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MATEMATICA FINANZIARIA
Appello del 12 febbraio 2014
Cognome e Nome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.d.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matricola n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cattedra:
prof. Pacati (SI)
prof. Ren`o (SI)
dott. Quaranta (GR).
Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi
occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli
appositi spazi.
Esercizio 1.
Un’investitrice vuole investire S = 30 000 euro al fine di ottenere un interesse di I = 5 750 euro e ha a disposizione
due possibilit`
a: 1) interessi composti al tasso iC = 3%; 2) interessi semplici al tasto iS = iC + 1%. Determinare
per quanto tempo deve investire il suo denaro in ciascuna delle due modalit`a, indicando i due risultati con TC e TS ,
rispettivamente, e riportandoli in anni.
TC =
anni
TS =
anni
Quale delle due modalit`
a sceglier`
a, e per quale motivo?
Risposta:
Esercizio 2.
Una banca, al tempo t = 0, ha in portafoglio due BTP:
BTP00001: con scadenza fra 2 anni, nominale 400 mln di euro e t.n.a. 3%;
BTP00002: con scadenza fra 1 anno e mezzo, nominale 350 mln di euro e t.n.a. 4%.
Si descriva anzitutto il portafoglio, indicando i flussi di cassa (vettore delle poste x) in mln e lo scadenzario t in anni:
x=
t=
Assumendo che il prezzo del portafoglio al tempo zero sia di P = 700 milioni, si determini il valore montante M e il
valore residuo V al tempo T = 1 anno dell’operazione finanziaria di acquisto del portafoglio al tempo zero e al prezzo
P , in base a una legge esponenziale di tasso annuo i = 10%.
[Suggerimento: in base ai dati forniti non si pu`
o sapere (senza fare i conti) se l’operazione di acquisto `e equa. Ma
serve saperlo?]
M=
mln di euro
V =
mln di euro
Esercizio 3.
Il signor Russo che vuole farsi prestare da una finanziaria una somma di S euro, da restituirsi secondo un ammortamento
non standard in 3 rate quadrimestrali posticipate. Il tasso annuo applicato `e i = 4% e la successione delle rate `e
decrescente: ciascuna rata `e il 90% di quella precedente. Sapendo che il signor Russo non pu`o permettersi di pagare
pi`
u di 10 000 euro ogni quadrimestre, determinare l’importo massimo
Smax =
euro
che pu`
o farsi prestare e compilare il piano di ammortamento con S = Smax , giustificando adeguatamente gli importi
inseriti.
rata n.
0
1
2
3
rata
quota capitale
0
quota interesse
0
debito residuo
0
Esercizio 4.
Si consideri un mercato in cui viga la seguente struttura per scadenza delle intensit`a istantanee di interesse, con il
tempo t espresso in anni:
δ(0, t) = 4% · e−0.1t
Si calcolino, in tale mercato:
• Il prezzo P1 , in t0 = 0, di una rendita posticipata composta da m = 3 rate costanti pari a R = 200 euro, con
periodicit`
a semestrale.
euro
P1 =
• Il prezzo P2 , in t0 = 0, di un contratto a termine (forward) pagabile in t1 = 1, che prevede la riscossione di C = 400
euro al tempo t2 = 1.5.
P2 =
euro
Esercizio 5.
Al tempo t = 0, la struttura per scadenza dei tassi di interesse `e piatta al tasso i = 4.5%. Il signor Tedesco possiede
un portafoglio del valore di 96 000 euro investito interamente in BT P di maturit`a 6 anni, e t.n.a. del 6%. Si calcoli
la duration del portafoglio.
D=
anni
Giudicando la duration eccessiva, il signor Tedesco decide di ridurla vendendo una quota del portafoglio, dal valore V
espresso in euro, e re-investendola in BOT a 6 mesi. Quanto deve essere la quota V affinch´e la duration complessiva
risulti pari a 3 anni?
V =
euro
Esercizio 6.
Alla data odierna (12/2/2014) un investitore forma un portafoglio di CCT con maturit`a 8/3/2015 e privo di spread.
Si calcoli (approssimativamente, ma non troppo) la duration D del portafoglio e il prezzo di acquisto P dei CCT,
riferito ad un facciale C = 100, sapendo che la prima cedola che verr`a pagata `e pari a I1 = 4, e che la struttura per
scadenza dei tassi `e piatta al tasso i = 6.1%.
D=
anni
P =
Si risponda alla medesima domanda nel caso in cui i CCT possiedano uno spread di 250 punti base.
