27/01/2014

MECCANICA RAZIONALE
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
1a Sessione, 1o Appello, 27 gennaio 2014
TEMA 1
LEGENDA. Il numero che compare a sinistra di ogni domanda `
e il punteggio massimo assegnato alla risposta completa e corretta. Tutte le
risposte devono essere adeguatamente motivate. Le risposte ai quesiti
da 1 a 4 devono essere riportate sulla cartella intestata a sei facciate; la
risposta al quesito 5 deve essere riportata su un foglio protocollo a quadretti, sul quale si devono riportare, in testa, nome, cognome e numero
di matricola. Si deve consegnare la cartella a sei facciate contenente: il
foglio a quadretti con la risposta al quinto quesito e il presente testo.
Eventuali fogli di brutta copia NON devono essere consegnati. La soglia
per la sufficienza `
e 18/30. Tempo a disposizione: 150 minuti.
[5]
1. (a) Dare la definizione di piano di simmetria materiale di un sistema
di punti materiali.
(b) Dimostrare che se un sistema di punti materiali ammette un piano
di simmetria materiale, allora il baricentro del sistema appartiene
a tale piano.
[6]
2. Due aste ideali AB e BC, di uguale lunghezza `, sono incernierate nel
loro estremo comune B, gli estremi A e C essendo fissati al soffitto,
a distanza ` l’uno dall’altro (il piano ABC `e verticale). La cerniera
in B ha massa M , e su di essa agisce, oltre alla forza peso, una forza
−→
orizzontale, equiversa ad AC e di modulo F .
(a) Fare un disegno del sistema (con lo schema delle forze).
(b) Determinare le reazioni vincolari nei punti A e C.
(c) Determinare il valore minimo di F per il quale l’asta BC lavora
come puntone (cio`e spinge in C, invece di tirare).
[7]
3. Nel piano (x, y), si consideri una lastra forata piana, omogenea, quadrata di lato L, centrata nell’origine del piano O e con lati paralleli ai
due assi cartesiani, avente un foro circolare di raggio a centrato in O
(si assuma a < L/2). Sia ρ la densit`a di massa della lastra.
(a) Fare un disegno della lastra forata e determinare la posizione del
suo baricentro.
(b) Calcolare il momento di inerzia della lastra forata rispetto all’asse
(O, eˆx ).
(c) Calcolare il momento di inerzia della lastra forata rispetto all’asse
(O, eˆz ).
[8]
4. Enunciare e dimostrare il teorema sul centro di pressione dei solidi in
appoggio ideale.
[9]
5. Due punti materiali P1 e P2 , di uguale massa m, sono vincolati a muoversi sull’asse orizzontale (O, eˆx ), senza attrito e in assenza di gravit`a.
P1 `e collegato da una molla ideale all’origine O dell’asse. P1 e P2 sono
collegati tra loro da una molla ideale e P2 `e collegato a un punto Q
fissato sull’asse a distanza ` da O, nel verso delle x positive (la sequenza `e: O-molla-P1 -molla-P2 -molla-Q). Le tre molle sono identiche, di
costante elastica k e lunghezza di riposo nulla.
(a) Fare un disegno del sistema e scrivere le equazioni di Newton per
i due punti materiali.
eq
(b) Calcolare la soluzione di equilibrio (xeq
1 , x2 ) e riscrivere le equazioni di Newton di cui sopra nelle variabili (ξ1 , ξ2 ) tali che
eq
x1 = xeq
1 + ξ1 , x2 = x2 + ξ2 .
(c) Trovare la soluzione generale del sistema lineare omogeneo del
secondo ordine che risulta dal punto precedente, scritta in forma
reale, calcolando esplicitamente le due frequenze di oscillazione del
sistema e i due corrispondenti vettori.
(d) Determinare la posizione dei due punti al tempo t nel caso in cui
x1 (0) = `/3, x2 (0) = 2`/3 e x˙ 1 (0) = x˙ 2 (0) = v0 .
