Programma precorso di matematica - Dipartimento di Ingegneria

Programma precorso di matematica
a.a. 2014/15
Quello che segue `e il programma dettagliato del precorso. Si fa riferimento al
testo
[MPB] E. Acerbi, G. Buttazzo: Matematica Preuniversitaria di Base, Pitagora Editrice Bologna (2003).
Gli esercizi che sono richiamati in corrispondenza ad un argomento sono quelli
riassuntivi del libro [MPB] che si trovano al termine di ciascun capitolo, ad esempio
(1.3) `e l’esercizio numero 3 al termine del capitolo 1.
IMPORTANTE: tutti gli esercizi affrontati nella lezione vanno svolti
per intero. Nell’eventualit`
a che non si riesca a svolgere un esercizio per intero,
questo sar`
a proposto allo studente come esercizio da fare a casa e verr`
a corretto
nella lezione successiva.
Quando risulti necessario integrare con esercizi aggiuntivi, cercate di di prenderli dal testo [MPB].
1
Organizzazione della lezione
(•)
(•)
(•)
(•)
(•)
I docenti lavorano in coppia docente 1/docente 2 nel modo seguente:
Nella prima ora di lezione il docente 1 introduce rapidamente le definizioni
ed i risultati, e poi svolge alcuni esercizi;
Il docente 2 assegna alcuni esercizi agli studenti;
Nelle due ore successive i due docenti stimolano gli studenti a svolgere gli
esercizi, girando tra le file degli studenti, rispondendo ai loro quesiti e cercando
di chiarire i loro dubbi.
Il docente 2 risolve gli esercizi proposti.
Al termine della lezione, uno dei due docenti propone esercizi per la lezione
successiva. Gli studenti sono invitati a ripassare gli esercizi svolti durante la lezione.
N.B. Nulla vieta di scansionare il tempo come segue (anzi, dovrebbe essere
preferito rispetto al precedente).
(•) Nella prima ora di lezione il docente 1 introduce rapidamente le nuove
definizioni ed i risultati necessari e poi svolge alcuni esercizi;
(•) Il docente 1 assegna alcuni esercizi agli studenti;
(•) Nell’ora successiva i due docenti stimolano gli studenti a svolgere gli esercizi,
girando tra le file degli studenti, rispondendo ai loro quesiti e cercando di
chiarire i loro dubbi.
(•) Il docente 2 risolve gli esercizi proposti.
(•) Nella terza ora di lezione docente 2 introduce rapidamente nuove definizioni
e risultati e svolge alcuni esercizi;
(•) Il docente 2 assegna alcuni esercizi agli studenti;
(•) Nell’ora successiva i due docenti stimolano gli studenti a svolgere gli esercizi,
girando tra le file degli studenti, rispondendo ai loro quesiti e cercando di
chiarire i loro dubbi.
(•) Il docente 1 risolve gli esercizi proposti.
(•) Al termine della lezione (se resta il tempo), uno dei due docenti propone
esercizi per la lezione successiva.
I docenti devono cercare di riservare un poco di tempo (15–30 minuti) per
rispondere ai quesiti degli studenti relativi agli argomenti della lezione precedente.
2
LOGICA(tempo: 2 h.) Proposizioni e predicati (ovvero frasi che possono essere
vere o false), operatori logici (non, and e or) e loro tabelle di verit`
a, quantificatore
esistenziale “∃”, quantificatore universale “∀”, negazione di proposizioni contenenti
quantificatori esistenziali e/o universali, implicazione e sua tabella di verit`
a.
Esercizi da fare: (1.3),(1.4),(1.9),(1.10)
INSIEMI(tempo: 2 h.) Linguaggio (appartenenza ∈, inclusione ⊂, intersezione
∩, unione ∪ e complementazione), paradosso di Russell (l’insieme di tutti gli insiemi che non contengono s`e stessi, ovvero il paradosso del barbiere che fa la barba
a frutti coloro che non si fanno la barba da s`e), leggi di De Morgan.
Esercizi da fare: (1.20);(1.21); (1.23) b) e c), (1.24);(1.25)
FUNZIONI(tempo: 7 h.) Definizione di funzione f : A → B, funzioni iniettive (definizione, esempio e controesempio), funzioni suriettive (definizione, esempio e controesempio), funzioni bunivoche, immagine di una funzione ovvero preso
C ⊂ A dare definizione ed esempi di f (C), controimmagine di una funzione ovvero
preso C ⊂ B dare definizione ed esempi di f −1 (C), funzione inversa (definizione
ed esempio), funzione composta.
Esercizi da fare: (1.32); (1.33)a),c) e d);(1.36);(1.41);(1.45) a),b),c) e d).
Note: Gli argomenti sottolineati sono MOLTO importanti per lo studente.
GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI(tempo: 1h.) sin x, cos x, tan x,
ex , 10x , loge x, log10 x, polinomi (1; x; x2 ; x3 ;...xn ;...), radice quadrata, radice
cubica e valore assoluto.
Note: Va fatto solo il grafico delle funzioni, e in particolare il logaritmo si intende
solo in base e ed in base 10, come pure l’esponenziale. Per quanto riguarda i
polinomi, si intendono i grafici di xn , n ∈ N. Confrontare i grafici di loge x e
log10 x. Confrontare i grafici di ex e 10x .
ALGEBRA(tempo: 4 h.) Fare riferimento al paragrafo 2.1 del libro [MPB]:
somma e prodotto in R, ordine
- se a ≤ b, c ∈ R allora a + c ≤ b + c;
- se a ≤ b, c ≥ 0 allora a · c ≤ b · c.
Va fatto un ripasso delle propriet`
a delle potenze
β
- ((A)α ) = Aα·β ,
α
β
α+β
- A A =A
,
- Aα B α = (A · B)α ,
∀A > 0, ∀α, β ∈ R.
∀A, B > 0, ∀α, β ∈ R
∀A, B > 0, ∀α ∈ R
3
Gli studenti debbono saper ordinare in ordine crescente una lista di numeri
come segue
√
√
√
4
3 3
3 43
√
; √ , √ ,
3
2 32 34 4
Esercizi da fare: (2.2);(2.3)(questo esercizio va preceduto da esercizi dello stesso
tipo ma pi`
u semplici e seguito da altri);(2.4);(2.5);(2.6);(2.7);(2.8);(2.9);(2.10);(2.16);
Note: Fare una osservazione relativa all’esercizio (2.9).
GOMETRIA ANALITICA(tempo: 6 h.) R2 , distanza e disuguaglianza triangolare, equazione della retta per 2 punti, coefficiente angolare,fascio di rette
per un punto, retta perpendicolare, retta parallela, fascio di rette parallele, circonferenza di raggio r > 0 centrata in (a, b) (definizione: {(x, y) : (x−a)2 +(y −b)2 =
r2 }, intersezione tra circonferenza e retta, cerchio {(x, y) : (x − a)2 + (y − b)2 ≤
r2 }), parabola con asse parallelo agli assi coordinati (definita come funzione
y = ax2 + bx + c ovvero x = Ay 2 + By + C), distanza punto-retta, tangenti
ad una circonferenza.
Esercizi da fare: dall’esercizio (2.30) all’esercizio (2.44) compresi.
SISTEMI LINEARI (tempo: 2 h.) Considerare dei sistemi di 2 o 3 equazioni
nelle incognite x, y: risolverli analiticamente e interpretarli analiticamente come
intersezioni tra rette (si possono avere 0, 1 o infinite intersezioni). Qui si tratta
di risolvere gli esercizi (2.14) e (2.15) b) e c) per via analitica interpretando il
risultato graficamente attraverso le nozioni di geometria analitica introdotte nel
precorso.
Note: Risolvere analiticamente utilizzando il metodo di sostituzione.
TRIGONOMETRIA ELEMENTARE(tempo: 8 h.) Osservate che il triangolo `e l’unico poligono piano rigido, e che la triangolarizzazione `e alla base per
esempio del calcolo di distanze astronomiche, calcolo di aree etc. La trigonometria
nasce per “risolvere” i triangoli. Definizione di radiante: la misura di un angolo in
radianti si ottiene tracciando un arco di circonferenza di raggio R compreso entro
l’angolo dato e calcolando L/R. In tal modo un angolo retto misura π/2 radianti
etc. Definizione di sin x, cos x come coordinate del punto P (x) che si muove sulla
circonferenza trigonometrica; determinazione dei valori di sin x e cos x per gli angoli pi`
u comuni: vedi la tabella a pagina 56 [MPB]; sin2 θ + cos2 θ = 1 per ogni
θ ∈ R (Teorema di Pitagora); formula della somma per il seno ed il coseno valide
per ogni α, β ∈ R
4
- sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α;
- cos(α + β) = cos α cos β − sin α cos β.
Si ricavano subito le formule di duplicazione, valide per ogni x ∈ R:
- sin(2x) = 2 sin x cos x;
- cos(2x) = cos2 x − sin2 x
e di bisezione, partendo da cos(x) = cos(2 · x/2) = cos2 (x/2) − sin2 (x/2) si
ottiene
q
2
x
;
- cos x = 1 − 2 sin (x/2), da cui sin(x/2) = 1−cos
2
q
x
- cos x = 2 cos2 (x/2) − 1, da cui cos(x/2) = 1+cos
.
