Esercizi Matrice Hessiana e punti critici Scrivere il polinomio di

Esercizi
Matrice Hessiana e punti critici
Scrivere il polinomio di Taylor T2 (x, x0 ) di secondo grado nel punto x0 per le seguenti funzioni:
1. f (x, y) = sin(xy); (x0 , y0 ) = (0, 0).
2. f (x, y) = exy ; (x0 , y0 ) = (0, 0).
Risp.: T2 (x, y) = xy.
Risp.: T2 (x, y) = 1 + xy.
3. f (x, y) =
x
y2 ;
4. f (x, y) =
p
x2 + y 2 ; (x0 , y0 ) = (1, 0).
(x0 , y0 ) = (1, 1).
Risp.: T2 (x, y) = 3 + 3x − 6y + 3y 2 − 2xy.
5. f (x, y) = log(1 + exy ); (x0 , y0 ) = (0, 1).
Risp.: T2 (x, y) = x + 12 y 2 .
Risp.: T2 (x, y) = 81 x2 + 12 xy + log 2 .
6. f (x, y) = x3 + y 3 − xy + 2; (x0 , y0 ) = (1, 1).
7. f (x, y) = xy 2 − x2 − y 2 ; (x0 , y0 ) = (0, 1).
Risp.: T2 (x, y) = 3x2 + 3y 2 − xy − 3x − 3y + 4.
Risp.: T2 (x, y) = −x − x2 − y 2 + 2xy.
Trovare i punti critici, dire se sono punti di massimo locale, di minimo locale o di sella (determinando
eventualmente se si tratta di massimi e minimi assoluti) ed altri eventuali estremi:
1. f (x, y) = 2x2 − 2xy + 2y 2 − x3 .
Punti critici: x1 = (0, 0) minimo locale, x2 = 1, 21 sella.
2. f (x, y) = x2 + y 2 + y.
Punti critici: x1 = 0, − 12 minimo assoluto.
3. f (x, y) = (x − y)(x2 + y 2 − 1).
Punti critici: x1 = √12 , √12 sella, x2 = − √12 , − √12 sella,
x3 = √16 , − √16 minimo locale, x4 = − √16 , √16 massimo locale.
4. f (x, y) = xy.
Punti critici: x1 = (0, 0) sella.
p
5. f (x, y) =
x2 + y 2 ex+y .
Punti critici: x1 = − 12 , − 12 sella. Altri estremi: x2 = (0, 0) minimo
assoluto.
6. f (x, y) = (x + y)e−xy .
Punti critici: x1 = √12 , √12 sella, x2 = − √12 , − √12 sella.
7. f (x, y) = xy(x − 1).
Punti critici: x1 = (0, 0) sella, x2 = (1, 0) sella.
8. f (x, y) = x(y + 1 − xy).
Punti critici: x1 = (0, −1) sella, x2 = (1, 1) sella.
9. f (x, y) = x3 + x − 4xy − 2y 2 .
10. f (x, y) = x3 + y 3 − xy + 2.
11. f (x, y) = x + y + log(x2 + y 2 ).
Punti critici: x1 = (−1, 1) massimo locale, x2 = − 31 , 13 sella.
Punti critici: x1 = (0, 0) sella, x2 = 31 , 13 minimo locale.
Punti critici: x1 = (−1, −1) sella.
12. f (x, y) = sin(x + y) cos(x
{0 < x < π, 0 < y < π}.
Punti critici: x1 =
− y) su X =
3π π
3π 3π
assoluto, x2 = π4 , 3π
sella,
x
=
,
sella,
x
=
,
minimo
assoluto.
3
4
4
4 4
4
4
π π
4, 4
massimo
13. f (x, y) = sin(x + y) − sin(x − y) su X = {0 < x < 2π, 0 < y < 2π}.
Punti critici:
x1 = π2 , π sella, x2 = π, π2 minimo assoluto, x3 = π, 3π
massimo assoluto,
2
x4 = 3π
,
π
sella.
2
3
3
14. f (x, y) = xy log(xy 2 ) + x2 y.
Punti critici: x1 = 1, e− 2 minimo locale, x2 = 1, −e− 2 massimo
locale.
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