Read More - Archimede Project

I SUONI ARMONICI
Verica della relazione fra le frequenze delle armoniche e le
lunghezze d'onda per i suoni armonici prodotti da alcuni
strumenti musicali
A cura di Sadak Ikram, Ceppi Giulio, Sech Edoardo, Lucchetta Jessica, Spadetto Luca, Criscuolo Lucia, Muato
Francesca, Zaalon Francesca, Possamai Sebastiano, Dalla Rosa Josephine
Realizzato nell'ambito del Progetto Archimede
con la supervisione dei Pro. V.Fabbro e F.Zampieri1
Sommario
Nel presente lavoro si esegue una verica sperimentale delle relazioni che intercorrono fra le frequenze
fn dei suoni armonici naturali prodotti da tre strumenti musicali (auto, violino e trombone) e le relative
lunghezze d'onda degli elementi di corda o di colonna d'aria che sono interessati dalla relativa vibrazione,
mettendo in evidenza la successione discreta delle componenti armoniche e la relazione di proporzionalità
diretta con la frequenza fondamentale f1
1 Cenni teorici
Il fenomeno delle vibrazioni stazionarie è alla base della produzione dei suoni negli strumenti musicali a
suono determinato, indipendentemente dalle sorgenti sonore che essi utilizzano e dai mezzi di eccitazione
di dette sorgenti. Fondamentalmente, per quanto riguarda le due classi di strumenti musicali più diuse,
ossia i cordofoni e gli aerofoni, i suoni sono sempre generati da un corpo vibrante (corda o colonna d'aria
contenuta in un tubo) che può presentare o meno dei vincoli alle estremità. La presenza dei vincoli fa
sì che sul corpo interessato da una perturbazione si possa propagare, come noto, un'onda stazionaria,
risultato della sovrapposizione di un'onda incidente con quella eventualmente riessa dai vincoli.
Ne deriva, essendo discreta la gamma delle onde stazionarie che si possono generare sulla sorgente,
che la sorgente stessa può emettere solamente uno spettro discreto di vibrazioni, trasformate poi dagli
organi di senso in una sensazione detta stimolo sonoro o più semplicemente suono determinato.
Dal momento che l'onda deve essere stazionaria per la presenza dei vincoli, si possono instaurare
solamente delle vibrazioni la cui frequenza
fn
risulta multipla della frequenza detta fondamentale
f1 ,
che
è quella relativa alla vibrazione della corda o della colonna d'aria intera, secondo la relazione:
fn = n · f1 ,
Ogni frequenza
f
n = 1, 2, 3, ...
(1)
λ
del suono dalla consueta relazione su
è legata ovviamente alla lunghezza d'onda
cui si basa la meccanica ondulatoria:
f=
ove
v
v
λ
(2)
è la velocità di propagazione del suono all'interno del corpo interessato dalla vibrazione.
1 Si ringrazia il Prof. V.Bassanello per le utili informazioni date a proposito della produzione dei suoni sul trombone
I.S.I.S.S. M.Casagrande, Pieve di Soligo, Aprile 2014
1
A sua volta la lunghezza d'onda del suono sarà strettamente legata alla lunghezza sica dell'elemento
che è considerato sorgente sonora e che quindi varia da strumento a strumento e dalla presenza dei vincoli.
Nel caso dei cordofoni, indipendentemente dal meccanismo di eccitazione (percussione, pizzico o stronio), la sorgente sonora è una corda di lunghezza
L,
pensata unidimensionale, che presenta due vincoli
alle estremità. La presenza dei due vincoli impone che per avere la vibrazione stazionaria fondamentale la
perturbazione debba percorrere una lunghezza pari a
alla cosiddetta
corda vuota
λ = 2L,
per cui, la frequenza fondamentale, riferita
(emessa cioè dall'intera lunghezza della corda) è così calcolata:
f1 =
v
2L
(3)
Per gli aerofoni la sorgente è invece una colonna d'aria, messa in vibrazione da vari meccanismi (soo,
ance, vibrazione delle labbra). Nel auto traverso l'aria entra da un foro posto lateralmente sul tubo,
quindi si può considerare un tubo aperto ad entrambe le estremità. Pertanto, analogamente a quanto
accade per il violino, la lunghezza d'onda corrispondente alla frequenza fondamentale è pari a
2L,
ove
L
è la distanza fra le due estremità. La frequenza fondamentale è quindi calcolata tramite la 3
Anche la produzione del suono nel trombone utilizza una canna aperta a due estremità: in una di
queste viene inserito il bocchino. Pertanto la lunghezza d'onda della fondamentale anche in questo caso
sarà pari a
2
volte la lunghezza della canna e la frequenza della fondamentale sarà data ancora dalla 3.
