exmodulo2_MannWhitney

Mann-Whitney esercizio 1
L’inalazione prolungata di ossido di cadmio riduce la
concentrazione di emoglobina?
E’ stata misurata la concentrazione di emoglobina in gr/dl in 15
soggetti esposti e 10 soggetti non esposti all’ossido di cadmio, i
valori sono riportati nella tabella. Poni alfa=0.05
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Non
esposti esposti
14.4
17.4
14.2
16.2
13.8
17.1
16.5
17.5
14.1
15
16.6
16
15.9
16.9
15.6
15
14.1
16.3
15.3
16.8
15.7
16.7
13.7
15.3
14
Poniamo che le condizioni dell’esperimento non soddisfino le
assunzioni per un test di ipotesi parametrico differenza medie,
ovvero che a fronte di una numerosità ridotta (n<30) dei casi la
distribuzione della variabile misurata non sia risultata normale.
Ipotesi
H0= M esposti ≥ M non esposti
Ovvero U calcolato ≥ U critico per n=15, m=10 alfa=0.05
--- U critico= 45
HA= M esposti < M non esposti
Ovvero U calcolato < U critico per n=15, m=10 alfa=0.05 -- U critico= 45
Ordino le serie in maniera crescente ed applico la procedura di
attribuzione dei ranghi
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
non
esposti rango esposti rango
13.7
1
13.8
2
14
3
14.1
4.5
14.1
4.5
14.2
6
14.4
7
15
8.5
15
8.5
15.3
10.5
15.3
10.5
15.6
15.7
15.9
Per la somma dei
ranghi
E per i valori di n
12
13
14
16
17
16.5
18
18
16.6
19
19
16.7
20
20
21
22
23
24
25
somma ranghi S= 145
Riferendomi
Al campione esposti
16
15
16.2
16.3
16
17
16.8
16.9
17.1
17.4
17.5
21
22
23
24
25
180
Applico la formula
n( n + 1)
2
U=S-
U= 145- (15*16)/2
U = 25
Quindi U calcolato =25 risulta < di U critico = 45; posso
rifiutare H0 per un alfa =0.05, ovvero il campione di esposti ha
una minore concentrazione di emoglobina rispetto ai non esposti.
Mann-Whitney esercizio 2
E’ stato effettuato un confronto fra due piccoli campioni di
soggetti maschi (n=6) e femmine (n=7) che frequentano un
centro nutruzionale valutando il grado di obesità ricavato dal BMI
body mass index, e corrispondenti a: 0= normopeso, 1=
soprappeso, 2 = obesità lieve, 3= obesità media, 4=obesità grave.
I dati relativi al livello di obesità sono risultati i seguenti:
n
grado
obesità
femmine
grado
obesità
maschi
1
2
3
4
5
6
7
1
2
0
1
2
3
2
2
3
2
4
2
1
E’ possibile affermare che le femmine del campione hanno un
livello inferiore di obesità rispetto ai maschi? Alfa =0.05 ( U
critico = 9)
Il disegno dello studio non soddisfa le condizioni di un test di
ipotesi parametrico, ad esempio un test t di Student differenza
medie, in quanto la variabile è misurata sotto scala ordinale, le
dimensioni del campione sono molto ridotte (< 30) , la
distribuzione originaria delle variabili non è gaussiana normale
è quindi necessario ricorrere ad un test non parametrico come il
test Mann-Whitney per il quale le assunzioni:
• i due campioni di dimensione n ed m sono casuali ed
indipendenti
• la scala di misurazione è almeno ordinale
• la variabile di interesse è continua (anche se misurata sulla
scala ordinale
sono soddisfatte
Ipotesi
H0= M femmine ≥ M maschi
Ovvero U calcolato ≥ U critico per n=7, m=6 alfa=0.05 --U critico= 9
HA= M femmine < M maschi
Ovvero U calcolato < U critico per n=7, m=6 alfa=0.05 --U critico= 9
Ordino le serie in maniera crescente ed applico la procedura di
attribuzione dei ranghi
n
1
2
femmine rango maschi rango
0
1
1
3
1
3
4
2
5
2
6
2
7
8
9
10
3
11
12
13
sommaranghi S=
3
1
3
7.5
7.5
7.5
Riferendomi
Al campione femminile
Per la somma dei
ranghi
E per i valori di n
Applico la formula
2
2
2
7.5
7.5
7.5
11.5
3
4
11.5
13
n( n + 1)
2
U=S-
U= 41- (7*8)/2
U = 13
41
Quindi U calcolato =13 non risulta < di U critico = 9, ma risulta
> e non posso rifiutare H0, ovvero il campione di femmine non ha
grado di obesità inferiore dei maschi.
