Foglio 2

ANALISI MATEMATICA 1
CORSI DI LAUREA TRIENNALE IN FISICA E MATEMATICA
2014-15
(1) Se f ∈ C([a, b]) e se ogni punto x ∈ [a, b] `e di minimo relativo allora dimostrate che f `e
costante in [a, b].
(2) Dato un insieme chiuso C ⊂ R costruire una funzione f : R → R i cui unici punti di
discontinuit`
a siano i punti di C
(3) Dimostrare: se f ∈ C(R) e se lim f (x) = lim f (x) = +∞ allora f ha minimo in R.
x→+∞
x→−∞
(4) Sia f : E → R. Supponiamo che E sia limitato e che f sia uniformemente continua su E.
Dimostrate che f `e limitata su E.
Mostrate con un esempio che la conclusione `e falsa se E non `e limitato.
(5) Considerate un polinomio P (x). Allora:
• cosa potete dire del numero delle soluzioni dell’equazione P ′ (x) = 0 comprese fra due
soluzioni consecutive dell’equazione P (x) = 0?
• cosa potete dire del numero delle soluzioni dell’equazione P (x) = 0 comprese fra due
soluzioni consecutive dell’equazione P ′ (x) = 0?
n
2
• fissate n ∈ N e sia P (x) := 1 + x + x2! + · · · + xn! . Dimostrate che l’equazione P (x) = 0
ha una sola soluzione reale per n dispari e nessuna soluzione reale per n pari.
(6) Calcolate la somma della seguente serie convergente
∞
X
1
log 1 − 2 =
n
n=2
(7) Dimostrate che se
∞
X
n=0
an `e convergente e se . . . an−1 ≥ an ≥ an+1 ≥ · · · ≥ 0 allora
lim nan = 0.
n→+∞
Mostrate con un esempio che l’opposto `e falso.
(8) Verificate che l’equazione
xn + xn−1 + · · · + x2 + x − 1 = 0
ha un’unica radice positiva per ogni n ∈ N. Sia un tale radice. Calcolate
lim un =
n→+∞
(9)
• Sia f (x) := |x|3 . Calcolate f ′ (x), f ′′ (x) e mostrate che f (3) (0) non esiste. Estendete il
risultato alla funzione f (x) := |x|n , per qualsiasi n ∈ N.
• Per ogni intero n > 0 costruite una funzione fn ∈ C n (R) ma tale che fn ∈
/ C n+1 (R).
1
(10) Sia f : R → R una funzione derivabile. Supponete che f ′ (x0 ) = 0 per ogni x0 tale che
f (x0 ) = 0. Dimostrate che |f (x)| `e derivabile.
(11) Sia f : R → R tale che
|f (x) − f (y)| < (x − y)2
per ogni x, y ∈ R. Dimostrate che f `e costante.
(12) Sia f ∈ C 1 (R) tale che |f ′ (x)| < M per tutti gli x ∈ R. Dimostrate che esiste h > 0 tale
che per ogni 0 < ε < h la funzione
h(x) := x + εf (x)
`e biiettiva.
(13) Sia f ∈ C 1 ([a, b]). Supponete che f (a) = 0 e che esista A > 0 tale che
|f ′ (x)| ≤ A|f (x)|
per ogni x ∈ [a, b]. Dimostrate che f (x) = 0 per ogni x ∈ [a, b].
(14) Sia f ∈ C([a, b]) e f `e derivabile in (a, b) con f ′ (x) ≤ M . Dimostrate che se f (b) − f (a) =
M (b − a) allora
f (x) = f (a) + M (x − a)
per ogni x ∈ [a, b].
2
SFIDE
(1) Calcolate
lim sin(2πn!e)
n→+∞
(2) Calcolate
∞
X
1
=
nk
n,k=2
(3) Definite s1 :=
√
Calcolate
q
p
p
√
√
1, s2 := 1 + 1, s3 := 1 + 1 + 1, s4 := . . . e in generale
r
q
√
per n = 1, 2, 3, . . .
sn := 1 + 1 + . . . 1
lim sn =
n→+∞
p
√
q
1, s2 := 1 + 2, s3 := 1 +
s
r
q
√
sn := 1 + 2 + . . . (n − 1) + n
(4) Definite s1 :=
Calcolate
√
lim sn =
n→+∞
3
p
2+
√
3,
s4 := . . . e in generale
per n = 1, 2, 3, . . .

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