D0 =
anni
P0 =
MATEMATICA FINANZIARIA
Appello del 12 febbraio 2014
Cognome e Nome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.d.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matricola n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cattedra:
prof. Pacati (SI)
prof. Ren`o (SI)
dott. Quaranta (GR).
Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi
occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli
appositi spazi.
Esercizio 1.
Un’investitrice vuole investire S = 40 000 euro al fine di ottenere un interesse di I = 5 750 euro e ha a disposizione
due possibilit`
a: 1) interessi composti al tasso iC = 4%; 2) interessi semplici al tasto iS = iC + 1%. Determinare
per quanto tempo deve investire il suo denaro in ciascuna delle due modalit`a, indicando i due risultati con TC e TS ,
rispettivamente, e riportandoli in anni.
TC =
anni
TS =
anni
Quale delle due modalit`
a sceglier`
a, e per quale motivo?
Risposta:
Esercizio 2.
Una banca, al tempo t = 0, ha in portafoglio due BTP:
BTP00001: con scadenza fra 2 anni, nominale 300 mln di euro e t.n.a. 4%;
BTP00002: con scadenza fra 1 anno e mezzo, nominale 350 mln di euro e t.n.a. 3%.
Si descriva anzitutto il portafoglio, indicando i flussi di cassa (vettore delle poste x) in mln e lo scadenzario t in anni:
x=
t=
Assumendo che il prezzo del portafoglio al tempo zero sia di P = 600 milioni, si determini il valore montante M e il
valore residuo V al tempo T = 1 anno dell’operazione finanziaria di acquisto del portafoglio al tempo zero e al prezzo
P , in base a una legge esponenziale di tasso annuo i = 10%.
[Suggerimento: in base ai dati forniti non si pu`
o sapere (senza fare i conti) se l’operazione di acquisto `e equa. Ma
serve saperlo?]
M=
mln di euro
V =
mln di euro
Esercizio 3.
Il signor Russo che vuole farsi prestare da una finanziaria una somma di S euro, da restituirsi secondo un ammortamento
non standard in 3 rate quadrimestrali posticipate. Il tasso annuo applicato `e i = 5% e la successione delle rate `e
decrescente: ciascuna rata `e il 90% di quella precedente. Sapendo che il signor Russo non pu`o permettersi di pagare
pi`
u di 10 000 euro ogni quadrimestre, determinare l’importo massimo
Smax =
euro
che pu`
o farsi prestare e compilare il piano di ammortamento con S = Smax , giustificando adeguatamente gli importi
inseriti.
rata n.
0
1
2
3
rata
quota capitale
0
quota interesse
0
debito residuo
0
Esercizio 4.
Si consideri un mercato in cui viga la seguente struttura per scadenza delle intensit`a istantanee di interesse, con il
tempo t espresso in anni:
δ(0, t) = 4% · e−0.2t
Si calcolino, in tale mercato:
• Il prezzo P1 , in t0 = 0, di una rendita posticipata composta da m = 3 rate costanti pari a R = 200 euro, con
periodicit`
a semestrale.
euro
P1 =
• Il prezzo P2 , in t0 = 0, di un contratto a termine (forward) pagabile in t1 = 1, che prevede la riscossione di C = 400
euro al tempo t2 = 1.5.
P2 =
euro
Esercizio 5.
Al tempo t = 0, la struttura per scadenza dei tassi di interesse `e piatta al tasso i = 4.5%. Il signor Tedesco possiede
un portafoglio del valore di 96 000 euro investito interamente in BT P di maturit`a 7 anni, e t.n.a. del 6%. Si calcoli
la duration del portafoglio.
D=
anni
Giudicando la duration eccessiva, il signor Tedesco decide di ridurla vendendo una quota del portafoglio, dal valore V
espresso in euro, e re-investendola in BOT a 6 mesi. Quanto deve essere la quota V affinch´e la duration complessiva
risulti pari a 3 anni?
V =
euro
Esercizio 6.
Alla data odierna (12/2/2014) un investitore forma un portafoglio di CCT con maturit`a 8/4/2015 e privo di spread.
Si calcoli (approssimativamente, ma non troppo) la duration D del portafoglio e il prezzo di acquisto P dei CCT,
riferito ad un facciale C = 100, sapendo che la prima cedola che verr`a pagata `e pari a I1 = 4, e che la struttura per
scadenza dei tassi `e piatta al tasso i = 6.1%.
D=
anni
P =
Si risponda alla medesima domanda nel caso in cui i CCT possiedano uno spread di 250 punti base.