Figura 1: Relazione fra la lunghezza della canna e la lunghezza d'onda delle armoniche, a sinistra nel
caso di tubi con entrambe le estremità libere o vincolate, a destra nel caso di corde o tubi con un estremo
vincolato e l'altro libero.
Per i tre strumenti, la gura 1 chiarisce la correlazione fra la lunghezza delle canne e la lunghezza d'onda
delle armoniche.
Visto che le frequenze armoniche sono sempre multiple intere della frequenza fondamentale, per vericare la relazione 1 basterà, una volta emessi i suoni armonici, misurare le frequenze delle armoniche
oppure disporre delle lunghezze delle parti di corda o di colonna d'aria che danno origine ai suoni armonici.
2 Armoniche sul violino
La produzione del suono sul violino avviene stronando la corda, che viene posta in vibrazione fra due
vincoli, il primo all'estremità della tastiera ed il secondo sul ponticello. Se l'esecutore non appoggia le dita
della mano sinistra sulla corda, la frequenza emessa corrisponderà alla fondamentale detta
corda vuota
e
si riferisce alla vibrazione della corda intera. Le frequenze armoniche sono invece ottenute appoggiando
le dita della mano sinistra a distanza
d
dal vincolo sul ponticello, ponendo così un vincolo alla corda
stessa che limita la lunghezza di vibrazione. In tal modo la vibrazione viene prodotta da una frazione
della lunghezza della corda vuota.
2
Se
L è la lunghezza della corda che dà la fondamentale,
L in parti intere, ossia:
L
Ln =
n
le armoniche successive saranno associate alle
suddivisioni di
(4)
E' stata vericata la relazione fra il numero della armonica e la lunghezza del segmento di corda che
origina tale frequenza nel caso della corda LA (seconda corda) del violino. Nel caso in esame, le frequenze
successive alla prima armonica sono state ottenute vincolando la corda tramite il dito della mano sinistra
e quindi accorciando la lunghezza della
corda vuota
che risulta essere
L1 = 32.50 cm.
E' stata misurata
quindi, in corrispondenza di ogni armonica, determinata ad orecchio dall'esecutore, la lunghezza della
frazione di corda che vibrava e da essa la corrispondente frazione
L1 /n,
tramite una squadra.
Figura 2: La formazione dei suoni armonici sul violino. Nella foto, il dito dell'esecutore vincola la corda.
Si è misurata la distanza
d fra il punto di vincolo determinato dal dito e il punto situato sul ponticello,
secondo la g.2
Chiaramente, la lunghezza
Ln =
L
n
sarà data da
Lmis,n =
L
d
=
,
n
n−1
n>1
(5)
n
f[Hz]
Nota
L calcolate [cm]
L misurate [cm]
∆L
1
440
A3
32.50
32.50
0.70
2
880
A4
16.25
16.50
0.35
3
1320
E5
10.83
10.50
0.23
4
1760
A5
8.13
7.80
0.18
5
2200
C] 6
6.50
6.50
0.14
6
2640
E6
5.42
5.40
0.12
Tabella 1: Misurazioni per il violino: frequenze delle
6 armoniche prodotte, lunghezza della corda misurata
e confronto con quella teorica, calcolata con la 5
Sono state riportate nella tabella
1 i valori della Ln
calcolata dalla formula 4 e i valori misurati
Lmis,n
calcolati con la 5 , limitandosi per motivi tecnici alle prime sei armoniche (la qualità delle corde non ha
permesso di produrre armoniche distinte oltre la sesta).
Una grossa dicoltà è stata la determinazione esatta della posizione del vincolo, dal momento che il
polpastrello dell'esecutore ha una certa larghezza. Si è cercato di determinare una posizione media, ma si
è dovuto tenere conto di un'incertezza derivante dalla larghezza
3
l
del polpastrello, stimata in
l = 1, 4 cm.
Ad ogni stima di
d e quindi di Ln
è stata quindi associata un'incertezza
∆Ln , calcolata (in cm) tramite
la formula
∆L = 0, 7/n
ove
0, 7 cm
(6)
è la semilarghezza del polpastrello.
