19. Derivazione della equazione della cinetica per il reattore sottocritico
Consideriamo un reattore sottocritico di potenza Wo in condizioni stazionarie,
soggetto al tempo to ad una perturbazione. L'equazione che governa il flusso
neutronico e la densità dei nuclidi sarà data ancora dalla (14.55) cui sia aggiunto al
secondo membro un termine di sorgente s(r,E). Si avrà così:
[
~
−1
A + (1 − β)χ NN F
d V φ
=
~
dt c
b MN F
]
χ NM Λ φ
−Λ c
+
s
.
(1)
0
Seguiamo quindi la stessa procedura adottata per il caso critico, con l'avvertenza di
*
*
utilizzare, in luogo del flusso aggiunto standard φ , l'importanza n o relativa alla
o
potenza complessiva del sistema (normalizzata in condizioni imperturbate):
γ
< Σ , φο > = 1.
f
Wo
Essa risulta quindi governata dall'equazione:
[A
~
+ (1 − β) Fo χ *
*
o
NN
~
+ β Fo χ *
]n
]
~ *
Fo b
n *o
−Λ
c *o
NN
*
o
+
γ
Σ =0
Wo f ,o
che si può anche scrivere
[A
*
o
~
+ (1 − β) Fo χ *
NN
Λχ
*
MN
NM
γ
Σ f ,o
+ Wo
=0
(2)
0
dove
co = χ
*
*
MN
*
no
Alla (14.55) potremmo associare le equazioni del flusso reale ( φ o ) relativa al caso
critico, cioè nelle condizioni in cui il sistema si trovava prima della perturbazione:
[A
o
]
~
+ χ NN Fo φo + so = 0
(3)
1
Assumiamo ora che la distribuzione spazio-energetica del flusso neutronico, e quella
spaziale della distribuzione dei precursori, siano separabili da quella temporale.
Moltiplicando a sinistra l'equazione (1) per n *oT
c *oT
e la (2) per φ T
cT ,
sottraendo la seconda dalla prima ed integrando, si ottiene:
d
dt
∫sist
−1
dr n *oT
c *oT
=
c
∫sist dr φ
−
V φ
T
∫sist
dr n *oT
c *oT
[
*
~ *
A o + (1 − β) Fo χ
NN
cT
*
Λχ
MN
]
[
A + (1 − β)χ NN ~
F
~
b MN F
~ *
Fo b
n *o
−Λ
co
NM
*
]
χ NM Λ φ
−Λ c
+
s
0
γ
Σ f ,o
+ Wo
=0
0
ossia:
d
dt
−
∫sist
*T
dr n o
*T
co
V −1φ
∫sist
= dr
c
∫sist dr n o
*T
*T
co
so
+
0
∫sist dr φ
*T
no
T
c
*T
co
T
[
δA + (1 − β)χ NN δ~
F
~
b MN δF
]
δs
+
0
0c
0φ
γ
(Σ − δΣ f )
Wo f
0
Riscriviamo il primo membro nella forma:
d
dt
∫sist
dr n *oT
c *oT
V −1φ
c
d
≡
dt
∫sist
*
< γΣ f , φ > < n s,o , χ S f φ >
dr n *oT
c *oT
0
−1
≅
d
dt
>
< γΣ f , φ >
< no , V φο >
*
*
< n o , χ Sf φ ο
< γΣ f , φ >
< n *o , χ S f φ >
−1
0 V φ
1 c
,
< n *o , χ S f φ ο > < γΣ f φ ο >
< co c >
*T
.
2
Se definiamo le quantità
< γΣ f ,o , φ >
P=
< γΣ f ,o , φ ο >
W
Wo
≡
(potenza normalizzata)*
−1
*
< no , V φο >
eff
(4)
(vita media effettiva dei neutroni pronti)
(5)
*
< n o , χ Sf φ ο >
*
< no ,
ρ gen =
{ δA + χδS }φ
f
o
>+
γ
< δΣ , φ ο >
f
Wo
< n *o , χS f φ ο >
(reattività generalizzata) (6)
*
ρ source =
< n o , δs >
*
< n o , χS f ,o φ ο >
*
ξi =
ζ=
< coci >
*
1
<
>
(7)
*
(8)
(Nota: c o è indipendente dall'indice i)
< n o , χS f , o φ ο >
n*o , χSf ,o φο
(reattività di sorgente)
,
(8a)
le equazioni della cinetica puntuale per il reattore sottocritico si possono scrivere
nella forma
eff
dP
= (ρ gen − β)P +
dt
I
∑ λ i ξ i + ζ(1 − P) + ρ source
(9)
i =1
d ξi
= βi P − λiξi
dt
(10)
con P=Po=1 and ξi =βi/λi in condizioni stazionarie (e quindi al tempo iniziale to).
