ANALISI MATEMATICA 1 CORSI DI LAUREA TRIENNALE IN FISICA E MATEMATICA 2014-15 (1) Se f ∈ C([a, b]) e se ogni punto x ∈ [a, b] `e di minimo relativo allora dimostrate che f `e costante in [a, b]. (2) Dato un insieme chiuso C ⊂ R costruire una funzione f : R → R i cui unici punti di discontinuit` a siano i punti di C (3) Dimostrare: se f ∈ C(R) e se lim f (x) = lim f (x) = +∞ allora f ha minimo in R. x→+∞ x→−∞ (4) Sia f : E → R. Supponiamo che E sia limitato e che f sia uniformemente continua su E. Dimostrate che f `e limitata su E. Mostrate con un esempio che la conclusione `e falsa se E non `e limitato. (5) Considerate un polinomio P (x). Allora: • cosa potete dire del numero delle soluzioni dell’equazione P ′ (x) = 0 comprese fra due soluzioni consecutive dell’equazione P (x) = 0? • cosa potete dire del numero delle soluzioni dell’equazione P (x) = 0 comprese fra due soluzioni consecutive dell’equazione P ′ (x) = 0? n 2 • fissate n ∈ N e sia P (x) := 1 + x + x2! + · · · + xn! . Dimostrate che l’equazione P (x) = 0 ha una sola soluzione reale per n dispari e nessuna soluzione reale per n pari. (6) Calcolate la somma della seguente serie convergente ∞ X 1 log 1 − 2 = n n=2 (7) Dimostrate che se ∞ X n=0 an `e convergente e se . . . an−1 ≥ an ≥ an+1 ≥ · · · ≥ 0 allora lim nan = 0. n→+∞ Mostrate con un esempio che l’opposto `e falso. (8) Verificate che l’equazione xn + xn−1 + · · · + x2 + x − 1 = 0 ha un’unica radice positiva per ogni n ∈ N. Sia un tale radice. Calcolate lim un = n→+∞ (9) • Sia f (x) := |x|3 . Calcolate f ′ (x), f ′′ (x) e mostrate che f (3) (0) non esiste. Estendete il risultato alla funzione f (x) := |x|n , per qualsiasi n ∈ N. • Per ogni intero n > 0 costruite una funzione fn ∈ C n (R) ma tale che fn ∈ / C n+1 (R). 1 (10) Sia f : R → R una funzione derivabile. Supponete che f ′ (x0 ) = 0 per ogni x0 tale che f (x0 ) = 0. Dimostrate che |f (x)| `e derivabile. (11) Sia f : R → R tale che |f (x) − f (y)| < (x − y)2 per ogni x, y ∈ R. Dimostrate che f `e costante. (12) Sia f ∈ C 1 (R) tale che |f ′ (x)| < M per tutti gli x ∈ R. Dimostrate che esiste h > 0 tale che per ogni 0 < ε < h la funzione h(x) := x + εf (x) `e biiettiva. (13) Sia f ∈ C 1 ([a, b]). Supponete che f (a) = 0 e che esista A > 0 tale che |f ′ (x)| ≤ A|f (x)| per ogni x ∈ [a, b]. Dimostrate che f (x) = 0 per ogni x ∈ [a, b]. (14) Sia f ∈ C([a, b]) e f `e derivabile in (a, b) con f ′ (x) ≤ M . Dimostrate che se f (b) − f (a) = M (b − a) allora f (x) = f (a) + M (x − a) per ogni x ∈ [a, b]. 2 SFIDE (1) Calcolate lim sin(2πn!e) n→+∞ (2) Calcolate ∞ X 1 = nk n,k=2 (3) Definite s1 := √ Calcolate q p p √ √ 1, s2 := 1 + 1, s3 := 1 + 1 + 1, s4 := . . . e in generale r q √ per n = 1, 2, 3, . . . sn := 1 + 1 + . . . 1 lim sn = n→+∞ p √ q 1, s2 := 1 + 2, s3 := 1 + s r q √ sn := 1 + 2 + . . . (n − 1) + n (4) Definite s1 := Calcolate √ lim sn = n→+∞ 3 p 2+ √ 3, s4 := . . . e in generale per n = 1, 2, 3, . . .
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