Momento angolare
“Momento angolare” ( o “momento della quantità di moto”)
di un punto materiale P avente quantità di moto p = mv rispetto ad un “polo” O :
→
v
r v r r
r
Lo ≡ OP× p = r × p = r × mv
LO
P
p
r = OP
O
r
L
Per le proprietà
del prodotto vettoriale:
→
L O = mv OP sin ϑ = rp sin ϑ = rp
O
U.Gasparini,Fisica I
p
⊥
componente di p
perpendicolare al
raggio vettore r
p ⊥ = p sin ϑ
ϑ
P
O
r r
p , r
⊥
Dimensioni di L:
[ ]
r
L
= Kg ⋅m
2
⋅ s −1 = N ⋅ m ⋅ s
Momento di una forza
“Momento” di una forza F, applicata in un punto P,
rispetto ad un polo O :
r
M
MO
ϑ
b
O
Per le proprietà
del prodotto vettoriale:
r
M
M
U.Gasparini,Fisica I
r
≡ O P × F
P
F
Dimensioni di M:
o
→
[
r
M
O
O
]≡
→
r
F , OP
⊥
=
N
“braccio”
→
F
⋅ m
O P
s in ϑ
=
F b
r
 d L 
= 

d
t


2
Momento di una forza (II)
Cambiando il polo rispetto al quale si calcola il momento di una forza:
r
M
→
o '
→
→
→
→
r
r
r
r
≡ O ' P × F = (O 'O + O P ) × F = O 'O × F + O P × F
→
r
M
r
= O 'O × F +
o '
r
M
o
Analogamente, per il momento angolare:
r
L
→
o '
r
L
r
= O 'O × m v +
o
Se si hanno più forze applicate in uno stesso punto P, il momento risultante
dei singoli momenti è uguale al momento della forza risultante applicata in P :
r
F 1
O
P
r
M
to t
O
≡
U.Gasparini,Fisica I
∑
i
r
M
i
=
∑
→
i
→
r
(O P × Fi ) = O P ×
r
F
R
2
∑
i
→
r
r
Fi = O P × R
3
Teorema del momento angolare
La derivata rispetto al tempo del momento angolare, calcolato rispetto ad un
polo fisso O in un sistema di riferimento inerziale, di un punto materiale soggetto
ad una forza F è uguale al momento della forza rispetto ad O :
r
r
dLO
= MO
dt
r
≡ v
Infatti:
r
d L O
d t
≡
r
r
d (r × m v )
=
d t
r
r
r
r
d r
d m v
× m v + r ×
d t
d t
=0
r
d L O
d t
U.Gasparini,Fisica I
r
r
= r × F ≡
r
M
≡
r
F
( per la 2a legge di Newton ,
se v è la velocità in un sistema
di riferimento inerziale)
O
4
Esempio: moto di un “pendolo semplice”
y
Con riferimento alla figura:
L
= m lv = − m l
O z
=
M
O z
2
ds
dϑ
= −l
dt
dt
= m g l s in ϑ
Dal teorema del momento angolare,
proiettato lungo l’ asse z:
dLO z
= M O
dt
− m l
d
2
d
2
2
ϑ (t)
d t
ϑ (t)
d t
2
2
= −
d ϑ (t)
d t
z
→
r
L O ≡ OP
r
M
r
× m v
→
O
O
≡ OP
P
ϑ
r
× m g
v
mg
z
piano di
oscillazione
= m g l s in ϑ ( t )
g
s in ϑ ( t )
l
x
equazione del pendolo semplice
(gia’ nota dalla legge di Newton)
( si ricordi che per piccole oscillazioni: sin ϑ ( t ) ≅ ϑ ( t )
d
U.Gasparini,Fisica I
2
ϑ (t)
dt
2
= −
g
ϑ (t) = − ω
l
2
ϑ (t)
5
Teorema del momento dell’impulso
Integrando rispetto al tempo l’equazione che esprime il teorema del
momento angolare, si ha:
t
f
∫
r
M
t
O
(t)d t =
ti
r
d L
f
∫
r
L
O
d t
ti
r
M
(t)
d t =
f
r
d L
∫
r
Li
O
r
= ∆ L
O
r
r
(t) ≡ r (t) × F (t)
In particolare, se il momento
O
è applicato per un tempo sufficientemente breve affinchè il punto di applicazione
di F(t) possa essere considerato costante : r (t) = rO
t
f
∫
r
M
t
O
(t)d t =
ti
f
∫
r
[ rO
r
r
× F ( t ) ]d t = rO ×
ti
t
f
∫
r
r
F (t)d t = ∆ L
ti
≡J
r
rO
O
r
× J =
r
∆ L
O
impulso
della forza F
“teorema del momento
dell’impulso”
“momento dell’impulso”
U.Gasparini,Fisica I
6
Lavoro nei moti rotatori
In un moto circolare, il lavoro della forza può essere espresso come il
prodotto del momento della forza rispetto al centro di rotazione O
per l’angolo di rotazione del punto di applicazione:
ds P
ϑ
dϕ
F
b =
R cos
r
r
d W ≡ F ⋅ d s =
= F co sϑ R d ϕ
ϑ
R
“braccio” b
O
= Fbdϕ ≡ M
ϕ
⇒
W
=
In particolare, se il momento M è costante:
U.Gasparini,Fisica I
F co sϑ d s
O
dϕ
f
∫ϕ
M
O
(ϕ ) d ϕ
i
W
= M
O
∆ϕ
7
Campo di forza centrale
In ogni punto dello spazio il vettore forza F ( r ) è diretto verso uno stesso
punto 0 dello spazio detto “centro di forza”, ed il suo modulo é funzione
della sola distanza r dal centro di forza:
P
centro di forza
r
r r
r
F (r ) = F (r )u
R
F
uR
versore radiale
O
“linea di forza”: linea che in ogni suo punto
e’ tangente alla forza F
Esempio:
campo della forza gravitazionale generata da
una massa M che agisce su una massa m
a distanza r da M:
U.Gasparini,Fisica I
F (r )
r
Mm r
F (r ) = −γ
uR
2
r
8
Campo di forza centrale (II)
Un campo di forze centrali è conservativo:
2
W
1 2
≡
∫
r r
r
F (r ) ⋅ d s =
∫
r
F (r )u
r
⋅ ds =
R
∫
F ( r ) d r = G ( r 2 ) − G ( r1 )
1
= dr
1
funzione primitiva di F(r)
ds
dr
uR
il lavoro W12 non dipende
dal cammino percorso
2
O
Il moto avviene conservando l’ energia meccanica
Ad esempio, per il campo di forza gravitazionale:
F (r ) =
− M m
r
2
,
G (r ) =
M m
r
W
1 2
 1
= γM m 
 r2
−
1 