*
Per semplicità di notazione, la potenza normalizzata è definita come il rapporto
γ<Σ
W
Wo (1 + q )
q=
≡
γ<Σ
< δΣ , φ >
f
<Σ
f, o
,φ >
f, o
f, o
,φ >
,φ
o
< δΣ , φ
≅
f
<Σ
f, o
, dove Wo è la potenza imperturbata in condizioni nominali e
>
o
,φ
o
>
>
. Per avere la potenza corretta W,
moltiplicato per Wo(1+q).
3
i valore risultante P va
E' interessante notare come la quantità ζ tende a zero con il sistema che sia prossima
*
a condizioni critiche (in quanto n o tende a divergere). Di conseguenza, il terzo
termine a destra della (9) pure tende a zero, mentre la distribuzione spaziale della
*
*
funzione n o si avvicina a quella del flusso aggiunto standard φο . In questo caso le
equazioni (9) e (10) si riducono ad un sistema omogeneo, e quindi alla forma
dell'equazione della cinetica puntuale già incontrata nel capitolo 14. Cercando
soluzioni relative alle funzioni P ed ξi della forma e ωt , si arriva alla nota equazione
I
ρ = eff ω +
ωβ
∑ ω + λi i
(11)
i =1
con
*
ρ=
{
}
< φ o , δA + χδS f φ >
o
(12)
< φ *o , χS f φ >
o
*
e con eff data dalla (5) con φ *o al posto di n o . La soluzione generale sarà data dalla
sovrapposizione delle soluzioni corrispondenti alle (M+1) radici ω .
Le equazioni (9) e (10) possono essere considerate l'estensione ai sistemi sottocritici
delle equazioni della cinetica relative ai reattori critici. Risolvendo la (11), con ρgen
dato dalla (12) in luogo della reattività ρ, e con eff dato dalla (5), si otterranno le
(M+1) radici ωi relative alle soluzioni esponenziali della soluzione omogenea
associata alle equazioni (9) e (10). Come noto, la soluzione generale è data dalla
somma della soluzione omogenea e di quella particolare.
Asintoticamente, se il sistema dopo la perturbazione è ancora sottocritico, si
raggiungerà un nuovo livello di potenza (relativa), dato dall'espressione:
Pas =
ζ + ρsource
,
ζ − ρgen
(13)
che, come è da attendersi, aumenta con ρsource e ρgen.
La quantità ζ rappresenta una misura della sottocriticità. Per dimostrarlo,
consideriamo dapprima due misure di sottocriticità generalmente adottate:
4
K eff =
< φ *o , χS f ,o φ >
o
(14)
< φ o , s o > + < φ o , χS f ,o φ >
*
*
o
K source =
< u, χS f ,o φ >
o
(15)
< u, s o > + < u, χS f ,o φ >
o
dove u è un vettore unitario. Keff è un fattore di moltiplicazione associato al modo
fondamentale del flusso neutronico. Esso è importante negli studi di sicurezza che
implicano incidenti che possono portare a condizioni di sovracriticità. Ksource è un
fattore di moltiplicazione in cui si tiene conto del flusso reale prodotto dalla aorgente
neutronica, e quindi dato dalla sovrapposizione di autofunzioni. In questo caso non si
tiene conto dell'importanza dei neutroni di fissione e di quelli della sorgente in
*
rapporto alla potenza. Considerando invece l'importanza n o , e ricordando
che < n o s o >= 1, possiamo definire il coefficiente di moltiplicazione
*
K sub =
< n *o , χS f ,o φ >
o
1+
< n *o , χS f ,o φ
o
>
.
(16)
La quantità ζ può quiindi essere scritta come
ζ=
1− K sub
,
K sub
(17)
e può essere chiaramente assunta come una misura adeguata della distanza del
sistema dalle condizioni di criticità.
*
E' facile verificare che con l'approssimarsi di Ksub all'unità, la funzione n o diverge,
mentre la sua distribuzione spazio-energetica si approssima a quella del flusso
aggiunto standard. Corrispondentemente, ρgen converge al espressione standard ella
reattività, data dalla (12).
