ISTITUTO LOMBARDO - ACCADEMIA DI SCIENZE E LETTERE
Estratto dai R.ndiconti, Classe di Scienze (A) - Vol. 107 - 1973
SULL'ASIMMETRIA
DEL TENSORE PERMEABILITA' MAGNETICA
NEI CORPI FERROMAGNETICI
Nota di
GIOVANNI
Caui
Istituto Lombardo di Scienze e Lettere
MILANO
1973
A
EDITRICE SUCC. FUSI
- 911973
- PAVIA
Meccanica e Fisica matematica
Istituto Lombardo (Rend. Re.) A 107, 83-94 (1973)
SULL'ASIMMETRIA
DEL TENSORE PERMEABILITA' MAGNETICA
NEI CORPI FERROMAGNETICI
Nota (*) di
GIOVANNI CRUPI
Presentata dal m. e. Bruno FiILZI
(Adunanza del 26 ottobre 1972)
SUNTO. - Si conduce un'indagine per stabilire le proprietà generali, compatibili con la natura pseudotensoriale del campo magnetico, del tensore permeabilità magnetica nei mezzi ferromagnetici anisotropi. Tra l'altro, si dimostra che
tale tensore è asimmetrico. Infine, si deduce una formula approssimata che, a
meno di termini di ordine superiore al secondo nelle componenti del campo, è
suscettibile di esprimere il tensore permeabilità di un generico corpo ferromagnetico anisotropo schematizzabile nei cristalli dei vari sistemi.
INTRODuzIoNE. - Lo studio dei fenomeni elettromagnetici nella materia in quieto rispetto ad un sistema inerziale di riferimento talvolta
conduce a problemi analitici non lineari. Ciò accade perchè in taluni
mezzi le equazioni materiali che traducono il legame tra le grandezze
associate al fenomeno non possono essere concepite in termini di semplici proporzionalità, o relazioni tensoriali lineari, a coefficienti indipendenti dalle grandezze stesse.
Ad esempio, nei mezzi ferromagnetici, anche se supposti isotropi
ed omogenei, non vale il legame di proporzionalità
(1)
B=iH,
con t scalare invariante, tra l'induzione magnetica B e l'intensità
magnetica H del campo.
(*) Lavoro eseguito con contributo del C.N.R. nell'ambito del G.N.F.M. e
per le Applicazioni della Matematica alla Fisica e all'Ingegneria.
G. CftuPt
Più precisamente, i fatti sperimentali suggeriscono di sostituire
la (1) con una relazione del tipo
(2)
B = B(H),
dove B(H) indica una funzione non lineare di H.
Nell'ipotesi di corpi ferromagnetici isotropi ed omogenei sono
stati pubblicati lavori di Zoli (1) e di Stagnani (2) dove alla (2) viene
data, rispettivamente, la forma
(3)
B = 1u(H2)H
(4)
B=i(H)H
con u funzione scalare.
Una sintesi sullo stato della ricerca elettromagnetica nei mezzi
ferromagnetici si trova inserita nel n. 2 di un lavoro di Graffi () del
1967, ed in essa, tra l'altro, si legge che risultati rigorosi sul campo elet-
tromagnetico nei corpi ferromagnetici sono, in complesso, assai scarsi.
Non mi risulta, in particolare, che sia stata compiuta un'indagine. per stabilire le proprietà generali, compatibili con la natura pseudotensoriale del campo magnetico, di cui deve godere un eventuale tensore permeabilità magnetica IZIk (H1 , H2 , H3) atto a connettere le grandezze B ed H nei mezzi ferromagnetici anisotropi.
Tale indagine costituisce l'oggetto principale della presente ricerca.
Nel n. 1 sarà fatto un richiamo della nozione di pseudotensore.
Nel n. 2 si dimostrerà che un eventuale tensore permeabilità magnetica dipendente da H, come si verifica nei mezzi ferromagnetici, per
ragioni di compatibilità con la natura pseudotensoriale di H dev'es-
sere asimmetrico.
Nel n. 3, applicando semplici nozioni di calcolo tensoriale, si dedurrà che la parte simmetrica di ua(H) è una funzione pari di H,
mentre la parte emisimmetrica è una funzione dispari. Inoltre, sarà
(') A. M. ZOLI, Bui teorema di unicità per le eqwzzionz di MaxweU in un
mezzo ferromagnetioo. Rend. Lincei (8) XXI (1961), 892.
