LSS Piero Bottoni Classse 5C Antonella Montrezza GEOMETRIA DELLO SPAZIO Che cosa è lo spazio euclideo? E’ un insieme infinito di elementi: i punti; contiene sottoinsiemi propri ed infiniti: le rette e i piani. In ciascun piano valgono gli assiomi del piano euclideo. Per ogni punto passano infinite rette dello spazio (stella di rette). Per ogni punto passano infiniti piani (stella di piani). Per ogni retta r passano infiniti piani ai quali essa appartiene (fascio proprio di piani; r è detta asse del fascio). Tre punti non allineati individuano uno ed un solo piano. Se due punti di una retta r appartengono a un piano, r giace interamente su tale piano. Se due piani distinti hanno un punto P in comune allora essi hanno in comune un’intera retta r passante per P. Dato un piano α, questo divide lo spazio in due insiemi infiniti e disgiunti (semispazi aperti) tali che per ogni coppia di punti R e S non appartenenti ad α si può verificare unasola delle seguenti situazioni: il segmento RS non interseca il piano α (R ed S appartengono allo stesso semispazio); il segmento RS interseca il piano (R e S non appartengono allo stesso semispazio). Posizioni reciproche di due elementi nello spazio: retta – retta complanari: appartengono allo stesso piano e sono o incidenti o parallele sghembe : non appartengono allo stesso piano retta – piano incidenti: hanno un solo punto in comune (in particolare possono essere perpendicolari) paralleli: non hanno punti in comune, oppure li hanno tutti e la retta giace sul piano. n.b. Se una retta è parallela ad una retta di un piano, essa è parallela al piano. Teorema di Talete nello spazio Un fascio di piani paralleli determina su due rette trasversali due insiemi di segmenti direttamente proporzionali. Teorema - Se una retta r è perpendicolare a due rette s e t che passano per un suo punto R, è pure perpendicolare a tutte le altre rette passanti per quel punto e giacenti nel piano individuato da s e t. (Per i più curiosi: Hp: s perpendicolare r, t perpendicolare a r. Th: w complanare a s e t e passante per R è perpendicolare a r. Traccia di dimostrazione: prendere sulla retta r due punti A e B equidistanti da R e sulle rette s e t due punti S e T distinti da R; considerare i triangoli AST e BST e osservare che sono congruenti per il terzo criteri di congruenza essendo s e t assi del segmento AB; considerare una qualsiasi retta w passante per R e complanare a s e t e indicare con W il punto di intersezione di tale retta con la retta ST; osservare che il triangolo AWB è isoscele e quindi che w, essendo asse di AB è perpendicolare a r) Dati un punto e un piano, esiste una sola retta passante per il punto e perpendicolare al piano. Dati un punto e una retta, esiste un solo piano passante per il punto e perpendicolare alla retta. Piani perpendicolari alla stessa retta sono paralleli tra loro. Teorema delle tre perpendicolari - Se dal piede R di una perpendicolare r ad un piano si conduce la perpendicolare s ad una retta qualunque t del piano, questa risulta perpendicolare al piano individuato dalle prime due rette. (Per i più curiosi: HP: r perpendicolare a , s per R è perpendicolare a t, appartenente ad . Th: t è perpendicolare al piano individuato da r e da s. Traccia di dimostrazione: poiché t è perpendicolare a s per ipotesi, per il teorema precedente basterà dimostrare che t è perpendicolare a un’altra retta del piano individuato da r e s; diciamo C il punto di intersezione tra s e t, prendiamo su t due punti A e B simmetrici rispetto a C e su r un punto P distinto da R; osserviamo che i triangoli PRA e PRB sono congruenti per il primo criterio di congruenza e da questo segue che il triangolo PAB è isoscele con base AB; quindi PC che è mediana di PAB rispetto alla base AB è anche altezza, ne segue che la retta PC è perpendicolare a t; tale retta appartiene al piano individuato da s e r poiché è incidente ad entrambi; ne segue, per il teorema precedente, la tesi) piano – piano Incidenti: hanno in comune una retta che è la loro intersezione Paralleli: non hanno punti in comune oppure hanno