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PROPOSTE PER I SEMINARI PER IL CORSO: NONLINEAR
PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS A.A. 2014-2015
KEVIN R. PAYNE
(1) La nascita del metodo dei piani mobili: l’idea sarebbe di tracciare la storia dal
lavoro di Alexandroff [1].
(2) La rinascita del metodo dei piani mobili: la referenza `e il lavoro di Serrin [30].
(3) Propriet`
a qualitative delle soluzioni per equazioni quasilineari: possibili referenze
sono i lavori di Damaselli-Pacella [12], Damascelli-Sciunze [13] e DamascelliSciunze [14].
(4) Combinazione di identit`
a integrali ed iperpiani mobili: possibili referenza sono i
lavori di Damascelli-Gladiali [11], Terracini [31]
(5) I metodi di iperpiani mobili e sfere mobili per orperatori degeneri: possibili
refeneze sono Monti-Mordidelli [28] e Monticelli [29].
(6) Simmetria tramite il metodo delle sfere mobili per equazioni semilineari con
coefficienti singolari: una possibilit`a `e il lavoro di Ji-Li-Xu [21].
(7) Teoremi di tipo Liouville tramite il metodo delle sfere mobili: una possibilit`a `e
il lavoro di Li-Zhang [26].
(8) Simmetria e monotonia per equazioni completamente nonlineare: un confronto
tra i metodi dei piani mobili e sliding domains: le referenze sono i lavori di C. Li
[24] e Berestycki-Nirenberg [5].
(9) Il metodo delle sfere mobili per trattare equazioni integrali con invarianza conforme: la referenza `e il lavoro di Y.Y. Li [25].
(10) Il metodo di “rotating planes”: possibili referenze sono i lavori di Chern-C.S.Lin
[7] and C.S.Lin-Takagi [27]
(11) Teoremi di convergenza per soluzioni di equazioni completamente nonlineari:
l’idea sarebbe di tracciare un p`o la prestoria delle soluzioni viscose tramite i
lavori di Evans [15] e [16]. Il legame con la teoria viscosa `e descritta in paragrafo
6 di Crandall-Ishii-Lions [10].
(12) La stima di Alexandroff-Bakelmann-Pucci per soluzioni viscose. L’idea sarebbe
illustrare una stima tipo Alexandroff per soluzioni viscose per equazioni uniformemente ellittiche definite tramite gli operatori massimali di Pucci: la referenza ´e
[6] (paragrafo 2.2 per la classe di soluzioni e gli operatori di Pucci e paragrafo
3.1 per la stima).
(13) La disuguaglianza di Harnack per soluzioni viscose di equazioni uniformemente
ellittiche: la referenza `e [6] (paragrafi 4.1 e 4.2). Nota bene: si abbina bene
questo argomento con quello sopra visto che entrambi usano lo stesso linguaggio.
(14) Il principio di massimo di Jensen per soluzioni viscose: la referenza `e Jensen [18].
Potrebbe essere utile consultare anche Jensen-Lions-Souganidis [20] e Jensen [19].
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KEVIN R. PAYNE
(15) Il principio di massimo per funzioni semicontinue e la relazione con il principio di
confronto per il problema di Dirichlet: l’idea sarebbe di riprendere e presentare
il Teorema sulle somme usando i lavori originali di Crandall-Ishii [9] e Crandall
[8].
(16) Il principio di massimo forte per soluzioni viscose: due referenze possibili sono
Kawohl-Kutev [22] e Bardi-Da Lio [2].
(17) Il principio di confronto per soluzioni viscose usando la tecnica di Ishii per generalizzare le condizione di struttura (F4) che abbiamo discusso a lezione: due
possibile referenze sono Bardi-Mannucci [3] e Kawohl-Kutev [23].
(18) Il principio di confronto per soluzioni viscose senza il lemma delle somme per
equazioni della forma F (Du, D2 u) = 0: la referenza `e Barles-Busca [4].
(19) Il principio di confronto per equazioni completamente nonlineari ed uniformemente ellittiche: la referenza `e il lavoro di Trudinger [32].
(20) Il principio di confronto ed il Problema di Dirichlet per equazioni di curvatura
prescritta: l’idea sarebbe illustrare come restringere la definizione di soluzioni
viscose imponendo una condizione di ammissibilit`a per trattare equazioni che
non sono monotone nella hessiana. Una possibile referenza `e Trudinger [33].
Potrebbe essere utile consultare anche sezione V.3 di Ishii-Lions [17].
References
[1] A.D. Aleksandrov. Uniqueness theorems for surfaces in the large I. Vestnik Leningrad Univ. Math.,
11:5–17, 1956.
[2] M. Bardi and F. Da Lio. On the strong maximum principle for fully nonlinear degenerate elliptic
equations. Arch. Math., 73(4):276–285, 1999.
[3] M. Bardi and P. Mannucci. On the Dirichlet problem for non-totally degenerate fully nonlinear
elliptic equations. Commun. Pure Appl. Anal., 73(4):709–731, 2006.
[4] G. Barles and J. Busca. Existence and comparison results for fully nonlinear degenerate elliptic
equations without zeroth-order term. Comm . Partial Differential Equations, 26(11-12):2323–2337,
2011.
