Seconda parte della lezione sulle equazioni

Seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche
Procediamo con la seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche, analizzando
altri possibili casi. Per chi se la fosse persa, nella prima parte abbiamo trattato le equazioni
goniometriche elementari
- click! Inutile dire che prima di procedere con la lettura di questa lezione bisogna avere ben
chiaro come risolvere le equazioni del tipo {tex}sin(x)=m, cos(x)=n, tan(x)=p{/tex}, infatti, come
tra poco vedremo, ci ricondurremo quasi sempre ad esse. Equazioni trigonometriche per sostituzione
1. Le equazioni trigonometriche del tipo
{tex}sin[f(x)]=m, cos[f(x)]=n, tan[f(x)]=p{/tex}
si possono ricondurre immediatamente ad un'equazione goniometrica elementare ponendo
{tex}f(x)=y{/tex} (che diremo variabile ausiliaria), così da avere:
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Seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche
{tex}sin(y)=m, cos(y)=n, tan(y)=p{/tex}
che sappiamo più che bene come risolvere ;)
Esempi
{tex}bullet sinleft(x+frac{pi}{6}right)=-1{/tex}
Ponendo {tex}x+frac{pi}{6}=y{/tex} avremo
{tex}sin(y)=-1{/tex}
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che è soddisfatta (tralasciando, per il momento, la periodicità ) per:
{tex}y=frac{3}{2}pi{/tex}
A questo punto, ricordando che {tex}y=x+frac{pi}{6}{/tex} si avrà:
{tex}x+frac{pi}{6}=frac{3}{2}pi to x=frac{3}{2}pi-frac{pi}{6} to x=frac{4}{3}pi{/tex}
Essendo la funzione seno periodica di periodo {tex}2pi{/tex} le soluzioni saranno:
{tex}x=frac{4}{3}pi+2kpi, k in mathbb{Z}{/tex}
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Seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche
{tex}bullet 4cos(6x)-9=0{/tex}
Innanzitutto portiamo il 9 a secondo membro e dividiamo tutto per 4, così da avere
{tex}cos(6x)=frac{9}{4}{/tex}
Procediamo ora col cambio di variabile. Dopo aver posto {tex}y=6x{/tex} ricadremo in
un'equazione elementare col coseno:
{tex}cos(y)=frac{9}{4}{/tex}
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che, evidentemente è impossibile in quanto {tex}frac{9}{4}=2,25 textgreater 1{/tex}.
Di conseguenza la nostra equazione di partenza non ha soluzioni.
2. Le equazioni goniometriche che contengono una sola funzione goniometrica si
riconducono a quelle elementari ponendo tale funzione come incognita ausiliaria. Più difficile a
dirsi che a farsi ;)
Vediamo subito qualche esempio:
{tex}bullet 8sin^2(x)+2sin(x)-3=0{/tex}
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Ha decisamente l'aspetto di un'equazione di secondo grado, dunque cambiamo la variabile e,
ponendo {tex}y=sin(x){/tex}, otteniamo
{tex}8y^2+2y-3=0{/tex}
Ora è proprio un' equazione di secondo grado che sappiamo risolvere; risulta:
{tex}y=-frac{3}{4} vee y=frac{1}{2}{/tex}
Ricordando la sostituzione che abbiamo fatto: {tex}sin(x)=y{/tex} riusciamo a ricondurci a due
equazioni trigonometriche elementari
:
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{tex}sin(x)=frac{1}{2} mbox{e} sin(x)=-frac{3}{4}{/tex}
La prima ha come soluzioni:
{tex}x=frac{pi}{6}+2k pi vee x=frac{5}{6}pi + 2kpi, k in mathbb{Z}{/tex}
La seconda:
{tex}x=pi+arcsinleft(frac{3}{4}right)+2k pi vee x=2pi-arcsinleft(frac{3}{4}right) + 2kpi, k in
mathbb{Z}{/tex}
Abbiamo già discusso il procedimento risolutivo di queste equazioni nella lezione precedente.
