remastered - Università degli Studi di Messina

Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi
CONSIDERAZIONI GENERALI
SULLA FORMULAZIONE RELATIVA DELL’ELETTRODINAMICA
` GENERALE
IN RELATIVITA
G IOVANNI C RUPI
A Renato Nardini nel suo 700 compleanno
S UNTO . Si propone, rispetto a riferimenti fisici generali, una formulazione strettamente
relativa dell’elettrodinamica nel vuoto in presenza di campi gra-vitazionali. Tra l’altro,
si dimostra che la tecnica delle proiezioni di Cattaneo consente di trovare agevolmente
le equazioni di evoluzione, quelle di condizione, noneh`e le relazioni in termini finiti tra
le grandezze elettromagnetiche tridimensionali. L’adozione del tempo relativo standard e
della trivelocit`a relativa standard influisce sulla struttura delle equazioni di evoluzione e
della densit`a relativa di carica elettrica.
0. Introduzione. – Nello schema della tecnica delle proiezioni di Cattaneo [1, Cap. VII],
e in un riferimento che non sia tempo–ortogonale, si riesamina il problema della formulazione relativa dell’elettrodinamica nel vuoto in presenza di un campo gravitazionale. Il
caso, pi`u semplice, nei riferimenti tempo–ortogonali e` stato oggetto di una precedente
ricerca [2].
Tra l’altro, si ha occasione di dimostrare che anche nel caso di riferimenti generali si
ritrovano agevolmente le equazioni relative di evoluzione e di condizione (nn. 2, 4), nella
forma in cui esse appaiono nelle opere fondamentali di Møller [3, pp. 419-422] e di Landau
[4, pp. 338–340].
Successivamente (n. 5), dopo aver ricordato che il tempo coordinato ha scarso significato fisico in relativit`a generale, si propone una formulazione delle equazioni di evoluzione
in cui intervengono il tempo relativo standard e la velocit`a relativa standard [1, Cap- VII].
Anche alla densit`a di carica viene data una forma fisicamente espressiva in cui appare in
modo esplicito il contributo del carattere non irrotazionale del fluido di riferimento. Nel
n. 6 si dimostra come le equazioni materiali, che legano le grandezze elettromagnetiche
tridimensionali, si possono dedurre a partire dalla decomposizione naturale del tensore
elettromagnetico. Nel n. 7 vengono riunite in un unico quadro le equazioni che costituiscono il sistema fondamentale proposto per lo studio relativo dei processi elettrodinamici
nel vuoto in presenza di campi gravitazionali, rispetto a riferimenti fisici generali. Infine,
omettendo il procedimento formale, si sottolinea che i fronti d’onda di discontinuit`a, nei
rifornimenti tempo–ortogonali, si propagano con la stessa velocit`a della luce nel vuoto, e
ci`o concorda con la concezione generale rimarcata dal Cattaneo [1, Cap- VII], secondo cui
l’adozione di misure standard di spazio e di tempo attribuisce alla velocit`a della luce nel
vuoto il valore universale anche in presenza di un campo gravitazionale.
1. – In questo numero premettiamo alcuni richiami a carattere generale, utili per gli
sviluppi successivi.
Consideriamo una variet`a spazio–temporale curva V 4 , riferita ad un sistema di coordinate locali (xi ) e dotata in ogni punto di una metrica iperbolica normale
ds2 = gik dxi dxk
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346
G. C RUPI
(i, k = 1, 2, 3, 4) di segnatura + + +−; le xα (α = 1, 2, 3) indicano coordinate spaziali
ed x4 = ct, dove c e` la velocit`a della luce nel vuoto e t il tempo coordinato.
Come e` noto in V 4 le equazioni tensoriali dell’elettrodinamica nel vuoto, in presenza di
un campo gravitazionale sono suscettibili della forma
E sikh ∇i Fkh = 0,
∇k F ik = si ,
oppure

