Richiami essenziali: Utilità scontata (US) attiene alla scelta

Richiami essenziali:
Utilità scontata (US) attiene alla scelta/allocazione tra oggi e domani (i.e. risparmio
ottimo). Elemento psicologico: propensione alla parsimonia.
Tasso di sconto intertemporale soggettivo (è il tasso che l’agente usa per attualizzare
l’US. Dipende dalla psicologia (propensione alla parsimonia)
Utilità attesa (UA) attiene alla scelta/allocazione tra rischio e certezza (i.e. portafoglio
ottimo). Elemento psicologico: propensione al rischio.
Variabile casuale variabile che assume uno tra un certo numero di valori ciascuno
caratterizzato da una certa probabilità.
Lotteria è una variabile casuale i cui valori sono somme monetarie. Una lotteria si dice
equa se il suo valore monetario atteso è pari al costo di partecipazione.
Valore atteso (VA o EV) di una lotteria è il valore che in media ci si aspetta di vincere e
si calcola come media ponderata dei diversi valori, con pesi dati dalle corrispondenti
probabilità. Non dipende dalla psicologia dell’agente e, graficamente, è una retta che va
confrontata con la curvatura della funzione di utilità.
Funzione di utilità ci dice quale livello(=numero) di utilità corrisponde al possesso di
ogni possibile somma monetaria. Nel modello dell’UA l’utilità è una variabile casuale e
dipende anche dalla psicologia (propensione al rischio).
Massimizzando: l’agente vuole il massimo dell’UA, non del reddito/consumo.
Propensione al rischio è l’elemento psicologico che “piega” la funzione di utilità.
Equivalente certo (EC o ce) è quel valore, certo, che rende l’agente indifferente tra il
partecipare o meno alla lotteria. Dipende dalla psicologia dell’agente: per dato VA,
maggiore avversione => minore EC (=> maggiore PR).
Premio per il rischio = PR = VA – EC. Pertanto, il PR è il risultato del confronto tra
elementi oggettivi (VA) e soggettivi (EC). In termini di utilità: PR=U(VA)-VA;
Avverso al rischio: U(VA)>VA; VA>EC => PR>0. Se deve scegliere tra una lotteria
½200+½0 e un reddito certo di 100, pur matematicamente equivalenti, sceglie 100.
Neutrale al rischio: U(VA)=VA; VA=EC => PR=0. Per lui il rischio non conta nulla.
Analisi grafica
Consideriamo un soggetto che abbia una funzione di utilità concava. Supponiamo che
costui possa scegliere se partecipare ad una lotteria equa i cui due esiti monetari, alto e
basso, sono indicati nella seguente figura come OA e OB. Il valore monetario atteso,
OX, si situa a metà strada fra OB e OA poiché ipotizziamo che le probabilità dei due
esiti siano ½ e OX è anche il costo di partecipazione alla lotteria.
Se l’agente decide di non partecipare, risparmia OX euro, che si ritrova in tasca per certo
e che gli garantiscono un’utilità pari a U(OX), come vediamo dalla figura. Se invece
decide di partecipare, il nostro decisore potrà ottenere due diversi livelli di utilità,
ciascuno con probabilità ½ a seconda dell’esito monetario. Se la vincita monetaria è
quella più alta, l’utilità ottenuta sarà U(OA), altrimenti sarà U(OB). Ciò che conta ai fini
della decisione è l’utilità attesa UA, cioè la media fra U(OA) e U(OB):
siccome le probabilità di ottenere questi due livelli di utilità sono pari a ½, l’utilità attesa
si trova a metà strada fra i due (in verticale!) e corrisponde all’altezza della linea
continua riportata in figura. Siccome l’utilità attesa di partecipare alla lotteria, UA, è
chiaramente inferiore all’utilità di non partecipare, U(OX), questo soggetto decide di
non partecipare.
Un modo alternativo per rappresentare il fatto che un soggetto è avverso o propenso al
rischio è valutare quanto sarebbe disposto a “pagare” (se avverso), prenderebbe di
“incassare” (se propenso) per privarsi del rischio: “pagare” e “incassare” sono da
intendersi in termini di valore monetario atteso. Consideriamo nuovamente la situazione
di un avverso al rischio.