tutti i punti in comune. n.b. Le intersezioni di piani paralleli con un piano incidente sono rette parallele. Per un punto esterno ad un piano si può condurre un solo piano parallelo al piano dato. Angoli nello spazio angolo di una retta con un piano: è l’angolo acuto che la retta forma con la sua proiezione sul piano. diedro è la parte infinita di spazio limitata da due semipiani (facce del diedro) che si intersecano in una retta (spigolo del diedro); convesso se, presi due suoi punti qualsiasi, il segmento che li congiunge è tutto interno al diedro; concavo se non è convesso. Sezione normale di un diedro: l’angolo intersezione tra un diedro ed un piano perpendicolare allo spigolo del diedro. 1 LSS Piero Bottoni Classse 5C Antonella Montrezza Le sezioni normali di uno stesso diedro sono angoli uguali. Diedri uguali hanno sezioni normali uguali e viceversa. Ampiezza di un diedro: l’ampiezza della sua sezione normale. Angoloide: la parte di spazio formata da una superficie piramidale indefinita e da tutti i suoi punti interni. L’ampiezza di ogni faccia di un angoloide è minore delle somma di tutte le altre. La somma delle ampiezze delle facce di un angoloide è minore di un angolo giro. Prismi, Poliedri e solidi di rotazione Prisma: dato un poligono convesso di n lati e una retta r incidente il suo piano, si dice prisma indefinito la figura formata da tutte le rette parallele ad r che passano per i punti del poligono;si dice prisma la parte di un prisma indefinito compresa tra due sezioni parallele. teorema – due sezioni parallele qualsiasi di un medesimo prisma sono isometriche Le facce laterali di un prisma sono parallelogrammi. Gli spigoli laterali di un prisma sono uguali. Prisma retto: le facce laterali e quindi gli spigoli sono perpendicolari ai piani delle basi. Prisma regolare: prisma retto avente per basi poligoni regolari (le facce laterali sono rettangoli tutti uguali tra loro) Poliedro: solido delimitato da poligoni (facce) che si saldano lungo i lati (spigoli), mentre i vertici dei poligoni sono anche vertici del poliedro. Ogni vertice del poligono è vertice di un angoloide che contiene il poliedro. Diagonale di un poliedro: ogni segmento che congiunge due vertici e non appartiene alla superficie. Poliedro regolare: poliedro in cui tutte le facce sono poligoni regolari e uguali e in cui tutti gli angoloidi sono pure uguali. I poliedri regolari sono solo cinque, le loro facce possono essere soltanto o triangoli equilateri o quadrati o pentagoni regolari. tetraedro: 4 facce triangolari, 6 spigoli, 4 vertici cubo o esaedro: 6 facce quadrate, 12 spigoli, 8 vertici ottaedro : 8 facce triangolari, 12 spigoli, 6 vertici dodecaedro: 12 facce pentagonali, 30 spigoli, 20 vertici icosaedro : 20 facce triangolari, 30 spigoli, 12 vertici Ai poliedri regolari veniva attribuito un carattere “magico”, forse questo spinse Keplero a collegarli con le orbite dei pianeti allora conosciuti. Si può dimostrare che possono esistere solo i precedenti cinque poliedri regolari. Premessa: ogni vertice di un poliedro è vertice di un angoloide e quindi in esso convergono almeno tre facce; la somma degli angoli che costituiscono le facce di un angoloide è minore di un angolo giro. Dimostrazione: tenendo conto della premessa, si possono verificare solo le seguenti situazioni - primo caso: le facce del poliedro sono triangoli equilateri le facce che concorrono in ogni vertice possono essere: 3 infatti 3*60°=180°<360° tetraedro (4 facce) 4 infatti 4*60°=240°<360° ottaedro (8 facce) 5 infatti 5*60°=300°<360° icosaedro (20 facce) non possono essere più di 5 poiché 6*60°=360° non accettabile - secondo caso: le facce sono quadrati le facce che concorrono in ogni vertice possono essere: 3 infatti 3*90°=270°<360° esaedro (6 facce) non possono essere più di 3 poiché 4*90°=360° non accettabile - terzo caso: le facce sono pentagoni regolari, le facce che concorrono in ogni vertice possono essere: 3 infatti 3*108°=324°<360° dodecaedro (12 facce) non possono essere più di 3 poiché 4*108°=432°>360° non accettabile - non sono possibili altri