Figura 3: Confronto fra le lunghezze dei segmenti di corda misurati e calcolati teoricamente. Si notino le
barre di errore, calcolate mediante la semi-larghezza del polpastrello dell'esecutore.
Figura 4: Ingrandimento delle barre di errore relative alle prime tre armoniche del violino.
4
Nella gura 3 sono state riportate le due serie di dati (L calcolato e
n
L misurato in funzione del numero
dell'armonica).
Nella gura 4 si può vedere l'ingrandimento delle barre di errore relative alle prime tre armoniche.
Si nota la compatibilità del dato misurato con quello calcolato, tenendo conto delle incertezze.
3 Armoniche sul auto
Negli strumenti a ato il suono si crea trasformando un usso continuo di aria a pressione costante,
generato dal soo con la bocca, in un usso oscillante. L'oscillazione della colonna d'aria si produce
soando sul bordo del foro di imboccatura: l'aria, in quanto uido, non si separa in modo uniforme,
ma alternativamente entra nel tubo in maggior quantità, creando al suo interno una zona a pressione
maggiore ed esce dal tubo, creando al suo interno una zona a pressione minore. Questa successione di zone
a maggiore e minore pressione produce il suono e l'eetto prodotto viene poi amplicato dalla risonanza
del corpo dello strumento.
L'altezza del suono da produrre è determinata principalmente da due fattori: il primo è la pressione
con cui viene soata l'aria, in corrispondenza dell'imboccatura, che si può modicare tramite la tensione
e la posizione delle labbra; il secondo è la lunghezza della canna in cui vibra l'aria, che si può modicare
aprendo o chiudendo i fori laterali del tubo.Una sequenza di suoni armonici può essere ottenuta utilizzando
l'intera lunghezza
L del tubo dello strumento, corrispondentemente alla nota fondamentale DO3 , con tutti
i fori chiusi aumentando la pressione del soo.
Lo studio e la verica della relazione 1 è stata eettuata nel nostro esperimento associando ad ogni
suono della gamma delle armoniche del
DO3
la corrispondente frequenza in Hertz. Ciò è stato possibile
mediante l'utilizzo di un software apposito, che, dal campione audio registrato, mediante un opportuno
algoritmo di campionamento, permette di risalire alla frequenza corrispondente.
Sono stati registrati in sequenza i primi 7 suoni armonici della gamma del
DO3 .
Mediante il software,
è stata associata a ciascun suono la corrispondente frequenza in Hertz, compiendo due misurazioni con
lo stesso software installato però su due Laptop diversi, muniti ovviamente di scheda audio.
n
Nota
f misurata 1 [Hz]
f misurata 2 [Hz]
f media [Hz]
f di riferimento [Hz]
1
Do3
265.73
265.06
265.40
261.63
2
Do4
527.54
527.52
527.53
523.26
3
Sol4
790.11
789.87
789.99
584.89
4
Do5
7059.60
1059.60
1059.60
1046.52
5
Mi5
1323.00
1322.80
1322.90
1308.15
6
Sol5
1582.70
1582.80
1582.75
1569.78
7
Si[5
1842.20
1844.20
1843.20
1831.41
Tabella 2: Misurazioni per il auto: frequenze delle
7
armoniche prodotte misurate con i due computer.
E' stata riportata, per confronto, anche la frequenza media di riferimento calcolata con la scala temperata.
Si nota una certa dierenza fra le frequenze misurate con i due computer, dell'ordine di
0, 5 ÷ 1, 0 Hz ,
causa del diverso funzionamento delle schede audio. I due dati sono stati mediati e riportati in tabella
Nella g.5 è stata rappresentata la relazione fra la frequenza
f
misurata e il numero
corrispondente; si osserva, per la serie di dati, una buona linearità della relazione
f
n
vs
a
2.
dell'armonica
n.
A riprova
di questo fatto, è stato determinato il coeciente angolare della retta di media pendenza inerente la
n, che fornisce la stima
f1 = 263, 46 Hz , contro
quindi dello 0, 74%.
f1 .
relazione fra la frequenza media misurata e
della frequenza fondamentale
Il dato calcolato statisticamente è stato di
il dato misurato che è invece di
f1 = 265, 40 Hz .
L'errore percentuale è
Nella seconda parte dell'esperienza, è stata misurata direttamente la lunghezza
L della colonna d'aria
che produceva le prime tre armoniche (vedi gura 6), confrontandola con il valore teorico derivante dalla
relazione 3.