(2) A. M. STAGNANI, Buia propagazione di una disconiinuitd elettromagneAtti Sem. Mat. e Pia. Univ. Modena Xliii (1964), 91.
(3) D. Gw'rI, Problemi non lineari nella teoria del campo elettromagnetico.
Atti e Mem. Ace. Naz. Scienze, Lettere e Arti di Modena, Serie VI, Vol. IX, 1967.
tica in un mezzo non lineare.
SULL'ASIMMETRIA DEL TENSORE PERMEABILITÀ MAGNETICA ECC.
85
messo in evidenza che il contributo all'induzione magnetica B proveniente dalla parte emisimmetrica di (H) risulta ortogonale ad H
e, quindi, è inessenziale ai fini del calcolo dell'energia magnetica.
Nel n. 4 si trova che, a meno di termini di ordine superiore al secondo in H, il tensore permeabilità magnetica nei corpi ferromagnetici
è suscettibile della seguente espressione
(5)
/Lik
(H) = ( ik
+ r ikpq Hp Hq ) + €rik Vrs H.
dove fllk, Yikpq e vre sono tensori, indipendenti da H, che traducono la
natura, le proprietà strutturali e lo stato del mezzo.
N. 1. - Com'è noto, le componenti c'warianti di uno paendotensore di rango uno (vettore assiale) nel passaggio da un sistema di
coordinate x' ad un altro x, si trasformano con la seguente legge
(6)
Xi = signDAk
a X01
dove con signD si indica il segno del determinante jaeobiano della
trasformazione
(7)
x'k = Xlk (ai),
presupposta a determinante jaeobiano non nullo.
Poichè ci sarà utile nel seguito, ci proponiamo di rendere esplicito l'aspetto che assume la (6) nello spazio ordinario tridimensionale
riferito a due sistemi cartesiani ortogonali S(O, x 1 , x2 , x 3) ed
8'(0, x'i , x's, x'2), connessi uno all 'a1tro dalla trasformazione
a,i =
(8)
X3 = X3
Interpretando le (8), il sistema 8' si può riguardare come ottenuto
da 8 col semplice scambio della coppia di indici i e 2.
E' ovvio che se 8 è un sistema levogiro, allora 2' risulterà destrogiro, e viceversa. Sicchè la trasformazione (8) esprime, in particolare,
che lo scambio di due indici distinti in una terna di riferimento effettua il passaggio da un sistema levogiro ad uno destrogiro, o viceversa.
G. caupi
86
In coordinate cartesiane ortogonali la distinzione tra indici di
covarianza e di controvarianza è inessenziale.
Il determinante jacobiano della trasformazione (8) è dato da
IO 1 01
(9)
I
.1I10 01=—i
I
IO O il
D=detll
Il
e, quindi,
(10)
signD= — l.
Inserendo la (10) nella (6), si ottiene
(11)
A'i
Ak
Dalla (11), attribuendo agli indici i e k i valori 1, 2, 3 ed invocando la trasformazione (8), si trae
A' 1 = - A 3
A' 1 = - A 1
(12)
= - A3
Moltiplicando, rispettivamente, la prima, la seconda e la terza
delle (12) per i versori U', 1 u' 21 u'3 degli assi del sistema cartesiano
S'(O, x'1 , z' 2 il3 ) e sommando membro a membro si ottiene
,
(13)
A' U'i = - A 2
(
u'1 + A 1 u'2 + A 3 u'3)
Osservando che tra i versori UI dei sistema 8(0, x 1 , a, z3 ) e quelli
del sistema S'(O, il1 , x'2 il3 ), in virtù della trasformazione (8),
sussiste il seguente legame
U' k
,
=
(14)
u'3 = U t
U'3 = U3
la (13) può essere scritta nella forma
(15)
A' U'i = - Ai Ui
SULL'ASIMMETRIA DEL TENSORE PERMEABILITÀ MAGNETICA ECC.
87
dove nel primo membro figurano solo quantità riferite al sistema 2'
e nel secondo membro solo quantità riferite al sistema S.
Se conveniamo di indicare il vettore assiale in oggetto con A' in
8' e con A in 8, si ha
A' = A'1 u'i,
(16)
A = Ai
Ui
e, quindi, la (15) può essere sostituita con
(17)
A'=—A.
La (15), o la (17), dà la legge di trasformazione dei vettori assiali nel passaggio da un riferimento levogiro ad uno destrogiro, o viceversa.