casi poiché già nel caso degli esagoni regolari gli angoli sono di 120° e considerando il minimo numero di facce che possono concorrere in un vertice (3) avremmo 3*120°=360° non accettabile. Relazione di Eulero: Tra il numero F delle facce, quello V dei vertici e quello S degli spigoli di un poliedro sussiste la relazione: F+V-S=2 Solidi rotondi Dato un semipiano α limitato dalla retta r, sia s una linea qualunque appartenente al semipiano α; ruotando il semipiano α di un angolo giro attorno alla retta r, la linea s genera una superficie di rotazione. La parte di spazio costituita dalla superficie di rotazione e da tutti i punti ad essa interni si chiama solido di rotazione. La retta r si chiama asse di rotazione e la linea s si chiama generatrice. Ogni punto di s descrive una circonferenza; tali circonferenze si chiamano paralleli della superficie o sezioni normali. Un piano passante per l’asse r interseca la superficie secondo due generatrici simmetriche rispetto all’asse dette meridiani. Cilindro indefinito: la generatrice è una retta parallela all’asse di rotazione. Cilindro retto: parte di cilindro indefinito compresa tra due piani perpendicolari all’asse di rotazione. Cilindro equilatero: cilindro retto in cui l’altezza è uguale al diametro di base Cono indefinito: la generatrice è una semiretta avente l’origine sull’asse di rotazione; l’ampiezza dell’angolo tra la generatrice e l’asse di rotazione è detta apertura del cono. Cono indefinito a due falde: la generatrice è una retta secante non perpendicolare all’asse di rotazione. Le sezioni di un cono indefinito a due falde con un piano che non passi per il suo vertice sono curve piane dette sezioni 2 LSS Piero Bottoni Classse 5C Antonella Montrezza coniche o semplicemente coniche ( parabola, ellisse, circonferenza, iperbole). Cono retto: sezionando un cono indefinito con un piano perpendicolare all’asse, nel semispazio contenente il vertice, si ottiene un cono retto. Apotema: segmento che congiunge il vertice con un qualunque punto della circonferenza di base Cono equilatero: cono retto in cui l’apotema è uguale al diametro di base. Sfera: solido ottenuto dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al proprio diametro; il centro O e il raggio r del semicerchio sono anche centro e raggio della sfera. Superficie sferica: luogo dei punti dello spazio equidistanti dal centro O Circonferenza massima: intersezione di una superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera Il centro di ogni circonferenza massima coincide con il centro della sfera. Per i due estremi di un qualunque diametro di una sfera passano infinite circonferenze massime. Per due punti di una superficie sferica non allineati con il centro passa una sola circonferenza massima. linea lossodromica: linea di minima distanza tra due punti di una superficie sferica; è l’arco di circonferenza massima passante per i due punti. calotta sferica ciascuna delle due parti di una superficie sferica nelle quali questa è divisa da un piano secante segmento sferico ad una base: ciascuna delle due parti di una sfera nelle quali questa è divisa da un piano secante altezza di un segmento sferico ad una base o di una calotta sferica è la parte del diametro, perpendicolare al piano secante, compresa tra tale piano e la calotta settore sferico la parte di sfera limitata da una calotta sferica e dal cono che ha per vertice il centro O della sfera e per base quella della calotta segmento sferico a due basi: La parte di superficie sferica compresa tra due piani secanti paralleli fuso sferico: La parte di superficie sferica compresa tra due semipiani aventi per origine comune la retta di un diametro. angolo del fuso Il diedro tra i due semipiani. spicchio sferico La parte di sfera compresa tra i due semipiani I fusi (o gli spicchi) di uguale raggio sono direttamente proporzionali ai corrispondenti angoli diedri. Superfici e loro misura La superficie di un solido si dice sviluppabile se, mediante un numero finito di tagli, si può distendere completamente su un piano senza deformarla. I poliedri, i