U NIVERSIT A` DI PAVIA FACOLT A` DI I NGEGNERIA Esame di Meccanica Razionale 24 Luglio 2014 COGNOME NOME ESITO La prova durer`a 90 minuti. Non e` permesso consultare testi o appunti n´e comunicare in alcun modo con gli altri candidati o con l’esterno, pena l’esclusione dalla prova. La risposta a ciascun quesito va data nello spazio sottostante il riquadro corrispondente. Il punteggio massimo assegnabile e` dichiarato in trentesimi tra parentesi [ ]. Problema. Un sistema articolato e` formato da due aste omogenee, AB e BC , entrambe di lunghezza ℓ. L’estremo A e` fissato con una cerniera sull’orizzontale, mentre l’estremo C e` collegato attraverso una cerniera ad una guida scorrevole orizzontalmente. Le aste AB e BC hanno entambe massa m. Il punto medio D di AB e` collegato al punto medio E di BC da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo zero. In B agisce una forza costante F = F ex (come in Figura). L’angolo ϑ in Figura pu`o variare nell’intervallo [0, π2 ] e g e` l’accelerazione di gravit`a. Tutti i vincoli sono ideali. 1 [5] Q1a. Scrivere la lagrangiana L del sistema. L = mℓ2 1 1 + sin2 ϑ ϑ˙ 2 + ℓ F cos ϑ − kℓ cos2 ϑ − mg sin ϑ 3 2 ¨ Q1b. Calcolare l’accelerazione angolare ϑ(0) all’istante iniziale t = 0, se ϑ(0) = π2 ˙ e ϑ(0) = 0. [2] 3F ¨ ϑ(0) =− 8mℓ Q2. Se m = 0, determinare tutte le configurazioni di equilibrio del sistema. F ϑ1 = 0 e ϑ2 = arccos se F < kℓ kℓ [7] Q3. Se m = 0 e F 6= kℓ, dire quali configurazioni di equilibrio sono stabili e quali sono instabili. [7] F < kℓ F > kℓ ⇒ ⇒ ϑ1 ϑ1 instabile stabile e ϑ2 stabile Q4. Se m = 0 e F = kℓ, dire in virt`u di quale Teorema si pu`o qualificare la stabilit`a della (sola) configurazione di equilibrio. [5] Stabile, per il Teorema di Lagrange-Dirichlet Q5. Se m = 0 e F ≦ kℓ, determinare le reazioni vincolari esterne nelle cerniere A e C, quando il sistema e` nella configurazione di equilibrio stabile. [4] s 2 F kℓ ΦAx = −F ΦAy = −ΦCy ΦCy = −1 2 F 2