sikh

∂i Fkh = 0,
E
p
1

|g|F ik = si ,
 p ∂k
|g|
(1)
dove le Fik indicano le componenti covarianti del tensore elettromagnetico, si le componenti controvarianti della quadridensit`a di corrente, E sikh le componenti controvarianti
dello pseudo tensore di Ricci e g = det gik .
Un riferimento fisico in V 4 resta caratterizzato da un campo di vettori γ di specie
temporale (γ · γ = −1).
Lo spazio tangente Tx associato al generico punto (xi ) pu`o essere decomposto nella
somma di due sottospazi supplementari ed ortogonali tra loro
Tx = Σx + θx ,
dove θx e` unidimensionale e parallelo a γ, mentre Σx e` tridimensionale ed ortogonale a
γ: θx e Σx rappresentano localmente tempo e piattaforma spaziale relativi al riferimento
fisico individuato dal campo γ.
Nell’ambito di tale schema, introdotto un sistema di coordinate fisicamente ammissibili,
si costruiscono i due tensori
γik = gik + γi γk ,
(2)
νik = −γi γk ,
dove
gi4
1
,
γ α = 0,
γ4 = √
.
(3)
−g44
−g44
Il tensore γik , che viene chiamato proiettore spaziale, permette di effettuare le proiezioni sulla piattaforma spaziale Σx , mentre il tensore νik , detto proiettore temporale, consente
di costruire le proiezioni sulla linea θx .
γi = √
2. – Proiettiamo sulla base spaziale Σx l’equazione (1).
In base alla tecnica delle proiezioni di Cattaneo, tale proiezione e` data da
γrs E rikh ∂i Fkh = 0,
(4)
oppure, essendo γ4s = 0,
γαs E αikh ∂i Fkh = 0.
(5)
E da questa, separando le prime tre componenti dalla quarta, segue:
( β αikh
γα E
∂i Fkh = 0,
γα4 E αikh ∂i Fkh = 0.
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(6)
C ONSIDERAZIONI GENERALI SULLA FORMULAZIONE RELATIVA DELL’ ELETTRODINAMICA . . .
Ma
( β
γα = δαβ + γα γ β = δαβ ,
γα4 = δα4 + γα γ 4 = γα γ 4 ,
e quindi le (6) sono riconducibili a
( βikh
E
∂i Fkh = 0,
γα E αikh ∂i Fkh = 0.
347
(7)
(8)
E` evidente che la (8)2 e` una conseguenza della (8)1 . Allora, le (8) forniscono come
equazioni indipendenti solo le (8)1 , cio`e le
E βikh ∂i Fkh = 0,
(9)
che sono riconducibili alle
E βα%4 ∂α F%4 + E βα4µ ∂α F4µ + E β4%µ ∂4 F%µ = 0.
(10)
E` facile accertare che vale l’identit`a
εβα%
E βα%
εβα%4
=√
,
(11)
E βα%4 = p
√ =√
−g44 γ
−g44
|g|
dove εβα% ed E βα% , rispettivamente, rappresentano l’indicatore di Levi–Civita e lo pseudotensore di Ricci associati alla base spaziale Σx di metrica
dσ 2 = γαβ dxα dxβ
(12)
con
γ = det kγαβ k.
(13)
Dopo la (11), le (10) sono riconducibili alle
2E βα% ∂α F%4 + E β%µ ∂4 F%µ = 0.
(14)
Prima di proporre le ulteriori trasformazioni di cui e` suscettibile la (14), riteniamo opportuno precisare il comportamento delle quantit`a F%µ ed F%4 rispetto ad una trasformazione puramente spaziale di coordinate, che coinvolga i punti della base spaziale Σx . Una
tale trasformazione, com’`e noto, e` del tipo
( 0α
x = x0α (x1 , x2 , x3 ),
(15)
x04 = x4 ,
ed e` suscettibile di essere interpretata come una trasformazione interna al riferimento fisico
[1, Cap- VII].
Com’`e facile verificare, le F%µ ed F%4 rispetto alla (15) si trasformano, rispettivamente,
come le componenti covarianti di un tensore di rango due e di rango uno. E perci`o nella
base Σx : le F%µ , individuano un tensore tridimensionale di rango due ed F%4 un vettore
tridimensionale.
Adesso, per analogia a ci`o che e` noto in relativit`a ristretta, poniamo:

 E% = F%4 ,
(16)
1
 B ν = E ν%µ F%µ ,
2
dove con E% indichiamo le componenti covarianti del trivettore che nella base spaziale Σx
rappresenta l’intensit`a elettrica e con B ν le componenti controvarianti del trivettore che in
Σx indica l’induzione magnetica del campo.
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Risolvendo le (16)2 rispetto ad F%µ , le (16) si possono riscrivere nella forma:
F%4 = E% ,
(17)
F%µ = Eν%µ B ν .
Inserendo queste ultime nella (14), si trova
2E βα% ∂α E% + E β%µ ∂4 Eν%µ B ν = 0,
da cui
√
2E βα% ∂α E% + E β%µ εν%µ ∂4 ( γB ν ) = 0,
oppure
Eν%µ
√
(18)
2E βα% ∂α E% + E β%µ √ ∂4 ( γB ν ) = 0,
γ
dove
E β%µ Eν%µ = 2δνβ .
(19)
Infine, inserendo quest’ultima nella (18), si e` condotti alla
1
√
E βα% ∂α E% + √ ∂4 ( γB ν ) = 0,
γ
che pu`o essere trascritta anche nella forma vettoriale:
1
√
(20)
rot E = − √ ∂t ( γB).
c γ
E` appena necessario ricordare che l’operatore rot va costruito nella base spaziale di
metrica (12).
Procediamo, ora, alla ricerca della proiezione di (1) sulla linea temporale passante per
il punto (xi ) di V 4 ed associata al riferimento fisico individuato dal campo γ.
Applicando la tecnica delle proiezioni di Cattaneo si trova:
−γs γr E sikh ∂i Fkh = 0,
e questa in un riferimento generale, cio`e che non sia tempo–ortogonale, pu`o essere trascritta nella forma
γα E αikh ∂i Fkh + γ4 E 4ikh ∂i Fkh = 0,
che, dopo la (8)2 , si riduce alla
−γ4 E ikh4 ∂i Fkh = 0,
oppure
−γ4 E αβσ4 ∂α Fβσ = 0
(21)
√
(α, β, σ = 1, 2, 3). Invocando l’identit`a (11) e ricordando che γ4 = − −g44 , la (21) pu`o
essere riscritta nella forma
E αβσ ∂α Fβσ = 0,
e questa, dopo la (17)2 si trasforma nella
E αβσ ∂α (Eνβσ B ν ) = 0.
Quest’ultima, osservando che vale l’identit`a
√
γενβσ
Eνβσ
√
√
ν
∂α (Eνβσ B ) = √
∂α ( γB ν ) = √ ∂α ( γB ν ),
γ
γ
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e` riconducibile alla
Eνβσ
√
E αβσ √ ∂α ( γB ν ) = 0,
γ
che, dopo la (19), diventa
1
√
√ ∂α ( γB ν ) = 0,
γ
cio`e
div B = 0.
(22)
Ovviamente, l’operatore div va costruito nella base spaziale Σx di metrica (12).
3. – In questo numero ci soffermeremo a svolgere alcune considerazioni sulla quadridensit`a di corrente, che risulteranno utili per il seguito. Com’`e usuale, definiamo nel
cronotopo quadridensit`a di corrente il quadrivettore di componenti controvarianti
%0 U i
si =
,
(23)
c
dove %0 indica la densit`a propria di carica, c la velocit`a della luce nel vuoto ed U i le
componenti controvarianti della quadrivelocit`a. E pi`u esplicitamente,
dxi
,
(24)
Ui =
dτ
essendo dτ l’intervallo elementare di tempo proprio.
La (24) e` suscettibile anche della forma
dxi dx4
Ui = 4
,
(25)
dx dτ
dove le quantit`a dxi /dτ , che non individuano un quadrivettore, si possono interpretare
come le velocit`a di variazione delle coordinate xi rispetto al tempo x4 .
Ponendo
dt
Γ=
,
(26)
dτ
la (25) assume la forma
dxi
U i = cΓ 4 .
(27)
dx
Inserendo la (27) nella (23), si ottiene
dxi
si = %0 Γ 4 ,
(28)
dx
e da questa, per i = 4, si trae
s4 = %0 Γ.
(29)
D’altra parte, e` noto [4, pp. 338–340] che la densit`a di carica relativa al riferimento di
osservazione e` espressa da
√
% = −g44 s4 .
(30)
Perci`o, inserendo la (29) nella (30), si ottiene
√
% = −g44 %0 Γ.
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(31)
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G. C RUPI
Dopo quest’ultima, alla (28) si pu`o dare la forma
%
dxi
,
(32)
si = √
−g44 dx4
da cui

