè esser rappresentato secondo STAUDT mediante una involuzione reale su una retta reale (fig. 31). / punti coniugati reali
(Pi, Pr) di queste involuzioni si corrispondono allora in una tale
particolare corrispondenza equivalente.
Ad ogni curva analitica complessa k appartiene cioè nello
Fig. 31
209 —
spazio isotropo una determinata superficie (analitica) 0 con una
curvatura relativa fissata K=rt—.s2=-f-l,
in modo tale che la
rappresentazione di STAUDT del punto complesso P di k mediante
coppie reali di punti {Pz, P?.) e la rappresentazione
cinematica
degli elementi di superficie E di 0 sulle coppie di punti (Et, Er)
del piano TI coincidono. Anche l'inverso di questo teorema è vero.
Se la curva piana complessa k è reale, allora la sua immagine
(PhP}) di STAUDT è involutoria; si ottiene la simmetria equivalente della curva analitica reale k. La corrispondente superficie
0 con k = ± 1 è allora simmetrica rispetto al piano z=0.
In questa corrispondenza corrisponde p. es. al cerchio reale k
(3.84)
*8 + / - l
,
la superficie di rotazione, simmetrica rispetto al piano z •= 0, di
equazione
r
(3.85)
z= f ]/?^l
dr ,
i
cioè la superficie evoluta di una catenoide. Come immagine cinematica degli elementi superficiali di una catenoide si ottiene cioè
la simmetria equivalente del suo cerchio di gola reale (fig. 31) .
10.
(3.86)
Anche le superficie minimali
isotrope con
2H=r + s = z„ + zm-0
conducono a rappresentazioni equivalenti con interessanti proprietà.
Si possono rappresentare queste superficie molto semplicemente con
l'equazione
(3.87)
z=&f(x + iy) .
SI indica la parte reale della funzione analitica complessa f(x -f- iy)
della variabile complessa x -f iy .
Ad ogni tale superficie minimale isotropa appartiene una schiera
di superficie associate di equazione
(3.88)
iti
z = &[e-< a ./(a,' + iy)] .
— 210 —
Dall'immagine cinematica (Et, Er) di un elemento di superficie E della superficie minimale (87) si ottiene l'immagine cinematica (Ei, Efj del corrispondente elemento di superficie Ea
della superficie minimale associata (88), se il segmento (Et, Er)
ruota dell'angolo a intorno al suo punto medio E (fig. 32).
Fig. 32
Soltanto per le superficie minimali isotrope si ottiene mediante
questa costruzione, per ogni angolo a, da una rappresentazione
equivalente sempre di nuovo una rappresentazione
equivalente.
Vorrei chiudere, con queste applicazioni ed esempi, le mie conferenze. Spero che mi sia riuscito di mostrare quanto strettamente
le geometrie non euclidee anche degli spazi quasi ellittici ed isotropi siano collegate con problemi relativi a differenti classici rami
della geometria.
—. 211 —
BIBLIOGRAFIA
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IV: Theorie der flàchentreuen Abbildungen der Ebene, Math. Zeitschr. 50, 1-92
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Eilinien, Math. Zeitschr. 51, 525-573 (1945). - g) Uber die Flàchen, deren Asymptotenlinien beider Scharen linearen Komplexen angehòren, Math. Zeitschr. 52, 401-435
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Geometrie I: Ebene analytische Kurven und zu ihnen gehòrige Abbildungen,
Berlin-Leipzig 1911.
— 212 —
SOMMARIO
CAP. I - Geometria dello spazio ellittico
.
.
.
.
pag. 141
CAP. II - Geometria dello spazio quasi ellittico
.
.
.
»
157
CAP. Ili - Geometria dello spazio isotropo
.
.
.
->
187
Bibliografia
.
.
.
.
.
.
.
.
.
235

Problema pag. 223 n. 305 – Matematica.verde

Istituto Superiore “Carducci” Volterra - Sez. ISA Verifica

CI 09-2014 - rette RSA 2015 - ASP

IL SISTEMA HYDROCLEAN STEINHARDT per la grigliatura delle

I.P.S.A.C.T. “G.MATTEOTTI” - Pisa (PI) Programma di MATEMATICA

Cenni di geometria analitica dello spazio

3.5 Posizioni reciproche di rette nel piano Consideriamo due rette

DURATA (min) - Associazione Culturale Istituto Musicale “G. Verdi”

41 - Chi ha paura della matematica

PROSPETTO RETTE 2014