Se hai dubbi a riguardo dai un'occhiata ;)
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Seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche
{tex}bullet 7cos(x)-4cos^3(x)-3=0{/tex}
Ponendo {tex}cos(x)=y{/tex} ci riconduciamo, all' equazione di terzo grado :
{tex}7y-4y^3-3=0 to 4y^3-7y+3=0{/tex}
Grazie alla regola di Ruffini il polinomio a primo membro lo possiamo scrivere come:
{tex}4y^3-7y+3=(y-1)(4y^2+4y-3){/tex}
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così da avere:
{tex}(y-1)(4y^2+4y-3)=0{/tex}
Per la legge di annullamento del prodotto si avrà
{tex}y-1=0 iff y=1{/tex}
oppure
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{tex}4y^2+4y-3=0 iff y=-frac{3}{2} vee y=frac{1}{2}{/tex}
Ritornando al coseno avremo le tre equazioni goniometriche elementari:
{tex}cos(x)=1 iff x=2kpi, k in mathbb{Z}{/tex}
{tex}cos(x)=frac{1}{2} iff x=frac{pi}{3}+2kpi vee x=frac{5}{3}pi +2kpi, k in mathbb{Z}{/tex}
{tex}cos(x)=-frac{3}{2} mbox{impossibile, in quanto} -frac{3}{2}=-1,5textless -1{/tex}
Le soluzioni della nostra equazione saranno quindi:
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{tex}x=frac{pi}{3}+2kpi vee x=frac{5}{3}pi +2kpi, vee x=2kpi, k in mathbb{Z}{/tex}
Prima di procedere con le equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari tramite le
definizioni e le formule goniometriche è bene dedicare due minuti per vedere come si deve
procedere nella risoluzione delle equazioni goniometriche della forma
:
{tex}sin[f(x)]=sin[g(x)], cos[f(x)]=cos[g(x)], tan[f(x)]=tan[g(x)]{/tex} Si potrebbe infatti cadere in errore ponendo {tex}f(x)=g(x){/tex}. Per non sbagliare basta
ricordare quando due angoli hanno stesso seno, stesso coseno o stessa tangente. Sapendo
che:
- due angoli hanno lo stesso seno se differiscono di un numero intero di angoli giri oppure uno
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di essi differisce per un numero interi di angoli giri dal
supplementare dell'altro:
{tex}sin[f(x)]=sin[g(x)] iff f(x)=g(x)+2kpi vee f(x)=[pi-g(x)]+2kpi{/tex}
- due angoli hanno lo stesso coseno se differiscono di un numero intero di angoli giri oppure
uno di essi differisce per un numero interi di angoli giri dall'opposto dell'altro:
{tex}cos[f(x)]=cos[g(x)] iff f(x)=pm g(x)+2kpi, k in mathbb{Z}{/tex}
- due angoli hanno la stessa tangente se differiscono di un numero intero di angoli piatti e sono
entrambi diversi da {tex}frac{pi}{2}+kpi, k in mathbb{Z}{/tex}:
{tex}tan[f(x)]=tan[g(x)] iff f(x)=g(x)+kpi mbox{con} f(x), g(x) neq frac{pi}{2}+kpi{/tex}
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Vedremo tra poco qualche esempio di applicazione di tali formule.