%
α
α

 s = c√−g u ,
44
(33)
%

 s4 = √
,
−g44
dove si e` posto
dxα
.
(34)
uα =
dt
Chiudiamo questo numero soffermandoci ad esplicitare i calcoli indicati a secondo
membro della (26). Per definizione
−c2 dτ 2 = ds2 = gik dxi dx4
(35)
oppure
−c2 dτ 2 = γik dxi dxk − (γi dxi )2 .
(36)
E questa, essendo il tensore γik totalmente spaziale, e` suscettibile della forma
−c2 dτ 2 = γαβ dxα dxβ − (γα dxα + γ4 dx4 )2 ,
da cui segue che
!
2
uα √
u2
2
− −g44 − 2 dt2 ,
dτ =
γα
c
c
dove si e` posto
√
dxα
uα =
,
u2 = γαβ uα uβ ,
γ4 = − −g44 .
dt
Da (37) si trae che
−1/2
√
dt
u2
u2
=
−g44 − γα
− 2
.
dτ
c
c
Allora, dopo la (38), la quantit`a Γ, introdotta con la (26), resta espressa da
!−1/2
2
√
u2
uα
Γ=
− 2
−g44 − γα
,
c
c
e questa, se si introduce la posizione [3, p. 416]
2χ
−g44 = 1 + 2 ,
c
coincide con una nota formula [3, p. 279].
(37)
(38)
(39)
(40)
4. – In questo numero ci proponiamo di ricercare le proiezioni sulla base spaziale e
sulla linea temporale dell’equazione tensoriale (1)2 .
La proiezione di (1)2 sulla base spaziale e` data da
p
1
p γri ∂k
|g|F rk = γri sr ,
(41)
|g|
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dove
γri = δri + γr γ i .
(42)
Da (41), per i = α, dopo la (42), si trae
p
1
p ∂k
|g|F αk = sα ,
|g|
avendo tenuto conto che γ α = 0.
La (43) e` facilmente riconducibile alla
√
1
1
√
√
√ ∂β −γ4 γF αβ + √ ∂4 −γ4 γF α4 = −g44 sα ,
γ
γ
dopo aver tenuto conto che
(p
√
√
|g| = −g44 γ,
√
γ4 = − −g44 .
(43)
(44)
(45)
Si pu`o facilmente accertare che le F αβ e le F α4 , in una trasformazione del tipo (15), si
comportano rispettivamente come le componenti controvarianti di un tensore tridimensionale di rango due e di un trivettore.
Allora, essendo γ uno scalare invariante rispetto alla detta trasformazione, anche i
prodotti
−γ4 F αβ
e
γ4 F α4
possono essere interpretati, rispettivamente, come componenti controvarianti di un tensore
di rango due e di un trivettore appartenenti a Σx . Poniamo