D0 =
anni
P0 =
MATEMATICA FINANZIARIA
Appello del 12 febbraio 2014
Cognome e Nome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.d.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matricola n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cattedra:
prof. Pacati (SI)
prof. Ren`o (SI)
dott. Quaranta (GR).
Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi
occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli
appositi spazi.
Esercizio 1.
Un’investitrice vuole investire S = 50 000 euro al fine di ottenere un interesse di I = 5 750 euro e ha a disposizione
due possibilit`
a: 1) interessi composti al tasso iC = 5%; 2) interessi semplici al tasto iS = iC + 1%. Determinare
per quanto tempo deve investire il suo denaro in ciascuna delle due modalit`a, indicando i due risultati con TC e TS ,
rispettivamente, e riportandoli in anni.
TC =
anni
TS =
anni
Quale delle due modalit`
a sceglier`
a, e per quale motivo?
Risposta:
Esercizio 2.
Una banca, al tempo t = 0, ha in portafoglio due BTP:
BTP00001: con scadenza fra 2 anni, nominale 200 mln di euro e t.n.a. 3%;
BTP00002: con scadenza fra 1 anno e mezzo, nominale 350 mln di euro e t.n.a. 4%.
Si descriva anzitutto il portafoglio, indicando i flussi di cassa (vettore delle poste x) in mln e lo scadenzario t in anni:
x=
t=
Assumendo che il prezzo del portafoglio al tempo zero sia di P = 500 milioni, si determini il valore montante M e il
valore residuo V al tempo T = 1 anno dell’operazione finanziaria di acquisto del portafoglio al tempo zero e al prezzo
P , in base a una legge esponenziale di tasso annuo i = 10%.
[Suggerimento: in base ai dati forniti non si pu`
o sapere (senza fare i conti) se l’operazione di acquisto `e equa. Ma
serve saperlo?]
M=
mln di euro
V =
mln di euro
Esercizio 3.
Il signor Russo che vuole farsi prestare da una finanziaria una somma di S euro, da restituirsi secondo un ammortamento
non standard in 3 rate quadrimestrali posticipate. Il tasso annuo applicato `e i = 6% e la successione delle rate `e
decrescente: ciascuna rata `e il 90% di quella precedente. Sapendo che il signor Russo non pu`o permettersi di pagare
pi`
u di 10 000 euro ogni quadrimestre, determinare l’importo massimo
Smax =
euro
che pu`
o farsi prestare e compilare il piano di ammortamento con S = Smax , giustificando adeguatamente gli importi
inseriti.
rata n.
0
1
2
3
rata
quota capitale
0
quota interesse
0
debito residuo
0
Esercizio 4.
Si consideri un mercato in cui viga la seguente struttura per scadenza delle intensit`a istantanee di interesse, con il
tempo t espresso in anni:
δ(0, t) = 4% · e−0.3t
Si calcolino, in tale mercato:
• Il prezzo P1 , in t0 = 0, di una rendita posticipata composta da m = 3 rate costanti pari a R = 200 euro, con
periodicit`
a semestrale.
euro
P1 =
• Il prezzo P2 , in t0 = 0, di un contratto a termine (forward) pagabile in t1 = 1, che prevede la riscossione di C = 400
euro al tempo t2 = 1.5.
P2 =
euro
Esercizio 5.
Al tempo t = 0, la struttura per scadenza dei tassi di interesse `e piatta al tasso i = 4.5%. Il signor Tedesco possiede
un portafoglio del valore di 96 000 euro investito interamente in BT P di maturit`a 8 anni, e t.n.a. del 6%. Si calcoli
la duration del portafoglio.
D=
anni
Giudicando la duration eccessiva, il signor Tedesco decide di ridurla vendendo una quota del portafoglio, dal valore V
espresso in euro, e re-investendola in BOT a 6 mesi. Quanto deve essere la quota V affinch´e la duration complessiva
risulti pari a 3 anni?
V =
euro
Esercizio 6.
Alla data odierna (12/2/2014) un investitore forma un portafoglio di CCT con maturit`a 8/5/2015 e privo di spread.
Si calcoli (approssimativamente, ma non troppo) la duration D del portafoglio e il prezzo di acquisto P dei CCT,
riferito ad un facciale C = 100, sapendo che la prima cedola che verr`a pagata `e pari a I1 = 4, e che la struttura per
scadenza dei tassi `e piatta al tasso i = 6.1%.
D=
anni
P =
Si risponda alla medesima domanda nel caso in cui i CCT possiedano uno spread di 250 punti base.
