Posizioni di equilibrio

Equilibrio di un punto
Francesco Demontis
A.A. 2013/2014
Il moto del punto P di massa m e` determinato dalle sue coordinate x, y, z in modo che l’equazione
F (P, P˙ , t) = ma ,
(1)
risulti soddisfatta. Le (1) costituiscono un sistema di tre equazioni differenziali del secondo ordine
che si pu`o scrivere in forma normale (cio`e in modo che le derivate di ordine due di x, y, z siano
funzione di quelle di ordine inferiore). Sotto l’ipotesi che le componenti della forza siano funzioni lipschitziane, tali sistemi di equazioni differenziali, ammettono, qualora si specifichino i dati
iniziali P (t0 ) = P0 e P˙ (t0 ) = v 0 , una e una sola soluzione (teorema di Cauchy) (determinismo
della meccanica newtoniana). La (1) si intende formulata relativamente a un sistema di riferimento
inerziale.
Premettiamo la seguente:
Definizione. La posizione P0 e` detta di equilibrio per il punto P se mettendo il punto inizialmente in P0 con velocit`a iniziale nulla il punto rimane in quella posizione.
Si ha il seguente
Theorem 0.1 Condizione necessaria e sufficiente affinch`e P0 sia posizione di equilibrio per il
punto P soggetto alla forza F (P, P˙ , t) e` che
F (P, ~0, t) = ~0.
(2)
Proof. La condizione necessaria si dimostra facilmente. Infatti se P0 e` una posizione di equilibrio allora P (t) = P0 per t > t0 e sostituendo nella (1) si trova subito la (2). Viceversa se la (2)
e` vera, risulta soddisfatta la (1) con le condizioni iniziali P (t0 ) = P0 (il punto si trova in quella
posizione inizialmente) e P˙ (t0 ) = ~0 (velocit`a iniziale nulla). Per il determismo della meccanica
del punto P (t) e` proprio la soluzione a (1) e poich`e P˙ (t) = ~0 anche per istanti successivi a t0 , la
posizione e` di equilibrio.
E’ importante poter estendere il concetto di equilibrio relativo anche a riferimenti non inerziali.
In particolare, si vuole studiare il seguente:
1
Problema: Sia {Ωξηζ} una terna solidale a un riferimento inerziale (terna fissa) e si consideri
la terna {Oxyz} (terna mobile) in moto rispetto alla terna fissa (il moto si intende assegnato). Ci
proponiamo di determinare le condizioni a cui devono sottostare le forze applicate ad un punto materiale P in moto affinch`e esso, nonostante la presenza di tali forze, mantenga posizione invariata
rispetto alla terna mobile (sia cio`e in equilibrio relativo...si intende cio`e che in tale riferimento
il punto e` posto inizialmente in tale posizione con velocit`a relativa iniziale nulla).
Prima di enunciare il risultato che rappresenta l’analogo del teorema 0.1 per i sistemi non
inerziali, facciamo la seguente premessa. La (1), come gi`a ricordato e` valida nella classe dei
sistemi di riferimento inerziali e conviene quindi riscriverla come segue
F = ma(a) ,
(3)
dove a(a) rappresenta l’accelerazione assoluta del punto materiale P .
Per il teorema di Coriolis (vedi cinematica dei moti relativi) si ha:
a(a) = a(r) + a(t) + 2a(c) ,
(4)
dove a(r) , a(t) e a(c) = ω ∧ v (r) rappresentano, nell’ordine, le accelerazioni relativa, di trascinamento e di Coriolis, Se si moltiplica per la massa m la (4) e si tiene conto di (3), si perviene alla
seguente equazione (valida in sistemi di riferimento non inerziali)
ma(r) = F − ma(t) − 2ma(c) .
(5)
Ponendo F (t) = −ma(t) (forza di trascinamento) e F (c) = −2ma(c) = −2mω ∧ v (r) (forza di
Coriolis), la (5) fornisce
ma(r) = F + F (t) + F (c) ,
(6)
che e` l’analogo della (1) per sistemi di riferimento inerziali. La (6) rappresenta l’equazione di moto
da utilizzare nei sistemi di riferimento non inerziali e pu`o essere interpretata dicendo che anche
in tali sistemi di riferimento “vale” l’equazione (1) a patto di aggiungere alle forze effettive (cio`e
quelle che agiscono nel riferimento inerziale) le forze apparenti (cio´e la forza di trascinamento e
di Coriolis). Conviene inoltre analizzare l’espressione assunta dalle forze apparenti in alcuni tipi
di moto particolarmente significativi.
a. Moto traslatorio. In tal caso sappiamo che tutti i punti del sistema hanno la stessa accelerazione e si ha F (t) = −ma(t) = −ma0 e, inoltre, essendo ω = 0 si ha anche F (t) = ~0. Si
noti che se il moto fosse traslatorio uniforme anche l’accelerazione di trascinamento sarebbe
nulla....
b. Moto rotatorio uniforme. In tal caso F (t) = −ma(t) = mω 2 (P −Q) dove Q e` la proiezione
di P sull’asse di rotazione e F (t) e` detta forza centrifuga (si ricorda che l’espressione
dell’accelerazione di trascinamento e` −ω 2 (P − Q)). Si noti che se il moto fosse semplicemente rotatorio (cio`e rotatorio non uniforme) l’accelerazione di trascinamento sarebbe
d
(ω ∧ (P − O)).
dt
Per quanto riguarda l’equilibrio relativo si ha il seguente:
Theorem 0.2 Condizione necessaria e sufficiente affinch`e P0 sia posizione di equilibrio relativo
per il punto P e` che
F − ma(t) = ~0.
(7)
Proof. Se la posizione P0 e´ di equilibrio relativo allora a(r) = v (r) = ~0, dovendo il punto P
conservare posizione invariata rispetto agli assi mobili. Ne consegue che sono simultaneamente
nulle l’accelerazione di Coriolis e l’accelerazione relativa e quindi vale la (7). Supponiamo viceversa, di aver posto inizialmente il punto in P0 con velocit`a relativa iniziale nulla e che valga la (7).
Occorre dimostrare che il punto P conserver`a tale posizione rispetto alla terna relativa per t > t0 .
Utilizzando (7) e` immediato constatare che la (5) fornisce
a(r) + 2a(c) = ~0.
Poich`e l’accelerazione di Coriolis e` ortogonale alla velocit´a relativa, moltiplicando ambo i membri
dell’ultima equazione (scalarmente) per v (r) si trova
0 = a(r) · v (r) =
1 d(v (r) · v (r) )
.
2
dt
Quest’ultima equazione comporta che la lunghezza del vettore v (r) sia costante al trascorrere del
tempo per t ≥ t0 . Poich`e nell’istante iniziale la lunghezza del vettore v (r) e` zero, essa continuer`a
a restare nulla e quindi v (r) = ~0 in tutti gli istanti successivi a t0 (cio`e il punto conserva posizione
invariata rispetto alla terna mobile).

Download Report