Di fronte alla solita lotteria con esiti possibili B e A, ciascuno di probabilità ½ sempre
per semplicità (e dunque il valore monetario atteso è X), l’utilità attesa è UA. Ci
chiediamo ora qual è il valore monetario certo che darebbe a questo soggetto la
medesima utilità (attesa) della lotteria: si tratta ovviamente del valore EC, che è detto
equivalente certo della lotteria in questione. Se questo soggetto potesse disporre di EC
starebbe altrettanto bene di quanto starebbe disponendo della lotteria. Ovvero, sarebbe
disposto a rinunciare ad un ammontare di valore atteso monetario pari a (X–EC) a patto
che EC sia certo (una lotteria il cui valore atteso è EC stesso). La differenza (X–EC) si
chiama premio per il rischio che, quindi, è una misura di quanto quel soggetto è disposto
a “pagare” per essere privato dell’incertezza. Infine due ultime note:
la retta è “oggettiva”: è uguale per tutti;
la curva è “soggettiva”: dipende dalla propensione al rischio;
PR, EC e VA sono tutte quantità monetarie (=> ascisse) da trasformare in utilità
Utilità Scontata
ESERCIZIO 1
L'agente vive due periodi e ha:
mt=reddito=10,
xt=consumo,
preferenze=lnxt+lnxt+1, <1
r=tasso di interesse
Domande:
i) Scrivete il problema di massimizzazione dell'agente e le condizioni del primo ordine
(FOC)
ii) Supponiamo che non esistano mercati finanziari, i.e., l'agente non può
risparmiare/prendere a prestito: Scrivete il vincolo di bilancio.
SOLUZIONI
i) Scriviamo il vincolo di bilancio
Insieme alle preferenze, il vincolo ci dà il lagrangiano:
da cui le FOC (=le derivate di tutti gli argomenti del lagrangiano uguali a zero)
ii) Non potendo risparmiare, s=0 e quindi l'agente è costretto a consumare quanto
guadagna in ogni periodo (i.e. 10):
Notate che, come atteso, xt = xt+1= 10
ESERCIZIO 2
Tizio deve decidere cosa fare da grande e ha le seguenti preferenze: U(X)=X.
Ha di fronte a sé tre periodi (studio, lavoro, pensione) e due soluzioni (atleta
professionista, professore).
Tizio sa che:
come professore ha una borsa di studio di 20.000€, poi lavora e guadagna 350.000€,
infine va in pensione con 350.000€
come atleta deve pagarsi gli allenamenti: 30.000€. Poi gioca e guadagna 630.000€; poi
va in pensione con 100.000€ (es: pur guadagnando di più ha meno tempo per versare i
contributi)
A) Quale carriera sceglierà se il suo tasso di sconto intertemporale,  è 25%?
B) Cambierebbe scelta se avesse =5%? Se cambia, perché lo fa?
SOLUZIONE
A)
USprof = 20.000 + 350.000/(1.25) + 350.000/(1.25)^2 = 524.000
USatleta = -30.000 + 630.000/(1.25) + 100.000/(1.25)^2= 538.000
 Sceglierà la carriera sportiva.
B)
USprof = 20.000 + 350.000/(1.05) + 350.000/(1.05)^2 = 670.794
USatleta = -30.000 + 630.000/(1.05) + 100.000/(1.05)^2= 660.703
 Sceglierà la carriera accademica poiché con =5% invece di 25% l’agente è meno
impaziente (maggiore è , maggiore è il peso dato al presente)
UTILITA’ ATTESA
ESERCIZIO 1
Tizio ha una funzione di utilità u=1000x1/2, dove x è il reddito. Egli può effettuare un
investimento che produce un reddito pari a 60 con probabilità ½ e pari a 400 con
probabilità ½.
a) Dopo averne dato la definizione, si determini il valore dell’Equivalente Certo (EC)
del reddito incerto di Tizio.
b) Dopo averne dato la definizione, si determini il valore del Premio per il Rischio (PR)
di Tizio.