[5] H. Berestycki and L. Nirenberg. On the method of moving planes and the sliding method. Bol. Soc.
Brazil (N.S.), 22(1):1–37, 1991.
[6] L. Caffarelli and X. Cabr´e. Fully nonlinear elliptic equations., volume 43 of American Mathematical
Society Colloquium Publications. American Mathematical Society, Providence, RI, 1995.
[7] J-L. Chern and C-S. Lin. The symmetry of least-energy solutions for semilinear elliptic equations.
J. Differential Equations., 187(2):240–268, 2003.
[8] M. G. Crandall. Semidifferentials, quadratic forms and fully nonlinear elliptic equations of second
order. Ann. Inst. H. Poincar´e Anal. Nonlin´eaire, 6(6):419–435, 1989.
[9] M. G. Crandall and H. Ishii. The maximum principle for semicontinuous functions. Differential
Integral Equations, 3(6):1001–1014, 1990.
[10] M. G. Crandall, H. Ishii, and P-L. Lions. User’s guide to viscosity solutions of second order partial
differential equations. Bull. Amer. Math. Soc., 27(1):1–67, 1992.
[11] L. Damascelli and F. Gladiali. Some nonexistence results for positive solutions of elliptic equations
in unbounded domains. Rev. Mat. Iberoamericana, 20(1):67–86, 2004.
[12] L. Damascelli and F. Pacella. Monotonicity and symmetry of solutions of p-Laplace equations,
1 < p < 2, via the moving plane method. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (4), 26(2):689–707, 1998.
[13] L. Damascelli and B. Sciunzi. Regularity, monotonicity and symmetry of positive solutions of mLaplace equations. J. Differential Equations, 206(2):483–515, 2004.
SEMINARI
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[14] L. Damascelli and B. Sciunzi. Harnack inequalities, maximum and comparison principles, and
regularity of positive solutions of m-Laplace equations. Cal. Var. Partial Differential Eqautions,
25(2):139–159, 2006.
[15] L. C. Evans. A convergence theorem for solutions of nonlinear second-order elliptic equations. Indiana Univ. Math. J., 27(5):875–887, 1978.
[16] L. C. Evans. On solving certain nonlinear partial differential equations by accretive operator methods. Israel J. Math., 36(5):225–247, 1980.
[17] H. Ishii and P-L. Lions. Viscosity solutions of fully nonlinear second-order elliptic partial differential
equations. J. Differential Equations, 83(1):26–78, 1990.
[18] R. Jensen. The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial
differential equations. Arch. Rat. Mech. Anal., 101(1):1–27, 1988.
[19] R. Jensen. Uniqueness criteria for viscosity solutions of fully nonlinear elliptic partial differential
equations. Indiana U. Math. J., 38(3):629–667, 1989.
[20] R. Jensen, P-L. Lions, and P. E. Souganidis. A uniqueness result for viscosity solutions of second
order fully nonlinear partial differential equations. Proc. Amer. Math. Soc., 102(4):975–978, 1988.
[21] Q. Jin, Y. Y. Li, and H. Xu. Symmetry and asymmetry: the method of moving spheres. Adv.
Differential Equations, 13(7-8):601–640, 2008.
[22] B. Kawohl and N. Kutev. Strong maximum principle for semicontinuous viscosity solutions of nonlinear partial differential equations. Arch. Math., 70(2):470–478, 1998.
[23] B. Kawohl and N. Kutev. Comparison principle for viscosity solutions of fully nonlinear, degenerate
elliptic equations. Comm. Partial Differential Equations, 32(7-9):1209–1224, 2007.
[24] C. Li. Monotonicity and symmetry of solutions of fully nonlinear elliptic equations on bounded
domains. Comm. Partial Differential Equations, 16(2-3):525–598, 1991.
[25] Y. Y. Li. Remark on some conformally invariant integral equations: the method of moving spheres.
J. Eur. Math. Soc, 6(2):153–180, 2004.
[26] Y. Y. Li and M. Zhang. Liouville-type theorems and Harnack-type inequalities for semilinear elliptic
equations. J. Anal. Math., 90(2):27–87, 2003.
[27] C-S. Lin and I. Takagi. Method of rotating planes applied to a singularly perturbed neumann
problems. Calc. Var. Partial Differential Equations, 13(4):519–536, 2001.
[28] R. Monti and D. Morbidelli. Kelvin transform for Grushin operators and critical semilinear equations. Duke Math. J., 131(1):167–202, 2006.
[29] D.D. Monticelli. Maximum principles and the method of moving planes for a class of degenerate
elliptic linear operators. J. Eur. Math. Soc., 12(3):611–654, 2010.
[30] J. Serrin. A symmetry problem in potential theory. Arch. Ration. Mech., 43:304–318, 1971.
[31] S. Terracini. On positive entire solutions to a class of equations with a singular coefficient and
critical exponent. Adv. Differential Equations, 1(2):241–264, 1996.
[32] N. S. Trudinger. Comparison principles and pointwise estimates for viscosity solutions of nonlinear
elliptic equations. Rev. Mat. Iberoamericana, 4(3-4):453–468, 1988.
[33] N. S. Trudinger. The Dirichlet problem for the prescribed curvature equations. Arch. Rational Mech.
Anal., 111(2):153–179, 1990.

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