{loadposition interlineaspecificolefpar2}
Equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari
mediante formule goniometriche
1. Se in un'equazione goniometrica dovessero comparire funzioni che non siano seno, coseno o
tangente, possiamo ricondurci ad esse semplicemente ricordando come sono definite cotang
ente
,
secante
e
cosecante
:)
{tex}cot(x)=frac{1}{tan(x)}=frac{cos(x)}{sin(x)}, sec(x)=frac{1}{cos(x)},
csc(x)=frac{1}{sin(x)}{/tex}
Esempio:
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{tex}bullet tan(x)+2cot(x)=3{/tex}
Poiché, come abbiamo appena ricordato, {tex}cot(x)=frac{1}{tan(x)}{/tex}, andando a sostituire
avremo:
{tex}tan(x)+frac{2}{tan(x)}=3{/tex}
Ovvero, dopo aver portato tutto a primo membro e calcolato il denominatore comune:
{tex}frac{tan^2(x)+2-3tan(x)}{tan(x)}=0{/tex}
Dopo aver posto {tex}x neq frac{pi}{2}+kpi, k in mathbb{Z}{/tex} ed eliminato il denominatore, la
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nostra equazione è equivalente a:
{tex}tan^2(x)-3tan(x)+2=0{/tex} Procediamo ora ad una nuova sostituzione ponendo {tex}tan(x)=y{/tex}
{tex}y^2-3y+2=0{/tex}
Equazione di secondo grado che ammette le due soluzioni
{tex}y=1 vee y=2{/tex}
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Tornando alla tangente ricadremo nelle due equazioni goniometriche elementari:
{tex}tan(x)=1 iff x=frac{pi}{4}+k pi, k in mathbb{Z}{/tex}
{tex}tan(x)=2 iff x=arctan(2)+k pi, k in mathbb{Z}{/tex}
che saranno le due soluzioni della nostra equazione ;)
2. Se le definizioni delle funzioni trigonometriche non dovessero bastare per risolvere
l'equazione goniometrica proposta è sempre bene tener presente le formule trigonometriche ,
in modo tale da riuscire a ricondurvi ai casi già trattati.
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Come sempre, per farvi capire come procedere procediamo con una serie di esempi ;)
Equazioni goniometriche risolvibili tramite relazione fondamentale della
trigonometria
Se abbiamo (o ci si siamo ricondotti) ad un'equazione in cui compaiono seno e coseno di cui
uno due elevato al quadrato, sfruttando l'identità fondamentale della trigonometria:
{tex}sin^2(x)+cos^2(x)=1{/tex}
ci ricondurremo ad una sola funzione e possiamo procedere poi con i metodi già visti. Vediamo
un esempio.
{tex}bullet 5-2cos^2(x)-4sin(x)=2cos^2(x){/tex}
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Sostituendo
{tex}cos^2(x) mbox{con} 1-sin^2(x){/tex}
ricadremo in un'equazione di secondo grado col solo seno:
{tex}5-2[1-sin^2(x)]-4sin(x)=2[1-sin^2(x)]{/tex}
{tex}5-2+2sin^2(x)-4sin(x)=2 -2sin^2(x){/tex}
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{tex}5-2+2sin^2(x)-4sin(x)-2+2sin^2(x)=0{/tex} da cui, sommando i termini simili:
{tex}4sin^2(x)-4sin(x)+1=0{/tex}
A questo punto basterrà porre {tex}y=sin(x){/tex} e ricondursi all'equazione di secondo grado:
{tex}4y^2-4y+1=0{/tex}
che ha due soluzioni coincidenti:
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{tex}y=frac{1}{2} to sin(x)=frac{1}{2} iff x=frac{pi}{6}+2kpi vee x=frac{5}{6}pi + 2kpi, k in
mathbb{Z}{/tex}
Equazioni goniometriche risolvibili con le formule di addizione e
sottrazione
Se l'argomento delle nostre funzioni è una somma o una differenza la strada per portare a casa
l'equazione sarà in discesa se ricorreremo alle formule di addizione e sottrazione degli archi click!