NB METODOLOGICO: CHIAMERO’ IN MODI DISPARATI, MA EQUIVALENTI,
LE VARIABILI IN GIOCO. PER ESEMPIO, VALORE ATTESO=VA=EV; UTILITA’
ATTESA=UA=EU; ECC…
E’ PER AUMENTARE LA VOSTRA ELASTICITA’ MENTALE
SOLUZIONE
a) L’Equivalente Certo (EC) è la somma di denaro che dà a Tizio un’utilità pari
all’utilità attesa (EU) del reddito incerto. Si deve avere, cioè: U(EC) = EU. Dunque:
EU = ½[1000(60)1/2] + ½ [1000(400)1/2] = 3.872,5 + 10.000 = 13.872,5 (utilità attesa)
U(EC) = 1000(EC)1/2;
EU = 1000(EC)1/2 = 13.872,5
EC = (13,8725)2 = 192,44 (=somma certa che mi dà la stessa utilità attesa della lotteria)
b) Il Premio al Rischio è la differenza tra il valore atteso (VA) di un reddito incerto e il
suo EC; cioè è la somma di denaro con cui si deve compensare un individuo per indurlo
ad accettare un reddito incerto al posto di uno certo.
PR = VA – EC
VA = ½(60) + ½(400) = 30 + 200 = 230
PR = 230 – 192,44 = 37,56
ESERCIZIO 2
Un agente la cui funzione di utilità è 100x0,3 (x è il reddito) può scegliere tra due diversi
investimenti, S e T.
Da S può ottenere, sostenendo un costo di 20, un reddito lordo pari a 40 oppure pari ad
80, ciascuno con probabilità ½.
Da T può ottenere, con un costo pari a 12, un reddito lordo pari a 20 oppure pari a 100
ciascuno con probabilità ½.
a) Quale dei due progetti presenta l’utilità attesa più elevata?
b) Determinare il valore dell’equivalente certo dell’investimento scelto dall’agente.
SOLUZIONE
a)
Il reddito netto dei due progetti:
S1=40-20=20;
S2=80-20=60;
T1= 20-12=8;
T2=100-12=88.
Trasformiamo il reddito atteso in utilità attesa:
EUS= ½ [100(20)0,3]+ ½ [100(60)0,3]= ½(245,6)+ ½ (341,5)=293,55
EUT= 1/2 [100(8)0,3]+ ½ [100(88)0,3]= ½ 186,6 + ½ 383,1 =284,85
 Verrà scelto il progetto S poiché presenta l’utilità attesa più elevata.
b)
U(ECS)=EUS
ECS=293,55
100(ECS)0,3=293,55
ECS=36,22 = valore dell’equivalente certo dell’investimento dell’agente
ESERCIZIO 3
L’agente ha una funzione di utilità pari a U(X) = X1/2.
Ci sono due possibili stati del mondo equiprobabili.
Il primo comporta per l’agente un reddito pari a 16.
Il secondo un reddito pari a 64.
3.1 Determinare l’utilità attesa (EU) e il valore atteso (EV) della scommessa.
3.2 Determinare sia analiticamente che graficamente la propensione dell’agente rispetto
al rischio.
SOLUZIONE
3.1)
EU = ½U(16) + ½U(64) = = ½160.5 + ½640.5 = 6
EV = ½16 + ½*64 = 40
3.2)
Analiticamente:
L’agente è avverso al rischio U poiché U’> 0 e U”<0. Più esplicitamente:
U’=
U”= -0.25X-1.5
Graficamente:
La funzione di utilità è una radice quadrata che è una funzione concava che genera CI
convesse. Dato che l’avverso al rischio ha CI convesse l’agente è avverso.
ESERCIZIO 4
Ci sono due possibili stati del mondo equiprobabili
Nel primo l’agente ha un reddito pari a X1 = 144;
Nel secondo l’agente ha un reddito pari a X2 = 36.
Una compagnia assicuratrice è disposta ad assicurare il soggetto contro il rischio di una
possibile perdita economica = d = X1 − X2 = 108 e propone il seguente contratto:
La compagnia rimborserà l’agente se si verifica lo stato 2 (i.e. pagherà d) e in cambio il
soggetto pagherà un premio assicurativo p=60 qualunque sia lo stato del mondo.
Rispondere alle seguenti questioni:
4.1) Qual è la prospettiva corrispondente al contratto offerto dalla compagnia e la
prospettiva in assenza di assicurazione?