Abbiamo visto come la quantità ρgen abbia nell'equazione della cinetica puntuale un
ruolo analogo a quello della reattività standard definita per i sistemi critici. Possiamo
anche verificare come questa quantità, per la stessa perturbazione parametrica,
produca una variazione decrescente della potenza con l'aumentare del grado di
sottocriticità. Ciò è dovuto alla presenza nella (9) del termine ζ(1-P), collegato alla
5
presenza della sorgente, Con l'aumentare della sottocriticità questo termine infatti
cresce (in valore assoluto) con ζ. 1
Da notare come i coefficienti che appaiono nelle equazioni (9) e (10) abbiano tutti un
significato fisico. La reattività generalizzata ρgen, in particolare, può essere
determinata sperimentalmente. Infatti, come si vede dalla (13), essa corrisponde, con
il segno cambiato, al valore (determinabile sperimentalmente) di ρ source associato ad
una variazione di sorgente tale da ripristinare (asintoticamente) la potenza iniziale.
In base a quanto detto sopra, si può concludere che per un sistema sottocritico
l'importanza appropriata da utilizzare come funzione peso dei processi neutronici è la
*
funzione n o , cui è associato il coefficiente di moltiplicazione ksub.
L'affermazione precedente è pertinente allorché la cinetica puntuale viene usata per
calcoli di transitori tali da mantenere il sistema al di sotto delle condizioni critiche,
per esempio nello studio di transitori durante le normali operazioni del reattore. In
casi di analisi di transitori conseguenti a eventi accidentali che possano comportare
condizioni di sovracriticità, l'uso della funzione aggiunta standard, cui è associato il
coefficiente keff sono più appropriati. Infatti, in queste circostanze, la condizione di
criticità è raggiunta dapprima dal modo fondamentale del flusso, cui tale coefficiente
è associato.
Esempio illustrativo
Consideriamo un semplice sistema a geometria infinita formato da un gruppo di
neutroni ed un gruppo di ritardati. In questo caso le il sistema (1) si riduce alle
equazioni:
1 dφ
= −Σ c φ + (1 − β)νΣ f φ + λc + s
v dt
dc
= βνΣ f φ − λc .
dt
In condizioni imperturbate, si ha:
− Σ c , o φ o + νΣ f , o φ o + s o = 0
1
Ciò ha particolare rilievo in rapporto ai coefficienti di temperatura. Viene ad essere quindi ad
essere corrispondentemente ridotto l'effetto delle controreazioni (negative) di temperatura, in caso
di incidente di portata del refrigerante.
6
βν Σ f ,o φ o − λc o = 0 .
con soluzioni
φo =
co =
1
so
Σ c,o 1 − K o
β
β Ko
νΣ f φ o =
s
λ
λ 1− Ko o
*
La funzione importanza n o è governata dall'equazione
− Σ co n *o + νΣ fo n *o +
1
γΣ = 0
Wo fo
con la soluzione
n *o =
γΣ fo
1
1 γ Ko
≡
Wo Σ co − νΣ fo Wo ν 1 − K o
Con l'avvicinarsi delle condizioni del sistema di riferimento alle condizioni critiche, e
*
quindi con sn,o, a parità di potenza, tendente a zero, l'importanza n o diverge. Se, al
contrario, il sistema nelle condizioni di riferimento è sempre più sottocritico, essa si
riduce via via assieme a Σf,o. Questo risultato è consistente con il significato di
importanza.
Consideriamo una perturbazione che alteri i parametri del sistema. Le equazioni che
governano l'intensità della potenza del sistema, corrispondenti alle (9) e (10),
risulteranno:
l eff
1 − Ko
dP
= (ρgen − β)P + λξ +
(1 − P) + ρsource
dt
Ko
dξ
= βP − λξ .
dt
Se dopo la perturbazione il sistema rimane sottocritico, la densità della potenza
raggiungerà asintoticamente il livello:
7
Pas =
1 − K o + K oρsource
.
1 − (K o + K oρgen )
Come prevedibile, la condizione per cui il sistema rimanga in condizioni sottocritiche
1− K o
dopo la perturbazione è che ρgen <
.
Ko
Assumiamo ora i valori:
l eff = 10 −3 ,
λ=0.3 ,
β=0.007 .
Di seguito sono riportate alcune curve dimostrative in cui sono riportati gli andamenti
temporali di P per diverse inserzioni di reattività.