 Hν = γ4 Eναβ F αβ ,
2
(46)
 Dα = γ F α4 ,
4
dove, dal punto di vista del calcolo tensoriale, le Hν rappresentano le componenti covarianti dello pseudo–trivettore duale associato al tensore −γ4 F αβ .
Con evidente allusione al problema fisico in esame, le Hν si possono concepire in Σx
come le componenti covarianti dello pseudo–trivettore relativo intensit`a magnetica, mentre
le Dα sono suscettibili di essere interpretate in Σx , come le componenti controvarianti del
trivettore relativo eccitazione elettrica.
Risolvendo la (46)1 rispetto a −γ4 F αβ , si ottiene
−γ4 F αβ = E ναβ Hν .
(47)
Quindi, inserendo la (46)2 e la (47) nella (44), si e` condotti alla
√
1
1
√ ναβ √
γE
Hν + √ ∂4 (− γDα ) = −g44 sα ,
√ ∂β
γ
γ
√
ναβ
e questa, essendo E
= εναβ / γ, e` facilmente riconducibile alla
√
1
√
E αβν ∂β Hν − √ ∂4 ( γDα ) = −g44 sα ,
γ
cio`e
√
1
√
(rot H)α − √ ∂4 ( γDα ) = −g44 sα .
γ
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E questa, dopo la (33)1 , conduce alla seguente equazione vettoriale tridimensionale
α
1
u
dx
√
rot H − √ ∂t ( γD) = % ,
u≡
.
(48)
c γ
c
dt
Ricerchiamo, ora, la proiezione della (1)2 sulla linea temporale passante per il generico
punto (xi ) della variet`a.
Si ha:
p
1
p γ i γr ∂k
|g|F rk = γ i γr sr .
(49)
|g|
Da questa, per i = α = 1, 2, 3, si ottengono tre identit`a (γ α = 0). Per i = 4, si trae
p
p
1 p
γα∂k
|g|F αk + γ4 ∂k
|g|F 4k
= γα sα γ4 s4 ,
|g|
da cui, tenendo presente la (43) e la (45)1 , si ha
√
1
√
γγ4 F β4 = s4 −g44 ,
(50)
√ ∂β
γ
√
dove γ4 = − −g44 .
La (50), dopo la (46)2 e la (33)2 , pu`o essere riscritta nella seguente forma
1
√ β
γD = %,
√ ∂β
γ
cio`e
div D = %,
(51)
dove, dopo le (31) e (39),
!−1/2
2
√
√
u2
uα
− 2
.
% = −g44 %0
−g44 − γα
c
c
(52)
Le equazioni di evoluzione (20) e (48), nonch´e le equazioni di condizione (22) e (41)
coincidono con quelle riportate nelle opere citate dal Møller e del Landau. Sicch´e, sostanzialmente, fin qui, nel presente lavoro, e` stato dimostrato soltanto che le equazioni relative
dell’elettrodinamica nel vuoto in presenza di un campo gravitazionale, anche nel caso di
riferimenti che non siano tempo–ortogonali, si possono dedurre nell’ambito della tecnica
delle proiezioni di Cattaneo. Un commento di natura fisica sar`a approfondito nel numero
successivo. Qui ci limitiamo ad osservare che le equazioni di evoluzione nella forma (20)
e (48) non possono ritenersi completamente soddisfacenti perch´e in esse intervengono il
tempo coordinato t, che ha scarso significato fisico in relativit`a generale, e la velocit`a di
variazione delle coordinate spaziali (uα = dxα /dt) che non ha il significato di velocit`a
rispetto alla base spaziale Σx .
Chiudiamo questo numero soffermandoci a precisare le relazioni che intercorrono, nella
base spaziale Σx di metrica (12), tra le quantit`a Fαβ ed F αβ , nonch´e tra Fα4 ed F α4 .
Le Fαβ ed F αβ , utilizzate nelle (16)2 e (46)1 per introdurre le grandezze relative tridimensionali B ν e Hν , in generale non si possono riguardare come componenti covarianti e
controvarianti di un medesimo tensore tridimensionale appartenente alla base spaziale Σx .
In V 4 tali quantit`a sono, rispettivamente, le parti spazio–spaziali delle componenti
