Punteggio

Cognome, Nome:
Matr.:
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Energia
Algebra Lineare - VI appello - 22/07/2014.
Istruzioni.
- Spegnere i cellulari.
- Non separare i fogli del plico. Controllare che il plico sia costituito da 4 fogli.
- Scrivere il proprio cognome, nome e numero di matricola negli appositi spazi su tutti i fogli e
sui fogli di brutta. Per facilitare l’operazione di controllo del documento, tenerlo a portata di
mano.
- Durante la prova non `e possibile lasciare l’aula. Lo studente pu`o terminare la sua prova in ogni
momento. Prima di lasciare l’aula dovr`a dichiarare se consegna il suo scritto per la correzione
oppure no. In caso lo studente terminasse la sua prova prima di 1h30, `e necessario che riconsegni
tutti i fogli.
- L’unica cosa che si pu`o usare `e la penna (niente matite, appunti, calcolatrici, libri, ecc.)!
- Per la correzione verranno considerate solamente le soluzioni riportate sui fogli del plico. Le
soluzioni delle domande e degli esercizi vanno riportate nello spazio apposito sotto il testo. Per
` possibile richiedere
la brutta `e possibile utilizzare solamente i fogli che sono stati consegnati. E
ulteriori fogli di brutta.
- Ogni forma di comunicazione tra studenti `e vietata, pena il ritiro e l’annullamento del compito.
- Motivare esaurientemente le risposte. I risultati anche completamente corretti ma non corredati
da spiegazione non verranno considerati.
Buon lavoro!
Punteggio
D.1-7 (7 pt)
E. 1 (12 pt)
E. 2 (12 pt)
Totale
Cognome, Nome:
Matr.:
Prima parte: rispondere alle seguenti domande fornendo una breve motivazione. Affinch´e lo
scritto venga valutato `e necessario che almeno la met`
a delle risposte sia corretta.
D.1 Calcolare i prodotti vettoriali u ∧ v e v ∧ u, ove u = 3e1 − e2 + 5e3 e v = −2e2 − e3 .
D.2 Sia f : R6 −→ R5 una funzione lineare con dim Im f = 2. Se Z ∩ ker f = 0 e dim Z ⊥ < 5 che
dimensione ha Z?
` vero che, se
D.3 Siano A una matrice quadrata e I la matrice identica, entrambe di taglia n. E
2
A − 5A + 2I = 0, allora A `e invertibile?
` vero che, se A e B sono matrici simmetriche di Mn (R), allora AB `e simmetrica?
D.4 E
D.5 Sia V = Span(e1 − e3 , e2 − e4 ) ⊆ R5 . Determinare, se possibile, un sottospazio di V ⊥ di
dimensione 2.
D.6 Dati 14 generatori di Z = {z ∈ C9 : z1 + i z2 = 2z3 − z7 = 3 i z4 + (4 − i)z6 }, quanti bisogna
scartarne per trovare una base di Z?
D.7 Sia M =
1 3
. Calcolare det(M 5 ).
6 7
Cognome, Nome:
Matr.:
Esercizio 1.) Sia f : R4 −→ R3 un’applicazione lineare; siano inoltre B = {e1 − e3 , e2 − e4 , e1 +
2e2 , e2 + e3 } ⊂ R4 e C = {e1 + e3 , e2 + e3 , e3 − e1 } ⊂ R3 .
a) Dire se B `e un sottospazio di R4 .
b) Verificare che B `e una base di R4 .


2 3 −1 4
2 −1.
c) Determinare f , sapendo che ABC (f ) = 5 1
1 −2 3
1
−1
` possibile trovare un vettore w tale che f (w) = ∅? Che cardinalit`
d) E
a ha la controimmagine
mediante f di un generico vettore di R3 ?
e) Determinare la controimmagine mediante f di v = e1 + e2 .
Cognome, Nome:
Matr.:
Esercizio 2) Sia f : C3 −→ C3 l’applicazione lineare definita da
  