4.2) Se il soggetto è neutrale al rischio, accetterà o rifiuterà il contratto?
4.3) Se la funzione di utilità di VNM del soggetto è U =X0.5, quale sarà la sua decisione?
4.4) Definire e calcolare il premio assicurativo attuarialmente equo. Stabilire, inoltre, se
il soggetto è disposto ad accettare questo nuovo contratto.
SOLUZIONI
4.1
Senza assicurazione EV = ½144 + ½36 = 90
Con assicurazione EV = ½ (144 − p) + ½ (36 − p + d) = ½ (84) + ½ (84) = 84
Assicurandosi, indipendentemente dallo stato del mondo per il soggetto non c’è rischio
sul reddito futuro. Ma, ovviamente, il reddito atteso è minore: la certezza non è gratis.
4.2
Se il soggetto è neutrale al rischio allora ordinerà le prospettive in base al valore atteso
(e non all’EU). Poiché il EV è maggiore senza assicurazione, l’agente preferisce non
assicurarsi.
4.3
L’agente ha una utilità attesa pari a:
senza assicurazione, EU = ½U(144) + ½U(36) = 9
con assicurazione, EU = ½U(144 − p) + ½U(36 − p + d) = 840.5 = 9.16
Dato che 9.16 > 9 l’agente accetterà il contratto assicurativo.
Tale scelta è coerente con il fatto che dalla concavità della funzione di utilità sappiamo
che l’agente è avverso al rischio.
4.4
Un contratto assicurativo è attuarialmente equo se il premio assicurativo (p) è uguale
all’indennità attesa.
L’indennità attesa che l’assicurazione pagherà è ½108 + ½0 = 54
=> Il premio attuarialmente equo è p=54
Se è neutrale al rischio l’agente è indifferente tra effettuare o non effettuare
l’assicurazione perché le due prospettive hanno lo stesso valore atteso:
Senza assicurazione EV = ½144 + ½36 = 90
Con assicurazione EV = ½ (144 − 54) + ½ (36 − 54 + 108) = 90
Se è avverso al rischio, per definizione preferisce un reddito certo pari al valore atteso
della prospettiva stessa. Quindi accetterà il contratto.
ESERCIZIO 5
Tizio e Caio devono capire se fare un investimento che rende:
100 con probabilità=0.5
0 con probabilità=0.5
Essi hanno le seguenti funzioni di utilità (reddito=X):
UT = X
UC = X0.5
5.1) Dovessero decidere di comprare, quale è la commissione massima che questi agenti
sono disposti a pagare al broker?
5.2) Qual è il premio per il rischio richiesto dai nostri agenti?
SOLUZIONE
5.1) Si tratta di trovare l’equivalente certo. Infatti, il prezzo massimo che i due agenti
sono disposti a pagare è quello che gli rende indifferente l’atto di investire o meno.
Ovvero, bisogna trovare quel prezzo per il quale investire o meno fa rimanere gli agenti
con la medesima utilità.
Quindi,
Utilità Attesa (EU) per:
Tizio: EUT(X) = ½U(100) + ½U(0) = ½100 + ½0 = 50
Caio: EUC(X) = ½U(100) + ½U(0) = ½(100)0.5 + ½U(0)0.5 = 5
Equivalente Certo (y) per:
Tizio: UT(y) = EUT(X) = 50; yT = 50
Caio: UC(y) = EU(X) = 5;
y0.5= 5 => yC = 25
Dunque,
- Per Tizio l’equivalente certo (pari a 50) è uguale al valore atteso
dell’investimento:
yT= E(X)= ½100 + ½0 = 50
Ciò si ha poiché Tizio è neutrale al rischio. Perché è neutrale? Risp. Perché la sua
funzione di utilità è lineare: UT=X. E’ ovvio che E(X)=retta coincida con EUT(X)=retta.
- Caio, invece, ha una funzione di utilità concava. Perciò è avverso al rischio e
perciò è disposto a pagare cifre inferiori per partecipare ad un investimento rischioso:
yT =50 > yC=25
6.2)
Sostituendo i valori già trovati si ha per
Tizio: PRT = VA – EC = 50 – 50 = 0. (è neutrale: perché pagare?)
Caio: PRC = VA – EC = 50 – 25 = 25.