8
0.945
1.09
1.085
0.94
1.08
0.935
1.075
1.07
0.1
1.065
0.2
0.3
0.4
0.5
0.925
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Fig. 1. ρgen = 0.005 (valore asintotico: P=1.11)
Fig2.ρgen = -0.005 (valore asint. P=0.91)
10
12
8
10
6
8
6
4
4
2
2
0.2
0.4
0.6
0.8
2
4
6
8
1
0.02
Fig. 3. ρ gen = 0.0526 (condizioni di criticità)
0.04
0.06
0.08
0.1
Fig. 4. ρ gen = 0.07 (pronto criticità)
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
10
Fig. 5. ρ source = -1 (rimozione della sorgente)
9
20. Il reattore ADS
Viene chiamato ADS (Accelerator Driven System) un reattore sottocritico il cui
livello di potenza è sostenuto da una sorgente di neutroni di spallazione mediante
l'uso di un acceleratore di protoni.
I motivi che stanno determinando un interesse crescente per questi sistemi possono
essere riassunti nei seguenti punti:
−
−
−
la distanza dalla criticità in questi reattori equivale ad un supplemento di neutroni
ritardati (si veda nell'equazione (9) come l'indice di sottocriticità ζ, abbia un ruolo
analogo a quello della frazione β). Questa proprietà, in particolare, consente di
considerarli meglio adatti dei sistemi critici nel ruolo di incineritori di attinidi
minori, in considerazione della relativamente piccola frazione di neutroni ritardati
associata a questi elementi.
essi consentono, in linea di principio, di evitare l'uso di barre di controllo per
l'operazione del reattore e per seguire l'evoluzione della reattività durante il burnup. Ciò porta all'esclusione di incidenti di reattività conseguenti alla estrazione
accidentale delle barre di controllo (anche se vi sono proposte in cui tali elementi
sono presenti, per poter operare con un acceleratore con corrente del fascio
protonico costante).
Essi consentono di destinare una parte di neutroni per aumentare il tasso di
trasmutazione (incinerimento) dei nuclidi pesanti e/o prodotti di fissione a lunga
vita (p.es.,Tc-99 e I-199). Ciò comporta naturalmente un costo energetico.
Tra i problemi che un ADS comporta, rispetto al reattore critico corrispondente, oltre
al costo energetico su citato per il funzionamento dell'acceleratore (dell'ordine del
10% della potenza nei sistemi attualmente considerati), possiamo annoverare:
−
−
−
la distorsione del flusso neutronico in prossimità della sorgente, che altera la
distribuzione di potenza collegata al modo fondamentale. Questa distorsione è
ridotta per valori di Keff non troppo discosti dall'unità. Essa può essere mitigata
con una opportuna strategia nella distribuzione del combustibile e/o veleni
bruciabili;
la riduzione (come osservato nel capitolo precedente) delle controreazioni di
reattività associate ai coefficienti di temperatura (negativi, per gli effetti densità e
Dopper), necessarie a mitigare incidenti di portata del refrigerante;
l'eventualità, seppur remota, di non arresto della corrente che alimenta
l'acceleratore in caso di incidente. Questa eventualità può essere rimossa se
l'alimentazione dell'acceleratore viene collegata, a parte la fase di start-up, alla
corrente prodotta dal reattore.. In questo caso si può dimostrare che il
dunzionamento dinamico del reattore è associabile a quello di un reattore critico.
10
Costo energetico dell'acceleratore
Si è già detto che il funzionamento dell'acceleratore ha un costo energetico. Questo si
traduce in una perdita di efficienza dell'impianto che aumenta con la sottocriticità. Per
illustrare questo concetto, consideriamo un sistema sottocritico nello schema
semplificato ad un gruppo considerato nel capitolo 12. Ricordando la (12.12), in
condizioni asintotiche si avrà:
p
φ( x, t ) =
K∞Σa
∞
∑
n =1
( n disp.)
K n Sn
nπx
.
cos
(
1
−
K
)
a
n
(18)
dove Sn sono i momenti della sorgente nell'espansione in serie di Fourier. Assumendo
per semplicità una distribuzione della sorgente eguale al modo fondamentale del
flusso (in questo caso di forma cosinusoidale), moltiplicando per νΣf ed integrando su
tutto il nocciolo (assumendo un'area trasversale di dimensioni unitarie), si ottiene la
sorgente dei neutroni di fissione:
ϕνΣ f Vcore =
pνΣ f
K1
K ∞ Σ a (1 − K 1 )
∫core
S1 cos
K 1s
πx
dx =
,
a
(1 − K 1 )
(19)
dove Vcore è il volume del nocciolo, ϕ il flusso medio e K1 l'autovalore fondamentale
( ≡ K eff ). L'espressione (19) vale naturalmente per qualsiasi geometria del nocciolo.