Fatelo con Ha M maschi > M femmine
Mann-Whitney esercizio 3
E’ stata studiata la reazione allergica in seguito ad esposizione con
antigene di gramigna in due piccoli gruppi di soggetti: normali ed
asmatici, a livello di permeabilità cellulare delle vie aeree
periferiche. Viene misurata la percentuale di liquido prelevato in
seguito a BAL (lavaggio bronco alveolare. I dati sono i seguenti:
Soggetti asmatici
Soggetti normali
n
64 25 70 35 43 49 62 56 43 66
70 55 63 68 73 77 67
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
I soggetti asmatici sono meno sensibili all’antigene ovvero
producono meno liquido dei soggetti normali?
Poni alfa=0.05
U critico (per n= 7 m= 10 alfa= 0.05) = 18
Poniamo che le condizioni non soddisfino le assunzioni per un test
di ipotesi parametrico differenza medie, ovvero che a fronte di
una numerosità ridotta (n <30) dei casi la distribuzione della
variabile misurata non sia risultata normale, inoltre la variabile
ha una misurazione a livello discreto.
Ipotesi
H0= M asmatici ≥ M normali
Ovvero U calcolato ≥ U critico per n=7, m=10 alfa=0.05 -- U critico= 18
HA= M asmatici < M normali
Ovvero U calcolato < U critico per n=7, m=10 alfa=0.05 -- U critico= 18
Ordino le serie in maniera crescente ed applico la procedura di
attribuzione dei ranghi
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
asmatici rango normali rango
25
1
35
2
43
3.5
43
3.5
49
5
56
62
55
6
63
9
7
8
64
10
10
66
11
11
12
13
70
14.5
14
15
16
17
sommaranghi S= 65.5
Riferendomi
Al campione asmatici
Per la somma dei
ranghi
E per i valori di n
Applico la formula
U=S67
68
70
73
77
12
13
14.5
16
17
87.5
n ( n + 1)
2
U = 65.5 - (10 x11)/2
U = 10.5
Quindi T calcolato =10.5 risulta < di U critico = 18; posso
rifiutare H0, ovvero il campione di asmatici è meno sensibile
all’antigene e secerne meno liquido rispetto ai soggetti normali
Se l’esercizio mi avesse chiesto invece se la quantità di liquido
prodotto dei soggetti normali fosse stata maggiore di quella dei
soggetti asmatici dovevamo impostare le ipotesi:
H0 = M normali ≤ M asmatici
ovvero U calcolato normali
≤
U (1-alfa) critico
HA= M normali > M asmatici
ovvero U calcolato normali > U (1-alfa) critico
U (1-alfa) critico = (n x m )- U critico (alfa)
Ovvero n=7, m=10 alfa=0.05 U critico alfa = 18
----- U (1-alfa) critico= (7 x10) -18= 52
Il calcolo della statistica U riferita ai soggetti normali risulta :
S (somma ranghi soggetti normali) = 87.5
U calcolato normali = S (normali) -
n ( n + 1)
2
per n = 7
U calcolato normali = 87.5 – (7 x 8)/2 = 59.5
-------------------------------------------------------------------------------Quindi U calcolato normali > U (1-alfa) critico
ovvero 59.5> 52
E quindi rifiuto H0
La procedura è però più laboriosa e si preferisce impostare con
Ha M1 < M2
-------------------------------------------------------------------------------Se l’esercizio m avesse chiesto invece se la quantità di liquido
prodotto dei soggetti normali fosse diversa da quella dei soggetti
asmatici si dovevano impostare le ipotesi:
H0 = M normali = M asmatici
HA= M normali
≠
M asmatici
ovvero rifiuto H0 se il U calcolato per i soggetti normali è
< minore di U critico (alfa/2)
per n= 7 m=10 alfa/2 = 0.025
U(alfa/2)
= 15
> maggiore di U critico (1-alfa/2)
per n= 7 m=10 ((n xm –Tcritico (alfa/2)
U (1-alfa/2) = 55
-------------------------------------------------------------------------------Quindi U calcolato normali = 59.5
59.5 maggiore > di U (1-alfa/2) = 55
rifiuto H0.
La procedura è però più laboriosa e si preferisce impostare con
Ha M1 < M2

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