Ad esempio, l'equazione goniometrica
{tex}bullet sinleft(x+frac{pi}{4}right)-sinleft(x-frac{pi}{4}right) = 1{/tex} 20 / 36
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la possiamo risolvere molto agevolmente applicando le formule di addizione e sottrazione del
seno, così da avere:
{tex}underbrace{sin(x)cosleft(frac{pi}{4}right)+cos(x)sinleft(frac{pi}{4}right)}_{sinleft(x+frac{pi}{4}r
ight)}-left[underbrace{sin(x)cosleft(frac{pi}{4}right)-cos(x)sinleft(frac{pi}{4}right)}_{sinleft(x-frac{pi
}{4}right)}right]=1{/tex}
Ovvero:
{tex}sin(x)cosleft(frac{pi}{4}right)+cos(x)sinleft(frac{pi}{4}right)-sin(x)cosleft(frac{pi}{4}right)+cos(
x)sinleft(frac{pi}{4}right)=1{/tex}
da cui, sommando i termini simili
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{tex}2cos(x)sinleft(frac{pi}{4}right)=1{/tex}
Ricordando ora che
{tex}sin(x)=frac{sqrt{2}}{2}{/tex}
(vedi tabella valori funzioni goniometriche ) ci ricondurremo a
{tex}2cos(x)frac{sqrt{2}}{2}=1 iff sqrt{2}cos(x)=1 iff cos(x)=frac{1}{sqrt{2}}{/tex}
e razionalizzando
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{tex}cos(x)=frac{sqrt{2}}{2} iff x=frac{pi}{4}+2kpi vee x=frac{7}{4}pi + 2kpi, k in
mathbb{Z}{/tex}
Equazioni goniometriche risolvibili tramite le formule di duplicazione
{tex}bullet cos(2x)+cos(x)=0{/tex}
La presenza del {tex}cos(2x){/tex} deve subito farci venire alla mente le formule di duplicazione
, grazie alle quali la nostra equazione equivale a:
{tex}underbrace{2cos^2(x)-1}_{cos(2x)}+cos(x)=0{/tex}
ovvero a:
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{tex}2cos^2(x)+cos(x)-1=0{/tex}
che lasciamo a voi (ormai dovreste aver capito come procedere) dandovi solo le soluzioni:
{tex}x=pi+2kpi vee x=frac{pi}{3}+2k pi vee x=frac{5}{3}pi + 2k pi, k in mathbb{Z}{/tex}
Equazioni goniometriche con le formule di bisezione
{tex}bullet tan^2left(frac{x}{2}right)+cos(x)=1{/tex}
{tex}tan^2 left(frac{x}{2}right){/tex} è il campanello dall'allarme per l'utilizzo delle formule di
bisezione
grazi
e alle quali la nostra equazione equivale a:
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{tex}underbrace{frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}}_{tan^2 left(frac{x}{2}right)}+cos(x)=1{/tex}
a patto che {tex}x neq -pi+2 k pi wedge x neq pi + 2kpi, k in mathbb{Z}{/tex}
che sono i valori che annullano il denominatore e fanno sì che non esista la tangente.
A questo punto, dopo qualche conticino, la possiamo scrivere come:
{tex}frac{1-cos(x)+cos(x)[1+cos(x)]-1-cos(x)}{1+cos(x)}=0{/tex} {tex}frac{cos^2(x)-cos(x)}{1+cos(x)}=0{/tex}
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che equivale a (in virtù delle condizioni prima poste):
{tex}cos^2(x)-cos(x)=0 iff cos(x)[cos(x)-1]=0{/tex}
Da cui
{tex}cos(x)=0 vee cos(x)=1{/tex}
e quindi le soluzioni:
{tex}x=frac{pi}{2}+kpi vee x=2k pi, k in mathbb{Z}{/tex}
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Seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche
Equazioni goniometriche risolvibili tramite le formule di Werner
La regola è che ogni volta che avete prodotti di seni e coseni con argomenti diversi, dovrete
pensare alle
formule di Werner ;)
{tex}bullet sin(4x)sin(3x)=sin(2x)sin(x){/tex}
Per le formule di Werner abbiamo:
{tex}underbrace{frac{1}{2}left[cos(4x-3x)-cos(4x+3x)right]}_{sin(4x)sin(3x)}=underbrace{frac{1}{
2}left[cos(2x-x)-cos(2x+x)right]}_{sin(2x)sin(x)}{/tex}
Moltiplicando ambo i membri per 2 e sommando i termini all'interno del coseno:
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{tex}cos(x)-cos(7x)=cos(x)-cos(3x){/tex}
Da cui
{tex}cos(7x)=cos(3x){/tex}
Ricordando ora che, in generale:
{tex}cos[f(x)]=cos[g(x)] iff f(x)=pm g(x)+2kpi, k in mathbb{Z}{/tex}
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si ha:
{tex}cos(7x)=cos(3x) iff 7x=3x+2kpi vee 7x=-3x+2kpi, k in mathbb{Z}{/tex}
Ora:
{tex}7x=3x+2kpi iff 4x=2kpi iff x=frac{pi}{2}k, k in mathbb{Z} mbox{(prima soluzione)}{/tex}
{tex}7x=-3x+2kpi iff 10x=2kpi iff x=frac{pi}{5}k, k in mathbb{Z} mbox{(seconda
soluzione)}{/tex}
Equazioni goniometriche con le formule di prostaferesi 29 / 36
Seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche
Se siete di fronte a somme o sottrazioni di funzioni goniometriche dovete subito a pensare alle
formule di prostaferesi
.