r1 
L’ energia potenziale nel generico punto P a distanza r dal centro di forza e’ data da:
E
p
(r ) − E
p
( r1 ) ≡ − W
1 P
 1
1 
= γm M 
−

r 
 r1
L’ energia meccanica:
EM ≡ Ek + E
p
=
1
mv
2
2
E
(r ) − γ
p
(r ) = − γ
mM
r
m M
r
e’ costante.
+ C
Campo di forza centrale (III)
In un campo di forza centrale , il moto avviene mantenendo costante
il momento angolare , calcolato rispetto al centro di forza:
r
r
r r
dLO
r
r
r
= M O = r × F (r ) = r × F (r )u R = 0
dt
r
L
O
=
costante
centro della forza
il piano individuato dai vettori r e v è sempre lo stesso, ossia
il moto avviene in un piano
piano del moto
costante
LO
O
r
P
direzione costante
U.Gasparini,Fisica I
p=mv
“Velocità areale”
La costanza del modulo di L implica che il moto avviene con
“velocità areale” costante :
derivata rispetto al tempo
dell’area A(t) “spazzata” dal vettore posizione r(t)
dA(t)
O
ds
r ( t+dt )
r(t)
ds sinϕ (base del
triangolo infinitesimo
di area dA e altezza h = r )
ϕ
1
d A (t) =
r ( t ) d s s in ϕ ( t )
2
1
d s
d A (t)
=
r (t)
s in ϕ ( t ) =
d t
2
d t
Ricordando che:
L O ≡ r ( t ) m v ( t ) sin ϕ ( t )
1
r v s in ϕ
2
costante
LO
dA (t)
=
dt
2m
(questa e’ la 2a legge di Keplero per il moto dei pianeti nel campo della
forza gravitazionale generata dal Sole)
11

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