covarianti, Fik , e controvarianti, F ik , dello stesso tensore: il tensore elettromagnetico.
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353
Per dimostrare quanto affermato, partiamo dalla nota relazione:
Fik = gir gks F rs ,
(53)
4
valida in V .
La (43), per i = α e k = β, si particolarizza nella
Fαβ = gαr gβs F rs ,
(54)
e questa, separando i primi tre indici dal quarto e tenendo conto della emisimmetria di F rs ,
e` riconducibile alla
Fαβ = gα% gβσ F %σ + (gα% gβ4 − gβ% gα4 )F %4 ,
(55)
che, dopo la (2)1 , e` suscettibile della forma
Fαβ = (γα% − γα γ% )(γβσ − γβ γσ )F %σ + (γα% γβ − γβ% γα )γ4 F %4 ,
(56)
e questa, appunto, ci permette di affermare che, in generale, nella base spaziale Σx di
tensore metrico γα% le quantit`a Fαβ ed F αβ non si possono riguardare come componenti
covarianti e controvarianti di un medesimo tensore. La situazione cambia completamente
nei riferimenti ortogonali. Infatti, in questi riferimenti
γα = γβ = γ% = 0,
e, di conseguenza, la (46) si specializza nella
Fαβ = γα% γβσ F %σ ,
(57)
che e` , appunto, la legge che connette le componenti covarianti a quelle controvarianti di un
tensore tridimensionale appartenente a Σx .
Analogamente, si dimostra che le quantit`a Fα4 ed F α4 non si possono considerare come
componenti covarianti e controvarianti di un medesimo trivettore relativo appartenente allo
spazio fisico.
Infatti, dalla (43), per i = α e k = 4, si trova
Fα4 = gαr gβs F rs ,
(58)
e questa e` facilmente riconducibile alla forma
Fα4 = gαβ g4% F β% + (g44 gαβ − gα4 gβ4 )F β4 ,
da cui, dopo la (2)1 , si ha:
Fα4 = −(γαβ − γα γβ )γ4 γ% F β% − (γ4 )2 γαβ F β4 .
(59)
α4
La (49), tra l’altro, esprime che Fα4 ed F non si possono considerare in Σx come
componenti covarianti di un medesimo trivettore. Questo fatto continua a presentarsi anche
nei riferimenti tempo–ortogonali.
Infatti, ponendo
γα = γβ = γ% = 0,
la (49) si particolarizza nella
Fα4 = −(γ4 )2 γαβ F β4 ,
√
oppure, essendo γ4 = − −g44 ,
Fα4 = g44 γαβ F β4 ,
(60)
e questa, a causa della presenza del fattore g44 non e` la legge che connette componenti
covarianti e controvarianti di un trivettore appartenente a Σx .
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354
G. C RUPI
5. – Nel precedente numero, tra l’altro e` stato osservato che le equazioni di evoluzione
nella forma (20) e (48) non si possono considerare in forma coerentemente relativa perch´e
in esse sono coinvolti il tempo coordinato t, che e` di scarso significato fisico in relativit`a
generale, e la velocit`a di variazione delle coordinate spaziali (uα = dxα /dt) che non ha
significato di velocit`a rispetto alla base spaziale Σx .
In questo numero, ci proponiamo di ricercare l’aspetto che assumono le dette equazioni
quando in esse vengono introdotti il tempo relativo standard e la velocit`a relativa standard.
A tale scopo cominciamo a soffermarci su alcune premesse.
Il tempo elementare relativo standard, che pu`o essere interpretato come misura nella
base Σx dell’intervallo temporale infinitesimo che separa due eventi, e` definito da [1, CapVII]
1
1
(61)
dT = − γα dxα − γ4 dx4 ,
c
c
da cui, essendo x4 = ct,
1
(62)
dT = − γα dxα − γ4 dt.
c