5
Figura 5: Relazione fra il numero dell'armonica e la frequenza misurata per il auto traverso
.
Figura 6: Lunghezze delle sezioni di tubo del auto che producono le armoniche misurate
Utilizzando le posizioni per ottenere il suono delle prime tre armoniche costruite sulla fondamentale
DO3 ,
dente.
è stata misurata con un metro da falegname la lunghezza
Invertendo la 3, è stata calcolata la lunghezza
L
Ln , n = 1, 2, 3 del tubo chiuso corrispon-
utilizzando i precedenti valori delle frequenze
fn .
Abbiamo scelto solo le prime tre perché al crescere della frequenza della nota nel auto altre componenti oltre alla lunghezza del tubo inuenzano la lunghezza del suono emesso, come ad esempio la
pressione.
6
Come valore da assegnare a
v,
in tal caso pari alla velocità di propagazione della perturbazione
ondulatoria nella colonna d'aria dello strumento, è stato fatto uso della relazione (cfr: Wikipedia.it):
v(T ) = 331, 45 + 0, 62 · T
ottenendo nel caso di
(7)
T = 20◦ C , v = 345, 09 m/s
∆L
n
f media misurata [Hz]
L misurata [m]
L calcolata [m]
[m]
1
265.40
59.7
0.6595
0.0531
2
527.53
31.4
0.3297
0.0130
3
789.99
22.1
0.2198
0.0020
Tabella 3: Raronto fra le lunghezze della colonna d'aria del auto misurate e calcolate mediante la 3
Nella tabella 3 sono riportate le lunghezze delle colonne d'aria che hanno prodotto le prime tre
armoniche; in particolare nell'ultima colonna si può leggere la dierenza fra il valore misurato e quello
calcolato con la 3.
Confrontando i dati si osserva che per i primi due valori la lunghezza calcolata risulta sistematicamente
maggiore di quella misurata. Questo è dovuto al fatto che la formula teorica relativa alle canne aperte
alle due estremità vale solo per canne ideali, cioè innitamente sottili.
L'esperienza dimostra invece
che il suono emesso utilizzando una canna di determinata lunghezza non resta costante e diminuisce
progressivamente la sua frequenza all'aumentare del diametro della canna stessa. Inoltre nella realtà la
canna d'aria che crea l'onda stazionaria del suono si estende al di fuori della canna e, a parità della
lunghezza della canna, questa estensione aumenta all'aumentare del diametro del tubo.
La lunghezza reale del tubo del auto tiene conto di questi aspetti e non è quindi uguale a quella
teorica. La dierenza fra la lunghezza teorica e quella misurata viene chiamata
indichiamo con
∆m .
correzione di bocca
che
Esistono delle formule elaborate che permettono di darne una stima approssimata:
quella formulata da A. E. Bate nel 1930
∆m =
dove
a
è il raggio della canna,
S
l'area della bocca e
Frobenius nel 1947:
dove
a
è il raggio della canna,
πa2
q
2k Sπ
k
una costante, e quella formulata da Igerlslev e
2, 3a2
∆m = √
lb
l
l'altezza della bocca,
b
la larghezza della bocca e
lb
è circa
1/4.
Queste formule sono necessariamente indicative per il tipo di grandezze non facilmente denibili che coinvolgono altri parametri quali l'area della bocca e l'altezza della bocca.
4 Armoniche sul trombone
La produzione del suono sul trombone a tiro avviene grazie alla vibrazione delle labbra dell'esecutore
che, per la particolare forma del bocchino dello strumento, consente di mettere in oscillazione la colonna
d'aria. Essa presenta quindi due estremità aperte, per cui le frequenze armoniche vengono calcolate a
partire dalla formula 3.
Come nel auto traverso, anche nel trombone i suoni armonici vengono emessi dosando la tensione
delle labbra e l'intensità del soo, per ognuna delle sette posizioni della
coulisse.
A tale proposito
è interessante il meccanismo stesso che permette di produrre tutti i suoni della scala cromatica:
produzione di ogni suono è legata sia alla posizione della
7
coulisse
la
che alla armonica prodotta usando
quindi una certa lunghezza ssa per la colonna d'aria dello strumento. In altre parole, ssata la posizione
della coulisse, l'esecutore si avvale di tale lunghezza ssa
L per produrre tutte le armoniche inerenti quella
lunghezza fondamentale.