Si è ritenuto opportuno premettere alcuni richiami e commenti
sul comportamento dei vettori assiali rispetto alle trasformazioni di
coordinate perché ci saranno utili nel seguito a causa della natura
pseudotensoriale del campo magnetico.
N. 2. - Per gli sviluppi formali, conveniamo di riferire il dominio occupato dal mezzo ferromagnetico ad assi cartesiani ortogonali.
Ammettiamo che nei mezzi ferromagnetici anisotropi le grandezze
B ed H siano connesse tra loro da una relazione tensoriale del tipo
Bi = /Ljk (H1 H, H3 Hk
(18)
,
)
dove, essendo B ed H vettori assiali (pseudotensori di rango uno), le
quantità 14(H1 H2 H3) devono individuare un tensore di rango due.
La dipendenza del tensore permeabilità magnetica ßlk dal campo H
è suggerita dai fatti sperimentali.
Se, per brevità, si pone
,
(19)
,
fLlk(H, H 2 , H3
)
/Lik(H),
allora la (18) si può screvere nella forma
(20)
Bi = /Llk (H) Hk.
Dimostreremo, adesso, con semplici considerazioni basate sulle
leggi di trasformazione dei tensori e dei pseudotensori, che un ten.
88
G.
caupi
sore permeabilità magnetica
H) dipendente da H è certamente
asimmetrico rispetto agli indici i e k.
Uno scambio degli indici i e k corrisponde, ovviamente, ad une
scambio degli assi x1 ed Xk, cioè corrisponde al passaggio da un si•
stema di riferimento levogiro S ad uno destrogiro 8' (o viceversa),
come è stato osservato nel n. 1.
Allora, H, che è un vettore assiale, in uno scambio degli indici i
e /e subirà una trasformazione del tipo (17), cioè si avrà
(21)
H'= — H
dove con H' è stata indicata l'intensità del campo magnetico in 8'.
Pertanto, segue che
(22)
/.Lik
(H) =
jUki
(— H)
La (22), tra l'altro, esprime che nei mezzi ferromagnetici il tensore permeabilità magnetica è asimmetrico.
La condizione espressa dalla (22) è del tutto analoga a quella a
cui soddisfa il tensore conducibilità elettrica nei corpi soggetti all'azione di campi magnetici. A tale proposito, e per inciso, ricordiamo
che è proprio la parte emisimmetrica del tensore conducibilità quella
che permette d'interpretare nello schema del continuo le correnti di
Hall (4).
Nel caso di corpi, esenti da proprietà ferromagnetiche, per i quali
il tensore permeabilità può essere considerato indipendente dal campo
magnetico, la (22) si particolarizza nella nota relazione di simmetria.
(23)
Ujk = /Zki.
La (23) si può dimostrare, autonomamente, mediante considerazioni termodinamiche ( a).
Nei mezzi eterogenei le JU1k, oltre che da eventuali altri parametri,
dipendono anche dal posto. Non variano, invece, da punto a punto se
il mezzo è omogeneo.
(') L. D. LLNDAtJ and E. M. Lxrsmrz, Electrodynanuc8
21, Pergamon Pr, Oxford, 1960.
() L. D. IiANDAIJ and E. M. IjrrsHITz, ioe. est., S 28.
of
continuou8 media.
SULL'ASIMMETRIA DEL TENSORE PERMEABILITÀ MAGNETICA
Ecc.
89
In tal caso le
che figurano nella (23), assumono valori costanti che traducono la natura e lo stato del mezzo. Nell'ipotesi, poi,
di un mezzo isotropo ed omogeneo, la (23) assume la struttura nota
(24)
/Lk = /L ólk
dove con ólk è stato indicato il tensore di Kronecker e con a una costante scalare il cui valore dipende dalla natura e dallo stato del
corpo.
N. 3. - Un generico tensore asimmetrico di rango due può essere
decomposto identicamente nella somma di due tensori uno simmetrico
e l'altro emisimmetrico.
Allora, il tensore permeabilità magnetica Ujk (H) associato ad un
campo ferromagnetico, è suscettibile della decomposizione
(25)
4ajk(H)
Sik(H) + Alk(H),
dove con 81k(H) ed Ajk(H) sono state indicate, rispettivamente, la
parte simmetrica e quella emisimmetrica di p (H), cioè
(26)
(27)
Sjk (H) = Àkj (11)
Aik
(H) = — AkI (11).