E questa, in corrispondenza ad una variazione della sola t, conduce a
√
dT = −γ4 ∂t = −g44 ∂t.
(63)
Segue che l’operatore di derivata parziale rispetto al tempo coordinato (∂/∂t) e` legato
a quello (∂/∂T ) di derivata parziale rispetto al tempo relativo standard nella relazione
√
∂
∂
= −g44
.
(64)
∂t
∂T
Inoltre, le uα = dxα /dt sono suscettibili della forma
dxα dT
dT
uα =
= vα
,
(65)
dT dt
dt
dove le
dxα
vα =
(66)
dT
sono componenti della velocit`a relativa standard, che ha significato di velocit`a rispetto alla
base spaziale Σx .
Poich´e dalla (62) si pu`o trarre
√
dt
1
,
(67)
1 + γα v α = −g44
c
dT
e quindi la (65) pu`o essere condotta alla
√
−g44 v α
α
u =
,
(68)
1 + γα v α /c
oppure, in forma vettoriale,
α
√
v
dx
u = −g44
,
v≡
.
(69)
α
1 + γα v /c
dT
Notiamo ancora che il parametro Γ, introdotto con la (26), pu`o essere espresso nella
forma
dt dT
1
dt
Γ=
=p
,
(70)
dT dτ
1 − v 2 /c2 dT
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C ONSIDERAZIONI GENERALI SULLA FORMULAZIONE RELATIVA DELL’ ELETTRODINAMICA . . .
355
e questa, dopo la (67), si trasforma nella
Γ= √
1 + γα v α /c
p
.
−g44 1 − v 2 /c2
(71)
A questa, ovviamente, si pu`o pure pervenire inserendo la (68) nella (39).
La (31), dopo la (71), fornisce per la densit`a relativa %, nei riferimenti che non siano
tempo–ortogonali, la seguente espressione
1 + γα v α /c
,
% = %0 p
1 − v 2 /c2
(72)
che si presta meglio della (42) alla interpretazione fisica.
Nel caso di riferimenti tempo–ortogonali (γα = 0), da (72) si trova la formula gi`a nota
[2]
%0
.
(73)
%= p
1 − v 2 /c2
Se, per brevit`a, Si pone
%0
%˜ = p
,
1 − v 2 /c2
(74)
la (72) si pu`o riscrivere nella forma
% = %˜ + %˜γα v α /c.
(75)
Ovviamente, il termine %˜γα v α /c e` caratteristico del fatto che il riferimento considerato
non e` tempo–ortogonale. D’altra parte [1], e` noto che condizione necessaria e sufficiente affinch´e un riferimento fisico sia tempo–ortogonale e` che risulti identicamente nullo il
tensore vortice spaziale. Perci`o, possiamo interpretare il termine %˜γα v α /c come il contributo alla densit`a relativa della eventuale rotazione propria delle particelle del fluido di
riferimento.
Abbiamo, ora, tutti gli elementi per riscrivere le equazioni di evoluzione (20) e (48) in
forma strettamente relativa.
E pi`u precisamente, tenendo presente la (64), la (20) si trasforma nella
√
−g44 ∂ √
(76)
( γB) ;
rot E = − √
c γ ∂T
inoltre, invocando le (64), (69) e (75), la (48) e` riconducibile alla
√
√
−g44 ∂ √
v
rot H − √
( γD) = −g44 %˜ .
c γ ∂T
c
(77)
Le (76) e (77) possiamo affermare che hanno forma strettamente relativa: in esse figurano solo enti che hanno una precisa interpretazione fisica nel riferimento adottato. Osserviamo, peraltro, che le equazioni (76) e (77) hanno la stessa struttura sia nei riferimenti
generali che in quelli tempo–ortogonali.
Acquisite le equazioni di evoluzione (76) e (77), nonch´e quelle di condizione (22) e (41),
per completare il sistema da porre a fondamento dell’elettrodinamica relativa nel vuoto in
Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi
356
G. C RUPI
presenza di un campo gravitazionale, occorre coinvolgere anche le equazioni finite [3,
p. 422]