Esempio di equazione goniometrica risolvibile con le formule di prostaferesi
{tex}bullet sin(4x)+sin(3x)+sin(2x)+sin(x)=0{/tex}
Applicando le suddette formule si ha:
{tex}underbrace{2sin left(frac{4x+3x}{2}right)
cosleft(frac{4x-3x}{2}right)}_{sin(4x)+sin(3x)}+underbrace{2sin left(frac{2x+x}{2}right)
cosleft(frac{2x-x}{2}right)}_{sin(2x)+sin(x)}=0{/tex}
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Seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche
Ovvero
{tex}2sinleft(frac{7x}{2}right)cosleft(frac{x}{2}right)+2sinleft(frac{3x}{2}right)cosleft(frac{x}{2}right)
=0{/tex}
Raccogliendo a fattor comune {tex}2cosleft(frac{x}{2}right){/tex}:
{tex}2cosleft(frac{x}{2}right)left[sinleft(frac{7x}{2}right)+sinleft(frac{3x}{2}right)right]=0{/tex}
Per la legge di annullamento del prodotto avremo:
{tex}2cosleft(frac{x}{2}right)=0 iff cosleft(frac{x}{2}right)=0{/tex}
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Seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche
Ovvero
{tex}frac{x}{2}=frac{pi}{2}+k pi iff x=pi+2kpi k in mathbb{Z}{/tex}
{tex}sinleft(frac{7x}{2}right)+sinleft(frac{3x}{2}right)=0 iff
sinleft(frac{7x}{2}right)=-sinleft(frac{3x}{2}right) iff {/tex}
(per le formule degli archi associati )
{tex}sinleft(frac{7x}{2}right)=sinleft(-frac{3x}{2}right){/tex}
Ricordando ora che, in generale,
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Seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche
{tex}sin[f(x)]=sin[g(x)] iff f(x)=g(x)+2kpi vee f(x)=[pi-g(x)]+2kpi{/tex}
Avremo:
{tex}frac{7x}{2}=-frac{3x}{2}+2k pi iff frac{10x}{2}=2kpi iff x=frac{2}{5}kpi, k in mathbb{Z}{/tex}
oppure
{tex}frac{7x}{2}=left[pi-left(-frac{3x}{2}right)right]+2k pi iff frac{7x}{2}=left[pi+frac{3x}{2}right]+2k
pi iff{/tex}
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Seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche
{tex} iff 2x=pi(1+2k) iff x=frac{pi}{2}(1+2k) iff x=frac{pi}{2}+kpi, k in mathbb{Z}{/tex}
La nostra equazione è quindi soddisfatta per:
{tex}x=pi+2kpi vee x=frac{2}{5}kpi vee x=frac{pi}{2}+kpi, k in mathbb{Z}{/tex} Se dovessi avere dubbi o problemi non esitare a chiedere aiuto allo Staff e a tutti i membri della
Community nel Forum , e ricorda che puoi reperire moltissimi esercizi interamente risolti e
spiegati usando la barra di ricerca. YM è a tua disposizione!
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Seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche
Buon proseguimento su YouMath,
Giuseppe Carichino (Galois)
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Tags: equazioni goniometriche - equazioni trigonometriche - condizioni di esistenza equazioni
trigonometriche - come risolvere le equazioni goniometriche.
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