cilindri, i coni e le loro parti hanno superfici sviluppabili, quindi la misura delle loro superfici si riconduce a un problema di geometria piana. Né la sfera né alcuna sua parte sono sviluppabili, quindi non si può fare riferimento a figure piane. La misura della superficie sferica si può calcolare come limite della superficie di un poliedro inscritto (o circoscritto) nella sfera quando il numero delle facce tende all’infinito. Volumi e loro misura Due solidi si dicono equivalenti quando hanno la stessa estensione spaziale o semplicemente lo stesso volume. L’equivalenza tra solidi gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva Solidi equiscomponibili sono equivalenti, ma non viceversa. Per calcolare i volumi è utile il seguente principio: Principio di Cavalieri (discepolo di Galileo, nel 1635 pubblicò un trattato nel quale concepiva i solidi come formati da un numero molto grande di sottilissimi strati sovrapposti, cioè un “continuo” di superfici piane di spessore infinitesimo: questa geniale idea costituisce la base concettuale del calcolo integrale) - Se due solidi si possono disporre rispetto a un piano dato in modo che le loro sezioni con un piano parallelo a quello dato siano equivalenti, allora i due solidi sono equivalenti. GEOMETRIE NON EUCLIDEE V postulato: se una retta incontra due rette e con esse forma, dalla stessa parte, angoli interni la somma dei quali è minore di due retti, allora le due rette si incontrano, se le si prolunga dalla parte detta. Il primo che cercò di dimostrare il V postulato fu G. Saccheri (1667-1733). Lui non riuscì nel suo intento ma diede il via alle ricerche successive di molti altri tra i quali Lobatceskij (1793-1856) e G.Bolyai (1802-1860) che risolsero il problema: il V postulato è indipendente dagli altri. Ammettendolo si ottiene la geometria euclidea, negandolo si ottengono le geometrie non euclidee. Modelli di geometrie non euclidee: 1. Geometria iperbolica modello di Klein. Data una circonferenza T, si chiama: punto di Klein un qualunque punto P interno a T retta di Klein una qualunque corda AB di T, esclusi gli estremi piano di Klein l’insieme dei punti interni a T due rette di Klein si dicono incidenti se hanno in comune un punto di Klein 3 LSS Piero Bottoni Classse 5C Antonella Montrezza due rette di Klein si dicono parallele se hanno in comune un punto di T In questa geometria non vale il V postulato che viene sostituito con: In un piano esistono almeno due rette, passanti per un punto e parallele a una data retta 2. Geometria ellittica modello di Riemann Data una superficie sferica S, si chiama: punto di Riemann ogni coppia di punti estremi di un diametro di S retta di Riemann ogni circonferenza massima di S piano di Riemann la superficie sferica S In questa geometria non vale il V postulato che viene sostituito con: In un piano, qualunque retta passante per un punto dato incontra una retta data Infatti due qualsiasi circonferenze massime di S si incontrano sempre in due punti diametralmente opposti La possibilità dell’esistenza di geometrie non euclidee altrettanto coerenti quanto quella euclidea è stata di grande importanza nel pensiero filosofico e scientifico poiché ha aperto nuovi orizzonti all’indagine e alla logica. Alla base di qualsiasi sistema geometrico c’è il concetto di spazio. Cosa è lo spazio? Originariamente esso è l’ambiente della geometria euclidea nel quale trovano significato i concetti di estensione, di forma e di mutua posizione degli oggetti della nostra esperienza. Kant raffina questa idea affermando che lo spazio è un giudizio a priori della nostra intuizione sensibile, universale e necessario. Nella Critica della ragion pura dice che “lo spazio non è un concetto empirico, ricavato da esperienze esterne” e che “ lo spazio è una rappresentazione a priori che è di fondamento a tutte le intuizioni esterne”. Quindi lo spazio secondo Kant è un assoluto. L’universo nell’antica filosofia greca e quindi anche nella geometria ci appare oggi piccolo circoscritto: abbracciava il Meditterraneo e le regioni che vi si affacciavano. Era