2
Calcolare le funzioni trigonometriche nei punti π6 , π5 , π4 , π3 , 2π
5 (per
π
π 2π
2π
l’angolo 5 si studi il triangolo isoscele di angoli 5 , 5 e 5 e con due lati di
lunghezza 1. Bisecando uno degli angoli alla base si ottiene un triangolo simile a
quello di partenza e quindi bla bla)
Esercizi da fare: dall’esercizio (2.21) all’esercizio (2.28) compresi.
GRAFICI FUNZIONI(tempo: 6 h.) , Definire il grafico di f : A → B ovvero
G(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ A} ⊂ R2 .
Cosa significa che (a, b) ∈ G(f )? Definire il campo di esistenza o dominio massimale
di una funzione reale, cio`e
{x ∈ R : f (x) ∈ R};
funzioni crescenti/decrescenti debolmente/strettamente (dare esempi e controesempi), funzioni pari/dispari (dare esempi e controesempi), funzioni periodiche
(dare esempi e conteoesempi).
Esercizi da fare: (1.28);(3.3);(3.6);(3.8);(3.11)(l’es. 3.11 va visto come osservazione);(3.12)(3.34);(4.6). Fare poi gli esercizi dal (4.7) al (4.17).
Note: Questo argomento `e fondamentale. Gli esercizi dal (4.7) al (4.17) ovviamente non vanno fatti per intero, ma volta per volta va selezionato un esempio da
ognuno di essi.
DISEQUAZIONI-PRIMA PARTE(tempo: 6 h.) Disequazioni di primo
grado x − α > 0: risoluzione analitica e interpretazione grafica; disequazioni di
secondo grado ax2 + bx + c > 0(<): risoluzione analitica evidenziando le radici del
polinomio di secondo grado e interpretazione grafica; divisione tra polinomi con
5
resto: fare e far fare alcuni esempi; Teorema di Ruffini: dato un polinomio di grado
n P (x), se P (a) = 0 allora P (x) = (x − a)Q(x), ove Q(x) `e un polinomio di grado
n − 1; disequazioni di grado > 2: ridursi a casi pi`
u semplici con la divisione tra
polinomi ed il Teorema di Ruffini; sistemi di disequazioni; disequazioni razionali.
Esercizi da fare: (2.11)(2.12)(2.13)(2.17)(2.18)(2.19)(2.20).
DISEQUAZIONI-SECONDA PARTE: esponenziali e logaritmi(tempo:
4 h.) Data la definizione dell’esponenziale, utilizzare le propriet`
a a),b), c), d) ed
e) pp. 86 di [MPB], mentre data la definizione di logaritmo utilizzare le propriet`
a
f),g),h) ed i) (utilizzare in un esercizio la propriet`
a j)) pp. 87.
Per la formula del cambio di base si osservi che, comunque si prendano a, e >
basi del logaritmo e comunque si prenda x > 0 si ha
loga x
x = eloge x = eloge (a
)
= eloga (x) loge (a)
da cui si deduce
loge x = loga (x) loge (a)
ovvero la formula del cambiamento di base. Quando x = e, si scopre
loga (e) loge (a) = 1.
Esercizi da fare: (3.49)(3.50). Seguiranno altri esercizi.
Obiettivi:
- essere in grado di ordinare una successione di numeri tipo
log√2 4;
log5
1
;
10
− log2 7
- essere in grado di ordinare una successione di numeri tipo
√
2
2
;
√
( 2)2 ;
5−1/2
- essere in grado di risolvere una disequazione elementare del tipo 23x > 4,
log√2 x < 0 oppure − log( x2 ) > 2. Esercizi da fare: (3.49)(3.50). Inoltre fare
tre esercizi del tipo:
2
e3x −5x+2 > 1,
log(3x2 − 5x + 2) < log(x − 1),
log(x2 − 4) < log(3x2 − 5x + 2) − log(x − 1).
Seguiranno informazioni pi`
u precise
6
Legge oraria del precorso:
Lez. 1(4h.) Logica (2h); Insiemi (2h);
Lez. 2(4h.) Funzioni (4h);
Lez. 3(4h.) Funzioni (3h); Grafici funzioni elementari (1h);
Lez. 4(4h.) Algebra (4h);
Lez. 5(4h.) Geometria Analitica (4h);
Lez. 6(4h.) Geometria Analitica (2h); Sistemi Lineari (2h);
Lez. 7(4h.) Trigonometria (4h);
Lez. 8(4h.) Trigonometria (4h);
Lez. 9(4h.) Grafici Funzioni (4h);
Lez. 10(4h.) Grafici Funzioni (2h); DISEQUAZIONI-PRIMA PARTE (2h);
Lez. 11(4h.) DISEQUAZIONI-PRIMA PARTE (4h);
Lez. 12(4h.) DISEQUAZIONI-SECONDA PARTE: esponenziale e logaritmo (4h.);
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