D0 =
anni
P0 =
MATEMATICA FINANZIARIA
Appello del 12 febbraio 2014
Cognome e Nome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.d.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matricola n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cattedra:
prof. Pacati (SI)
prof. Ren`o (SI)
dott. Quaranta (GR).
Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi
occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli
appositi spazi.
Esercizio 1.
Un’investitrice vuole investire S = 60 000 euro al fine di ottenere un interesse di I = 5 750 euro e ha a disposizione
due possibilit`
a: 1) interessi composti al tasso iC = 6%; 2) interessi semplici al tasto iS = iC + 1%. Determinare
per quanto tempo deve investire il suo denaro in ciascuna delle due modalit`a, indicando i due risultati con TC e TS ,
rispettivamente, e riportandoli in anni.
TC =
anni
TS =
anni
Quale delle due modalit`
a sceglier`
a, e per quale motivo?
Risposta:
Esercizio 2.
Una banca, al tempo t = 0, ha in portafoglio due BTP:
BTP00001: con scadenza fra 2 anni, nominale 100 mln di euro e t.n.a. 4%;
BTP00002: con scadenza fra 1 anno e mezzo, nominale 350 mln di euro e t.n.a. 3%.
Si descriva anzitutto il portafoglio, indicando i flussi di cassa (vettore delle poste x) in mln e lo scadenzario t in anni:
x=
t=
Assumendo che il prezzo del portafoglio al tempo zero sia di P = 400 milioni, si determini il valore montante M e il
valore residuo V al tempo T = 1 anno dell’operazione finanziaria di acquisto del portafoglio al tempo zero e al prezzo
P , in base a una legge esponenziale di tasso annuo i = 10%.
[Suggerimento: in base ai dati forniti non si pu`
o sapere (senza fare i conti) se l’operazione di acquisto `e equa. Ma
serve saperlo?]
M=
mln di euro
V =
mln di euro
Esercizio 3.
Il signor Russo che vuole farsi prestare da una finanziaria una somma di S euro, da restituirsi secondo un ammortamento
non standard in 3 rate quadrimestrali posticipate. Il tasso annuo applicato `e i = 7% e la successione delle rate `e
decrescente: ciascuna rata `e il 90% di quella precedente. Sapendo che il signor Russo non pu`o permettersi di pagare
pi`
u di 10 000 euro ogni quadrimestre, determinare l’importo massimo
Smax =
euro
che pu`
o farsi prestare e compilare il piano di ammortamento con S = Smax , giustificando adeguatamente gli importi
inseriti.
rata n.
0
1
2
3
rata
quota capitale
0
quota interesse
0
debito residuo
0
Esercizio 4.
Si consideri un mercato in cui viga la seguente struttura per scadenza delle intensit`a istantanee di interesse, con il
tempo t espresso in anni:
δ(0, t) = 4% · e−0.4t
Si calcolino, in tale mercato:
• Il prezzo P1 , in t0 = 0, di una rendita posticipata composta da m = 3 rate costanti pari a R = 200 euro, con
periodicit`
a semestrale.
euro
P1 =
• Il prezzo P2 , in t0 = 0, di un contratto a termine (forward) pagabile in t1 = 1, che prevede la riscossione di C = 400
euro al tempo t2 = 1.5.
P2 =
euro
Esercizio 5.
Al tempo t = 0, la struttura per scadenza dei tassi di interesse `e piatta al tasso i = 4.5%. Il signor Tedesco possiede
un portafoglio del valore di 96 000 euro investito interamente in BT P di maturit`a 9 anni, e t.n.a. del 6%. Si calcoli
la duration del portafoglio.
D=
anni
Giudicando la duration eccessiva, il signor Tedesco decide di ridurla vendendo una quota del portafoglio, dal valore V
espresso in euro, e re-investendola in BOT a 6 mesi. Quanto deve essere la quota V affinch´e la duration complessiva
risulti pari a 3 anni?
V =
euro
Esercizio 6.
Alla data odierna (12/2/2014) un investitore forma un portafoglio di CCT con maturit`a 8/6/2015 e privo di spread.
Si calcoli (approssimativamente, ma non troppo) la duration D del portafoglio e il prezzo di acquisto P dei CCT,
riferito ad un facciale C = 100, sapendo che la prima cedola che verr`a pagata `e pari a I1 = 4, e che la struttura per
scadenza dei tassi `e piatta al tasso i = 6.1%.
D=
anni
P =
Si risponda alla medesima domanda nel caso in cui i CCT possiedano uno spread di 250 punti base.
D0 =
anni
P0 =

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