MECCANICA RAZIONALE
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
1a Sessione, 1o Appello, 27 gennaio 2014
TEMA 2
LEGENDA. Il numero che compare a sinistra di ogni domanda `
e il punteggio massimo assegnato alla risposta completa e corretta. Tutte le
risposte devono essere adeguatamente motivate. Le risposte ai quesiti
da 1 a 4 devono essere riportate sulla cartella intestata a sei facciate; la
risposta al quesito 5 deve essere riportata su un foglio protocollo a quadretti, sul quale si devono riportare, in testa, nome, cognome e numero
di matricola. Si deve consegnare la cartella a sei facciate contenente: il
foglio a quadretti con la risposta al quinto quesito e il presente testo.
Eventuali fogli di brutta copia NON devono essere consegnati. La soglia
per la sufficienza `
e 18/30. Tempo a disposizione: 150 minuti.
[5]
1. Enunciare e dimostrare la propriet`a di composizione, o distributiva, del
baricentro di un sistema di punti materiali.
[6]
2. Un’asta pesante di massa M e lunghezza L, di estremi A e B, giace
nel primo quadrante del piano (x, y). L’estremo A poggia sull’asse
orizzontale (O, eˆx ) mentre l’estremo B poggia sull’asse verticale (O, eˆy ).
L’appoggio in B `e ideale, mentre l’appoggio in A `e caratterizzato da un
coefficiente di attrito statico fs = 1/2. L’angolo di incidenza dell’asta
[
con l’asse (O, xˆ) `e α = OAB.
(a) Fare un disegno del sistema (con lo schema delle forze).
(b) Determinare le reazioni di appoggio in A e in B.
(c) Calcolare (esplicitamente: in gradi) il valore minimo dell’angolo
di incidenza α per cui l’asta risulta in equilibrio.
[7]
3. Nel piano (x, y), si consideri una lastra forata piana, omogenea, circolare di raggio R, centrata nell’origine del piano O, avente un foro quadrato di lato L, √
centrato in O e con lati paralleli ai due assi cartesiani
(si assuma L < 2R). Sia ρ la densit`a di massa della lastra.
(a) Fare un disegno della lastra forata e determinare la posizione del
suo baricentro.
(b) Calcolare il momento di inerzia della lastra forata rispetto all’asse
(O, eˆx ).
(c) Calcolare il momento di inerzia della lastra forata rispetto all’asse
(O, eˆz ).
[8]
4. Enunciare e dimostrare la seconda equazione cardinale della dinamica
dei sistemi di punti materiali (si descrivano tutte le quantit`a coinvolte).
[9]
5. Due punti materiali P1 e P2 , di uguale massa m, sono vincolati a muoversi senza attrito lungo l’asse verticale (O, eˆx ), sotto l’azione della forza
di gravit`a (l’asse `e diretto dall’alto verso il basso, concordemente alla
forza di gravit`a). P1 `e collegato da una molla ideale all’origine O dell’asse; P1 e P2 sono collegati da una molla ideale (la sequenza, dall’alto
verso il basso, `e: O-molla-P1 -molla-P2 ). Le due molle sono identiche,
di costante elastica k e lunghezza di riposo nulla.
(a) Fare un disegno del sistema e scrivere le equazioni di Newton per
i due punti materiali.
eq
(b) Calcolare la soluzione di equilibrio (xeq
1 , x2 ) e riscrivere le equazioni di Newton di cui sopra nelle variabili (ξ1 , ξ2 ) tali che
eq
x1 = xeq
1 + ξ1 , x2 = x2 + ξ2 .
(c) Trovare la soluzione generale del sistema lineare omogeneo del
secondo ordine che risulta dal punto precedente, scritta in forma
reale, calcolando esplicitamente le due frequenze di oscillazione del
sistema e i due corrispondenti vettori.
(d) Calcolare la reazione vincolare al tempo t in O: scriverla esplicitamente.

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