La (25) va considerata come un'identità sia rispetto agli indici i
e k che rispetto ad 11, pertanto è lecito porre
(28)
Ukj (— H) = Skl (— H) + Aki (— H)
con
(29)
(30)
Ski (— H) = Sik (— H)
Aki(— H) = — Aik(—
H)
Poichè i primi membri di (25) e (28) sono uguali, in virtù della
condizione espressa dalla (22), valgono anche le
(31)
Sik (H) = Ski( — H)
(32)
Aik(H) = Aki(— H)
90
o. caupi
da cui, tenendo conto delle proprietà espresse dalle (29) e (30), si
trae
(33)
(H) =
Sik( —
(H) = -
AIk
81k
(34)
Ajk
H)
(— H)
La (33) e la (34) traducono un notevole risultato generale. E più
precisamente, esse esprimono che nei corpi ferromagnetici, per ragioni
di compatibilità con la natura pseudotensoriale del campo magnetico,
la parto simmetrica del tensore permeabilità 14k (H) è una funzione pari
di H, mentre la parte eniisimmetriea, è una funzione dispari dello stesso
argomento.
Con riferimento ad eventuali applicazioni a casi concreti è conveniente dare all'identità (25) una forma più opportuna. E' di ciò
che, ora, ci occuperemo.
Essendo A(H) un tensore emisimmetrieo rispetto agli indici i e
k, è lecito associare ad esso uno pseudotensore di rango uno mediante
la nota legge
(35)
dove con e è stato indicato lo pseudotensore di Ricci. E' appena necessario osservare che le componenti K 1 , come le A, devono essere
funzioni dispari di H, cioè
(36)
K(H)=—K(—Ij).
Moltiplicando ambo i membri della legge (35) per e
nendo rispetto all'indice ripetuto, si trae
(37)
Ap q = 8ipq
e compo-
Ri
e, quindi, la (25) può essere scritta nella. forma
(38)
/Lik
(H) = iSik (R +
Kr (H)
che si presta meglio nelle, applicazioni.
Si può facilmente accertare che il tensore PU(H) definito dalla
(38), verifica la condizione. (22).
SULL'ASIMMETRIA DEL TENSORE PERMEABILITÀ MAGNETICA
Ecc.
91
Infatti, scambiando gli indici i e Jc e sostituendo —H ad 11, dalla
(38) segue
(39)
Uki(—
H) =
Ski
( — H) + ski K(— H),
da cui, invocando la simmetria di S jk rispetto agli indici i e k, la (33),
la (36) e la proprietà di emisimmetria dello pseudotensore di Ricci,
si ottiene
(40)
Ilki(—H) = Sik(H)+
€rikKr(H).
Il confronto della (38) con la (40) ci permette di constatare che
il tensore 4Uik (H) espresso dalla (38) è conforme alla condizione (22).
Chiudiamo questo numero con una semplice applicazione della (38).
Inserendo la (38) nella (20), si trova
(41)
Bi = Sik (H) Hk +
8rjI Kr (H)
Hk
cioè
(42)
Bi = Sik(H)Hk + (HA K)i.
Il termine (H A K)1 esprime che nei mezzi ferromagnetici il contributo
all'induzione magnetica B della parte eminmmetrica del tensore permeabilità ha direzione ortogonale al campo H.
Allora, il prodotto scalare di B per H è dato da
(43)
B X H = B Hi = Sa H1
Hk
e, perciò, si può concludere che in un mezzo ferromagnetico l'energia
magnetica è determinata solo dalla parte simmetrica del tensore permeabilità.
N. 4. - In questo numero conclusivo ci proponiamo di esplicitare
la struttura che assume la (38) nel case, fisicamente frequente, in cui
(H) si possono ritenere
nella valutazione dell'influenza di H su
trascurabili i termini di ordine superiore al secondo.
A tale scopo applicando lo sviluppo in serie di Mac-Liaurin al
tensore S(H) ed allo pseudovettore K r (H), a meno di termini di
ordine superiore al secondo nelle componenti di H, si ottiene
(44)
ik (11) = ( Sik) o + (
9
7)
ff
+.
)
Hp Hq
a. cauri
92
(45)
Kr (H) =
( Kr)o
_Kr
+ (H
8
+
)
i
I
Kr '
HpHqio
H Hq
dove, ovviamente, con l'indice zero in basso s'intende indicare che le
quantità in parentesi vanno valutate per H1 = H2 = H3 = O.
Poichè la generica componente S jk(H), in conformità alla (33),
deve essere una funzione pari di H, nella (44) bisogna porre
(46)
()=o.