un universo piatto che dava l’idea del piano euclideo. Se proviamo a sollevarci al di sopra di questo universo il Meditterraeo ci sembrerà ancora piatto o ci sembrerà curvo? E le rette euclidee come saranno? Quale sarà la somma degli angoli interni di un “triangolo curvo” avente i vertici in tre diverse località? Vi sono sulla superficie del nostro universo rette parallele? Queste visioni appartengono alla geometria ellittica per la quale la somma degli angoli interni di un triangolo curvo è maggiore di un angolo piatto. Analogamente se pensiamo a uno spazio curvo verso l’interno come sarà la somma degli angoli di un “triangolo curvo”? Questa visione appartiene alla geometria iperbolica per la quale la somma degli angoli interni di un triangolo curvo è minore di un angolo piatto. Lo spazio come forma a priori incomincia a vacillare e si deve al grande coraggio di matematici e filosofi come Gauss, Lobacewski e Riemann il merito di avere eliminato ogni concezione metafisica su di esso. Lo spazio non è un puro atto del pensiero preesistente e assoluto. Quale è la geometri più vera? Le verità matematiche non sono verità assolute; una proposizione matematica è vera o falsa solo in relazione al particolare sistema nel quale ci muoviamo così che una proposizione può essere vera in un sistema e falsa o priva di significato in un altro sistema. METODO ASSIOMATICO Premessa: La geometria, come dice il suo nome, nasce dall’esigenza pratica di misurare porzioni di terreno. Talete (VI sec a.C) portò in Grecia dall’Egitto il gusto della ricerca geometrica. La rielaborazione razionale del sapere geometrico durò tre secoli, inizialmente ad opera della scuola pitagorica diffusasi in Magna Grecia e in Sicilia prima del 500 a.C.; poi raggiunse un assetto rigoroso ai tempi di Platone nella prima metà del IV sec a.C. e infine trovò forma compiuta negli Elementi di Euclide (circa 300 a.C.). A cominciare dal 1800 ci si preoccupò di organizzare logicamente tutta la materia che, nel frattempo, soprattutto dopo il 1500, aveva avuto notevoli sviluppi.. Una conseguenza fu la consapevolezza che la geometria è un argomento che si presta ad essere trattato con metodi rigorosi. La scoperta delle geometrie non euclidee diede nuovo impulso al riesame con senso critico dei principi della costruzione euclidea. Ogni scienza deduttiva deve presupporre conosciuti alcuni termini fondamentali o primitivi desunti dall’osservazione e dall’esperienza o semplicemente assunti tali per convenzione. Analogamente ai termini primitivi (che non possono essere definiti tutti), non è possibile dimostrare tutte le affermazioni di una teoria. Devono esistere delle affermazioni dette postulati o assiomi che si accettano come veri e per i quali non si chiede dimostrazione. Da questi si possono dedurre altre proposizioni. Nota: Euclide distingueva tra postulati e assiomi. I postulati contengono affermazioni geometriche, gli assiomi esprimono principi generali della logica. Una teoria scientifica è presentata in forma assiomatica se le sue proprietà sono poste in ordine logico tale che si possa dimostrare che esse sono conseguenza di un certo numero do proposizioni iniziali, dette assiomi. Dimostrare: fino a poco più di un secolo fa dimostrare voleva dire “ridurre all’evidenza col ragionamento”; oggi dimostrare significa ricondurre agli assiomi. Una teoria è caratterizzata dai suoi assiomi che vengono scelti in base a due ordini di considerazioni: - Ragioni teoriche e formali o Completezza cioè ogni proprietà della geometria intuitiva deve potere ritrovarsi come teorema della geometria razionale o Coerenza cioè la non contraddittorietà del sistema di assiomi, cioè non deve essere possibile ricavare affermazioni fra loro contraddittorie 4 LSS Piero Bottoni Classse 5C Antonella Montrezza o Indipendenza degli assiomi cioè nessuno di essi deve essere conseguenza degli altri. - Ragioni pratiche e di opportunità. Queste hanno spesso carattere soggettivo o storico o didattico nel senso che certi insiemi di assiomi possono avere interesse in una certa fase dello sviluppo