Deriviamo nel seguito una semplice espressione della perdita di efficienza dovuta alla
potenza assorbita dall'acceleratore, evidenziandone la dipendenza dal livello di
sottocriticità e dai parametri associati all'acceleratore.
Consideriamo la potenza dell'acceleratore (in MW):
Wacc = cEp/fb ,
(20)
dove c reppresenta la corrente (in mA), Ep the l'energia dei protoni (in GeV) ed fb
l'efficienza dell'acceleratore.
La sorgente neutronica risulta
s = n /mA c =
n /mA f b Wacc
,
Ep
dove n/mA rappresenta il numero effettivo di neutroni al secondo prodotti per 1 mA di
corrente.
11
La sorgente di fissione data dalla (19) potrà quindi scriversi:
ϕνΣ f Vcore = n/mAfbWaccKeff /Ep(1-Keff)
(21)
La quantità n/mA è una funzione crescente con l'energia Ep dei protoni.
Una corrente di 1mA corrisponde a 0.625x1016 protoni/sec. Denoteremo come p/mA
questa quantità. Indicando come "m" il numero di neutroni prodotti per ciascun
protone che colpisce il target (per esempio di tungsteno, o piombo)2, ed assumendo
un peso "g" per questi neutroni3, si ha n/mA = gmp/mA.
Il rapporto Wacc/We può essere visto come la frazione di elettricità persa in un
impianto di potenza elettrica We (=feWt). Sostituendo nella (21) ϕΣf Vcore con Wt/κ,
dove κ rappresenta le unità di energia (in MJ) per fissione, risulta:
Wacc/Wt = νEp(1-Keff)/ Keff κfbgmp/mA
(22)
.
ossia
Wacc/We = νEp(1-Keff)/ Keff κfbfegmp/mA
.
(23)
Ricordando la (20), possiamo anche scrivere l'espressione relativa alla intensità della
corrente occorrente in un reattore ADS di potenza e livello di sottocriticità assegnati:
c = Wt ν (1-Keff)/ Keff κgmp/mA .
(24)
La potenza del fascio sarà:
Wbeam = EpWt ν (1-Keff)/ Keff κgmp/mA .
(25)
Si assume generalmente che l'energia ottimale Ep dei protoni sia dell'ordine di 1 GeV.
Ciò è suggerito principalmente dalla necessità di limitare il danneggiamento del
materiale che costituisce la "finestra" attraverso cui passa il fascio di protoni4.
2
Il numero di neutroni di spallazione (m) prodotti per un protone che colpisce un target di piombo
con energia Ep, nel range di energie di interesse, aumenta secondo l'espressione empirica (S.
Andriamonje, et al., Physics Letters, B 348 (1995) 697):
m = 3.717x10-5 Ep2 + 3.396x10-3Ep - 0.367.
Indicazioni recenti danno valori diversi, inferiori di circa 10÷20%, per protoni di 1 GeV.
3
Ciò, per tenere conto della loro importanza (in relazione alla potenza del sistema) rispetto a quella,
media, dei neutroni di fissione.
4
Il numero di neutroni di spallazione per protone incidente aumenta con l'energia Ep (v. nota 1), e,
quindi, aumentando questa, la corrente protonica diminuisce corrispondentemente per produrre la
stessa sorgente di neutroni.
12
Quindi, assumendo keff=0.96, fb = 0.5, fe = 0.38, ν=2.7, m=33 e g= 1.2 e ricordando
che κ (energia per fissione) è dell'ordine di 200 Mev (= 3.2 x 10-17 MJ), otteniamo:
Wacc/We = 0.074 , Wacc/Wt = 0.02 , c = 0.014 Wt .
In questo caso il 7.4% della potenza elettrica è assorbita dall'acceleratore. Per una
potenza termica di 840 MW (corrispondente alle dimensioni di un reattore tipo
PRISM), per un valore Keff=0.96, la potenza assorbita risulta Wacc= 24 MW,
corrispondente ad una corrente protonica di circa 10 mA.
Poichè κ = (MJ) / fission , si ha anche, denotando con "e" la carica elementare
dell'elettrone (in coulomb)
103 κp / mA =
κ
κ (MJ) / fission
≡ =
= (MeV) / fission = εf (≅ 200 MeV)
e / sec
e
(MJ) / MeV
1(proton ) / sec
per cui nelle espressioni precedenti il prodotto κp/mA può essere sostituito con 10-3εf
( ≅ 0.2 ).
13
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