Figura 7: Un moderno trombone tenore a coulisse, in cui i suoni della scala cromatica sono ottenuti
utilizzando sette dierenti posizioni della coulisse, in combinazione con le armoniche producibili con ogni
posizione
Nel caso in esame, mediante un procedimento del tutto analogo a quanto fatto per il auto, sono
stati registrati mediante un opportuno software, i campioni audio inerenti quattro armoniche, prodotte
con la coulisse in prima posizione, quindi sfruttando la lunghezza della colonna d'aria che abbiamo
chiamato
L1 .
Per ogni suono armonico è stata determinata sempre con l'ausilio di un software la frequenza
corrispondente, che è stata confrontata con la frequenza di riferimento inerente la scala temperata.
n
Nota
1
Si[2
F a3
Si[3
Re4
2
3
4
f
misurata [Hz]
f
teorica [Hz]
116,40
116,54
176,75
174,14
239,25
233,10
296,01
293,65
Tabella 4: Frequenze misurate per le 4 armoniche inerenti la prima posizione del trombone, rarontate
con quelle teoriche, dedotte dalla scala temperata
Nella Tab.4 sono riportate le misurazioni delle frequenze registrate. Si nota che la discrepanza fra il
valore misurato e quello di riferimento cresce al crescere della frequenza. L'eetto è spiegabile con la non
perfetta emissione del suono da parte dell'esecutore ed a causa dei limiti tecnici dello strumento, non in
buone condizioni.
E' stato quindi realizzato un graco cartesiano che mostra la comunque ottima linearità fra il numero
dell'armonica e la frequenza corrispondente. Tuttavia, ci si accorge che la relazione fra
proporzionalità diretta, ma di correlazione lineare. In altre parole, la frequenza inerente
n e f non è
n = 1 non è
di
la
fondamentale, come inizialmente era stato ipotizzato.
Per cercare la fondamentale sarà necessario allora determinare il coeciente angolare della retta di
best-t. Con il consueto procedimento della regressione lineare, usando la funzione PENDENZA di Excel
abbiamo determinato che detto coeciente vale:
f1 = 60, 133 ± 0, 657Hz
frequenza che quindi si riferirebbe ad un suono esattamente un'ottava sotto il primo suono registrato.
Per il calcolo dell'errore su
f1
è stato fatto uso delle formule inerenti il metodo dei minimi quadrati.
Se ne deduce, quindi, che il suono fondamentale relativo alla prima posizione è dunque un
sua emissione, tuttavia, è alquanto dicoltosa per un esecutore principiante...
8
Si[2 .
La
A riprova di questo fatto, abbiamo misurato la lunghezza della colonna d'aria corrispondente alla
produzione delle armoniche in prima posizione e, facendo uso della relazione 3, abbiamo calcolato la
frequenza teorica della fondamentale.
Con il valore di
v = 343, 54 m/s
per la velocità del suono in aria (ottenuta grazie alla 7), si ha:
f1 = 62, 46 ± 1, 14 Hz
compatibile con la frequenza determinata col t lineare.
Figura 8: Graco cartesiano delle frequenze armoniche relative alla prima posizione del trombone
n
Nota
1
Si[1
Si[2
F a3
Si[3
Re4
2
3
4
5
f
misurata [Hz]
f
teorica [Hz]
60, 13
62,46
116,40
116,54
176,75
174,14
239,25
233,10
296,01
293,65
Tabella 5: Frequenze misurate per le armoniche inerenti la prima posizione del trombone, confrontate
con quelle teoriche, dedotte dalla scala temperata (tranne che per
n = 1,
in cui viene rarontato il dato
estrapolato dalla regressione lineare con quello calcolato con la 3)
La nuova corrispondenza fra numero dell'armonica e corrispondente frequenza è riportato in tab.5.
Nella g.8 è riportata la relazione che lega il numero dell'armonica alla corrispondente frequenza, che
come si vede è di perfetta proporzionalità diretta.
5 Conclusioni
In tutti i casi considerati, per i tre strumenti analizzati, abbiamo notato un buon accordo fra le relazioni
teoriche e le misurazioni eettuate.
Le formule teoriche presuppongono che le armoniche producibili a partire da una unità fondamentale
(corda o colonna d'aria) siano sempre caratterizzate da una successione discreta, allo stesso modo di
quanto è stato misurato sperimentalmente, mediante la determinazione delle frequenze corrispondenti.
9

Download Report