scientifico e non averne più in seguito. Quando nella costruzione di un sistema assiomatico, concetti primitivi, assiomi e regole di deduzione sono espressi da simboli e da sequenze di simboli pensati come privi di significato si parla di sistema formale. Un sistema formale è una teoria puramente astratta nella quale agli enti non viene attribuita alcuna realtà intuitiva e agli assiomi non è richiesto che esprimano relazioni più o meno evidenti. Nella costruzione di un sistema formale non è previso un elenco degli enti primitivi che vengono definiti implicitamente negli assiomi. Ad un unico sistema formale possono corrispondere diverse “interpretazioni intuitive” che costituiscono i modelli del sistema. Un modello trasforma un sistema astratto in un sistema concreto: adesempio un modello della geometria iperbolica e il modello di Klein. Teorema di incompletezza di Godel: un sistema formale non è idoneo a dimostrare tutte le proposizioni formulabili nel sistema Non è possibile provare la coerenza di un sistema servendosi delle regole di inferenza contenute nel sistema PROBLEMI CLASSICI DELL’ANTICHITA’ I problemi di costruzione sono sempre stati centrali nella geometria. Con riga e compasso si possono eseguire molteplici costruzioni. La limitazione alla’uso di riga e compasso risale all’antichità, sebbene i greci stessi non esitassero ad utilizzare anche altri strumenti. Vi sono tre problemi classici greci di cui invano si è cercata la soluzione: la trisezione di un angolo arbitrariamente assegnato; la duplicazione del cubo; la quadratura del cerchio. In tutti questi problemi è consentito l’uso solo di riga e compasso. Problemi non risolti di questo tipo diedero origine a uno dei più importanti e nuovi sviluppi della matematica, quando dopo secoli di ricerche, si fece strada il sospetto che essi fossero non risolvibili. I matematici incominciarono a chiedersi come si possa dimostrare che certi problemi non pssono essere risolti cioè non possono essere costruiti con riga e compasso. I risultati delle ricerche si possono schematizzare come segue: si può costruire con riga e compasso ogni segmento rappresentato da una espressione che implichi, sulle misure dei segmenti dati, quante si vogliano operazioni razionali e di estrazione di radice quadrata. Quindi si possono risolvere geometricamente con la riga e il compasso tutti problemi che, trattati con l’algebra, conducono a equazioni risolubili con le sole operazioni razionali e di estrazione di radici quadrate. 1. Problema della duplicazione del cubo Il problema della duplicazione del cubo o problema di Delo consiste nel determinare il lato x di un dato cubo il cui volume sia doppio di quello di un altro di lato a. l’equazione del problema è: cioè: La formula risolvente contiene una radice cubica e non è quindi risolvibile con riga e compasso. Il problema è stato risolto con altri metodi (Eratostene, Cartesio, Cissoide di Diocle) 2. Problema della trisezione dell’angolo Sappiamo costruire la bisetrice di un angolo qualsiasi. Invece il problema di determinare la terza parte di un angolo conduce, secondo i risultati che fornisce la goniometria, ad una equazione di terzo grado, le cui soluzioni sono, in generale, date da radici cubiche. Quindi fatta eccezione per angoli particolari, non si può costruire con riga e compasso la terza parte di un angolo. Igeometri greci idearono alcune costruzioni geometriche ricorrendo a curve opportune quali la Concoide di Nicomede e la Quadratrice di Ippia. 3. Problema della rettificazione della circonferenza tale problema consiste nel costruire con riga e compasso un segmento avente la misura della circonferenza, conoscendone il raggio Riferimenti bibliografici: C.B.Boyer Storia della Matematica, Isedi H.Meschkowski Mutamenti nel pensiero matematico Boringhieri N.I.Lobacevskij Nuovi principi della Geometria Boringhieri L.Lacchini, P.C. Rivoltella L’avventura del pensiero, I, II, III CEDAM E. Stabler Il pensiero matematico Boringhieriu L.Cresci Le curve celebri F.Muzzio Editore 5
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