Analogamente, per rendere la (45) coerente con la esigenza che K r(H)
sia una funzione dispari di H, in conformità alla condizione (36),
bisogna porre
(Kr)o = O
(47)
1
( 48
2Kr
\0.
Hp)Hq)o
La (44) e la (45), dopo le (46), (47) e (48), assumono la forma
Sik (H) = Thk + jikpq H9 11q
(49)
Kr (H) = vre
(50)
dove, per brevità, si è posto
(51)
(Sik)0 = )ik
2
(52)
= 7ikpq
K \
(53)
Il tensore
(54)
,Sik
7ì ik
, definito dalla (51), è simmetrico come 8 1k, cioè
1ìik
=
17M
.
Le quantità )'Ik, introdotte con la (52), individuano un tensore
di rango quattro, essendo sia Sjk che H Hq tensori di rango due.
93ULL'ASIMMETRIA DEL TENORt PERMEABILITÀ MAaNrrIcA tCC.
9
Inoltre, 7jkpq gode delle simmetrie
(55)
71kpq = 7klpq
(56)
'ikpq = rikqp
che discendono dalla (52). Più precisamente, la (55), è conseguenza
della simmetria del tensore Sik, mentre la (56) traduce 1' invertibilità
dell'ordine di derivazione di 2 1k (H) rispetto alle variabili H. (s = 1, 2, 3).
I coefficienti v 1 della (50) individuano anch'essi un tensore di
rango due, essendo K r ed II entrambi pseudotensori di rango uno.
Ovviamente, assegnato il sistema di riferimento, i valori numerici
delle componenti dei tensori , yjk,, e v,,, restano determinati dalla
natura e dallo stato del mezzo ferromagnetico in oggetto. Inoltre, tali
valori variano da punto a punto in un mezzo eterogeneo, mentre sono
indipendenti dal posto nei mezzi omogeneamente costituiti.
E' immediato verificare che la (49) e la (50) risultano, rispettiva.
mente, conformi alle condizioni (33) e (36).
Adesso, sostituendo la (49) e la (50) nella (38), resta stabilità la
ricercata formula
.8
(57)
/Lik
(11) = (
Ik + 7ikpq
H Hq ) + Erik Vr
HB,
che fornisce, a meno di termini di ordine superiore al secondo in H8
la struttura del tensore permeabilità magnetica in un generico mezzo
ferromagnetico. La sua parte simmetrica è una funzione quadratica
di H, mentre quella emisimmetrica mette in evidenza un effetto lineare.
Come si può facilmente accertare, la (57) è compatibile con la
condizione generale (22).
La (57) appare interessante perché, tra l'altro, è suscettibile di
essere facilmente adattata ai corpi anisotropi schematizzabili nei cristalli dei vari sistemi. Per effettuare l'adattamento basta partieolarizzare i tensoriy ikpq , v, in connessione alle simmetrie del sistema
considerato.
Un dettagliato approfondimento della (57) in detti corpi anisotropi costituirà l'oggetto di una successiva ricerca.
Adesso, concluderemo il lavoro, soffermandoci particolareggiatamente sul caso di un mezzo isotropo ed omogeneo.
In tal caso i tensori 7pk , Yik1q, r, che traducono le proprietà del
mezzo, saranno indipendenti dal posto ed avranno struttura isotropa.
,
94
0. CRUPI
Sicchè, sarà lecito porre
flik =
(58)
(59)
'ikpq =
li òik
ik 3pq + òip 3kq
+ Còlq
kp
Vre =
(60)
v vanno riguardati come costanti con cadove i parametri j, a ,
rattere di scalari invarianti.
Le simmetrie del tensore ?'k, indicate da (55) e (56), conducono
alla stessa condizione
(61)
Pertanto, dopo le (58), (59), (60) e (61), la (57) si specializza nella
seguente formula
(62)
4U1k(H) =
('7 + cH')&k + ( +
) HjH + VErikHr,
che, a meno di termini di ordini superiori al secondo in H8 dà la
struttura del tensore permeabilità, nei mezzi ferromagnetici isotropi
ed omogenei.
Sostituendo la (62) nella (20), si trova
,
(63)
Bi = (1+TH 2 )Hj
cioè
(64)
B = (+TH')H
dove si è posto
(65)
T =
La (64), tra l'altro, ci permette di affermare che nei mezzi ferromagnetici isotropi il contributo all'induzione magnetica della parte
emisimmetrica del tensore permeabilità è nullo. Le cose vanno diversamente, invece, nei mezzi anisotropi.
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