ESERCIZIO 6
Tizio ha una ricchezza iniziale (W) di 20 e gli viene chiesto di partecipare ad una lotteria
(L) con la quale può perdere 8 euro e vincere 20 euro con probabilità 0.5.
Egli ha una funzione di utilità Von Neumann-Morgenstern del tipo U(W) = ln(W).
6.1. Parteciperà alla lotteria?
6.2. Qual è l’equivalente certo e il premio per il rischio della lotteria sopra descritta per
Tizio?
SOLUZIONE
6.1.
Partecipando alla lotteria l’utilità attesa di Tizio è
E(U) = 0.5ln(20-8) + 0.5ln(20+20) = 3.087.
Non partecipando alla lotteria, l’utilità attesa di Tizio è
U(W) = ln(20) = 2.996.
E(U)>U(W) => Partecipa.
6.2
L’equivalente certo della lotteria, EC(L), è quella somma certa che aggiunta alla
ricchezza iniziale di Tizio forma una ricchezza tale che la sua utilità è proprio pari
all’utilità attesa che gli deriva dal partecipare alla lotteria (che è pari a E(U)=3.087).
Bisogna quindi risolvere la seguente equazione:
ln(20 + EC(L)) = 3.087.
Esplicitando, si ottiene
EC(L) = 1.91.
Il premio per il rischio è la differenza tra la vincita attesa dalla lotteria e l’equivalente
certo della lotteria:
PR(L) = 6 – 1.91 = 4.09.
ESERCIZIO 7
Ad uno studente di Economia viene chiesto di decidere se partecipare ad un Corso di
Perfezionamento dal quale può successivamente ottenere un reddito (X) di 20 con
probabilità 1/5 e una perdita di 6 con probabilità 4/5.
Lo studente partecipa solo se il Corso è una “scommessa equa”: parteciperà?
SOLUZIONE
Il reddito atteso derivante dall’operazione è:
E(X) = 4/5*(-6) + 1/5*20 = -4/5
La scommessa è quindi iniqua (infatti il valore atteso non è nullo).
Lo studente (walrasiano) non parteciperà.
ESERCIZIO 8
Un concorrente del programma “Affari tuoi” ha di fronte la possibilità di vincere 500
mila euro oppure 10 mila euro (in assenza di altre informazioni si può supporre che la
probabilità di ciascun esito sia pari a 0.5).
In alternativa alla continuazione del gioco, al concorrente è offerta una somma di 100
mila euro con certezza.
Calcolate:
a) il valore atteso di continuare a giocare
b) la scelta che farebbe un giocatore neutrale al rischio (spiegando il perché)
c) la scelta che farebbe un giocatore con una funzione di utilità U = X0.5
d) il valore minimo che quest’ultimo giocatore sarebbe disposto ad accettare invece di
continuare a giocare.
SOLUZIONE
a) VA di continuare a giocare: E(X) = 0.5*500000 + 0.5*10000 = 255000
b) Un individuo neutrale al rischio sceglierebbe di continuare a giocare poiché il
relativo valore atteso (255000) è maggiore della somma offerta per fermarsi
(100000).
c) L’utilità attesa per un giocatore con utilità U = X0.5 è:
UA(X) = 0.5*5000000.5 + 0.5*100000.5 = 403.553
L’utilità di accettare 100.000 è invece:
UA(X) = 1000000.5 = 316.228
Nonostante l’avversione al rischio il giocatore preferisce continuare a giocare poiché, in
termini di utilità, l’offerta è inferiore al valore atteso. L’avverso è prudente, non
irrazionale. Però, se il concorrente fosse particolarmente prudente, allora avrebbe una
funzione di utilità particolarmente concava e allora il rischio avrebbe il sopravvento
sull’opportunità.
d) Il valore minimo che il giocatore è disposto ad accettare è quello che gli
garantisce la stessa utilità di continuare a giocare (i.e., l’equivalente certo):
C0.5 = 403.553
=> C =162855
Cioè, il giocatore avverso è indifferente tra una offerta di 162855 euro e continuare a
giocare. Per farlo giocare gli devono dare più di 162855 euro, ovvero più dei 100000
euro che sarebbero più che sufficienti per un tipo neutrale.

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