z1
2 i z1 + z2 + (1 − 2 i)z3
f z2  =  i(4z1 + z3 ) + 3z3  .
z3
i(2z2 − z3 ) + 5z3
a) Trovare una base del nucleo di f .
b) Trovare una base dell’immagine di f .
c) Trovare, se possibile, una base dell’immagine di f costituita da vettori con prima coordinata
reale.
d) Sia W ⊂ C3 il sottospazio dei vettori con prima coordinata nulla. Trovare, se possibile,
un’applicazione lineare g : C3 −→ C3 tale che (g ◦ f )(W ) = W .
e) Il vettore e1 + e2 `e un autovettore di f ?
Cognome, Nome:
Matr.:
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Energia
Algebra Lineare - VI appello - 22/07/2014.
Istruzioni.
- Spegnere i cellulari.
- Non separare i fogli del plico. Controllare che il plico sia costituito da 4 fogli.
- Scrivere il proprio cognome, nome e numero di matricola negli appositi spazi su tutti i fogli e
sui fogli di brutta. Per facilitare l’operazione di controllo del documento, tenerlo a portata di
mano.
- Durante la prova non `e possibile lasciare l’aula. Lo studente pu`o terminare la sua prova in ogni
momento. Prima di lasciare l’aula dovr`a dichiarare se consegna il suo scritto per la correzione
oppure no. In caso lo studente terminasse la sua prova prima di 1h30, `e necessario che riconsegni
tutti i fogli.
- L’unica cosa che si pu`o usare `e la penna (niente matite, appunti, calcolatrici, libri, ecc.)!
- Per la correzione verranno considerate solamente le soluzioni riportate sui fogli del plico. Le
soluzioni delle domande e degli esercizi vanno riportate nello spazio apposito sotto il testo. Per
` possibile richiedere
la brutta `e possibile utilizzare solamente i fogli che sono stati consegnati. E
ulteriori fogli di brutta.
- Ogni forma di comunicazione tra studenti `e vietata, pena il ritiro e l’annullamento del compito.
- Motivare esaurientemente le risposte. I risultati anche completamente corretti ma non corredati
da spiegazione non verranno considerati.
Buon lavoro!
Punteggio
D.1-7 (7 pt)
E. 1 (12 pt)
E. 2 (12 pt)
Totale
Cognome, Nome:
Matr.:
Prima parte: rispondere alle seguenti domande fornendo una breve motivazione. Affinch´e lo
scritto venga valutato `e necessario che almeno la met`
a delle risposte sia corretta.
D.1 Calcolare i prodotti vettoriali u ∧ v e v ∧ u, ove u = 2e1 − 2e2 + e3 e v = 7e1 − 4e3 .
D.2 Sia f : R5 −→ R6 una funzione lineare con dim ker f = 2. Se Z + Im f = R6 e dim Z ⊥ > 2
che dimensione ha Z?
` vero che, se
D.3 Siano A una matrice quadrata e I la matrice identica, entrambe di taglia n. E
2
−2A − 2A + 3I = 0, allora A `e invertibile?
` vero che se A e B sono matrici antisimmetriche di Mn (R), allora AB `e antisimmetrica?
D.4 E
D.5 Sia V = Span(e2 + e5 , e1 − e4 ) ⊆ R5 . Determinare, se possibile, un sottospazio di V ⊥ di
dimensione 2.
D.6 Dati 4 vettori linearmente indipendenti di Z = {z ∈ C13 : i z1 − i z2 = 7z8 − 8z9 = z4 + z5 −
2 i z6 }, quanti bisogna aggiungerne per trovare una base di Z?
D.7 Sia M =
3 2
. Calcolare det(M 4 ).
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Cognome, Nome:
Matr.:
Esercizio 1.) Sia f : R4 −→ R3 un’applicazione lineare; siano inoltre B = {e1 + e3 , e2 + e4 , e1 +
2e2 , e2 − e3 } ⊂ R4 e C = {e1 − e3 , e1 + e2 , e2 − e1 } ⊂ R3 .
a) Dire se B `e un sottospazio di R4 .
b) Verificare che B `e una base di R4 .


2 −3 −1 7
2 −1.
c) Determinare f , sapendo che ABC (f ) = 5 1
1 −2 3
1
−1
` possibile trovare un vettore w tale che f (w) = ∅? Che cardinalit`
d) E
a ha la controimmagine
mediante f di un generico vettore di R3 ?
e) Determinare una base di ker f .
Cognome, Nome:
Esercizio 2) Sia f : C3 −→ C3 l’applicazione lineare definita da
  

z1
z1 − i z2 + 3z3
f z2  =  2 i z1 + z2 + i z2  .
z3
−z2 − i z2 + 6z3
Matr.:
a) Trovare una base del nucleo di f .
b) Trovare una base dell’immagine di f .
c) Trovare, se possibile, una base dell’immagine di f costituita da vettori con prima coordinata
reale.
d) Sia W ⊂ C3 il sottospazio dei vettori con seconda coordinata nulla. Trovare, se possibile,
un’applicazione lineare g : C3 −→ C3 tale che (g ◦ f )(W ) = W .
e) Il vettore e1 + e3 `e un autovettore di f ?

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