gα4
H


√
+
g
∧
E
g
=
−
,
B
=
α

−g44
g44
(78)

E

D = √
− g ∧ H,
−g44
che connettono le grandezze elettromagnetiche tridimensionali E, H, D e B.
Nel prossimo numero mostreremo come le (78) possono essere dedotte mediante una
semplice applicazione del metodo della proiezioni naturali di Cattaneo.
6. – Cominciamo a dedurre la (78)1 .
Applichiamo la decomposizione naturale alle componenti covarianti del tensore elettromagnetico.
Si ha
Fik = F˜ik + F˜i γk − γi F˜k ,
(79)
e da questa, separando le componenti con indici spaziali (α, β = 1, 2, 3) da quelle con
indici spazio–temporali (α, 4), si deduce
(
Fαβ = F˜αβ + F˜α γβ − γα F˜β ,
(80)
Fα4 = F˜α γ4 .
Considerando in Σx il duale di ambo i membri di (80)1 , dopo le (16) e la (80)2 , si ottiene
Bν =
oppure
Bν =
1 ναβ ˜
E
Fαβ + (g ∧ E)ν ,
2
(81)
1
Eναβ F˜ αβ + (g ∧ E)ν ,
2
(82)
dove
gα4
.
g44
D’altra parte, dalla formula
F ik = F˜ ik + F˜ i γ k − γ i F˜ k ,
gα = −
(83)
(84)
che esprime la decomposizione naturale delle componenti controvarianti del tensore elettromagnetico, si trae
F αβ = F˜ αβ .
(85)
Allora, dopo la (85) e la (46)1 , alla (82) si pu`o dare la forma
Hν
Bν = √
+ (g ∧ E)ν ,
−g44
cio`e
H
B= √
+ g ∧ E,
−g44
e questa, appunto, coincide con la (78)1 .
Con procedimento analogo si trova la (78)2 .
Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi
(86)
C ONSIDERAZIONI GENERALI SULLA FORMULAZIONE RELATIVA DELL’ ELETTRODINAMICA . . .
Da (84), per i = α e k = 4, si trae
F α4 = F˜ α4 + F˜ α γ 4 ,
357
(87)
dove, come e` noto [1],
F˜ α4 = γ α γ 4 F rs ,
(88)
e questa e` facilmente riconducibile alla
F˜ α4 = γ 4 γβ F αβ .
(89)
r
s
Ovviamente F˜ α4 = 0 nei riferimenti tempo–ortogonali (γβ = 0).
Dopo la (89), alla (87) si pu`o dare la forma
√
−g44 F α4 = F˜ α + γβ F αβ .
D’altra parte, risolvendo la (46) rispetto ad F
1
F αβ = √
E ναβ Hν ,
−g44
αβ
(90)
, si ha
e quindi la (90) pu`o essere trasformata nella
√
−g44 F α4 = F˜ α + E αβν gβ Hν ,
(91)
(92)
dove si e` tenuto conto anche della (83).
Quest’ultima, invocando la (46)2 pu`o essere ricondotta alla
−Dα = γ α% F˜% + (g ∧ H)α ,
che, dopo le (80)2 e (16)1 , si muta nella
Eα
Dα = √
− (g ∧ H)α ,
−g44
oppure
E
D= √
− g ∧ H,
−g44
(93)
(94)
e questa coincide con la (78)2 .
7. – Riunendo in un unico quadro le equazioni di evoluzione (76) e (77), quelle di
condizione (22) e (41), nonch´e quelle materiali (86) e (94), si ottiene il seguente sistema

√
−g44 ∂ √


( γB) ,
rot
E
=
−

√


c
γ ∂T


√


√

−g44 ∂ √
v


rot H − √
( γD) = −g44 %˜ ,


c
γ
∂T
c



 div B = 0,
(95)

div D = %,





H


B= √
+ g ∧ E,



−g44




E


− g ∧ H,
D = √
−g44
Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi
358
G. C RUPI
dove, per le (75), (74) e (83)

vα

,
%
=
%
˜
+
%
˜
γ

α


c


%0
,
%˜ = p
(96)
1 − v 2 /c2





 gα = − gα4 .
g44
Le equazioni (95)1,2 differiscono da quelle riportate nelle opere citate del Møller e del
√
Landau per la presenza del fattore −g44 del tempo relativo standard e della velocit`a
relativa standard.
I termini g ∧ E e g ∧ H che intervengono nelle (95)5,6 sono caratteristici della natura
non tempo–ortogonale del riferimento.
Allora, per il teorema richiamato nel numero precedente, e` lecito affermare che essi rappresentano l’apporto di eventuali rotazioni proprie delle particelle del fluido di riferimento.
Si dimostra, tra l’altro, che nel caso di riferimenti fisici tempo–ortogonali, i fronti d’onda di discontinuit`a associati al sistema (95) si propagano con la stessa velocit`a della luce
nel vuoto. E ci`o concorda con quanto ribadito da Cattaneo che l’adozione di misure standard di spazio e di tempo attribuisce alla velocit`a della luce nel vuoto il valore universale
c anche in presenza di un campo gravitazionale.
Riferimenti bibliografici
[1] C. Cattaneo. Introduzione alla teoria einsteiniana della gravitazione. Libreria Eredi V. Veschi, Roma, 1960–
61.
[2] G. Crupi. Considerazioni sulla formulazione relativa dell’elettrodinamica in relativit`a generale, Atti Acc. Sc.
di Torino, 123, Fasc. 3-4, 35–51, 1989.
[3] C. Møller. The Theory of Relativity. Second Edition, Oxford University Press, 1977.
´
[4] L. D. Landau, E. M. Lifshitz. Th´eorie des champs. Editions
Mir de Moscou, 1970.
Giovanni Crupi. Considerazioni generali sulla formulazione relativa dell’elettrodinamica in relativit`a generale.
Atti del Seminario Matematico e Fisico dell’Universit`a di Modena, XXXVII, 381–401, 1989.
Universit`a di Messina
Dipartimento di Matematica
Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi

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